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2015-2016学年高中数学 1.1第3课时 正、余弦定理的综合应用练习 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 1.1 第 3 课时 正、余弦定理的综合应用练 习 新人 A 教版必修 5

一、选择题 sinA cosB 1.在△ABC 中,若 = ,则角 B 等于(

a

b

)

A.30° C.60° [答案] B

B.45° D.90°

sinA sinB sinA cosB [解析] 由正弦定理知 = ,∵ = ,

a

b

a

b

∴sinB=cosB,∵0°<B<180°,∴B=45°. 2.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角 A 等于( A.30° C.120° [答案] B [解析] ∵(b+c) -a =b +c +2bc-a =3bc, ∴b +c -a =bc, ∴cosA=
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.60° D.150°

b2+c2-a2 1 = ,∴A=60°. 2bc 2
)

3.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] B [解析] ∵2sinAcosB=sin(A+B),∴sin(A-B)=0,∴A=B. B.等腰三角形 D.正三角形

4.(2015·辽宁葫芦岛市一模)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若

c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是(
A.3 3 3 C. 2 [答案] C

π 3

) 9 3 B. 2 D.3 3

[解析] 由余弦定理得:c =a +b -2abcosC=a +b -ab=(a-b) +6,∴ab=6,∴
1

2

2

2

2

2

2

S△ABC= absinC= ×6×

1 2

1 2

3 3 3 = . 2 2 )

5. 在△ABC 中, 已知 a=x, b=2, B=60°, 如果△ABC 有两解, 则 x 的取值范围是( A.x>2 4 3 C.2<x< 3 [答案] C [解析] 欲使△ABC 有两解,须 asin60°<b<a. 即 3 4 3 x<2<x,∴2<x< . 2 3 ) B.x<2 4 3 D.2<x≤ 3

6.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° C.45° [答案] B 1 3 [解析] ∵3 3= ×4×3sinC,∴sinC= , 2 2 ∵△ABC 为锐角三角形,∴C=60°,故选 B. 二、填空题 7.(2015·重庆文,13)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别 1 为 a,b,c,且 a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则 c=________. 4 [答案] 4 B.60° D.30°

[解析] 由 3sin A=2sin B 及正弦定理知:3a=2b,又因为 a=2,所以 b=3;由余弦 1 2 2 2 定理得:c =a +b -2abcos C=4+9-2×2×3×(- )=16,所以 c=4;故填 4. 4 8.在△ABC 中,A=60°,最大边与最小边是方程 x -9x+8=0 的两个实根,则边 BC 长为________. [答案] 57
2

[解析] ∵A=60°, ∴可设最大边与最小边分别为 b,c. 由条件可知,b+c=9,bc=8, ∴BC =b +c -2bccosA=(b+c) -2bc-2bccosA =9 -2×8-2×8×cos60° =57, ∴BC= 57.
2
2 2 2 2 2

三、解答题 9.在△ABC 中,S△ABC=15 3,a+b+c=30,A+C= ,求三角形各边边长. 2

B

B 3B 1 3 [解析] ∵A+C= ,∴ =180°,∴B=120°.由 S△ABC= acsinB= ac=15 3得: 2 2 2 4 ac=60,由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cos120°)
=(30-b) -60 得 b=14, ∴a+c=16 ∴a,c 是方程 x -16x+60=0 的两根. 所以?
? ?a=10 ?c=6 ?
2 2

或?

? ?a=6 ?c=10 ?



∴该三角形各边长为 14,10 和 6. 1 10.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB= . 3 (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π [解析] (1)由 sin(C-A)=1,-π <C-A<π ,知 C=A+ . 2 π 又∵A+B+C=π ,∴2A+B= , 2 π π 即 2A= -B,0<A< . 2 4 1 3 2 故 cos2A=sinB,即 1-2sin A= ,sinA= . 3 3 (2)由(1)得 cosA= 6 . 3

又由正弦定理,得 BC=

ACsinA =3 2. sinB

1 1 ∴S△ABC= ·AC·BC·sinC= AC·BC·cosA=3 2. 2 2

一、选择题 11.(2015·兰州市质量监测)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 (b-c)(sinB+sinC)=(a- 3c)·sinA,则角 B 的大小为( A.30° C.60° B.45° D.120°
3

)

[答案] A [解析] 由正弦定理得(b-c)(b+c)=a(a- 3c),即 a +c -b = 3ac,又由余弦定 理得:cosB=
2 2 2

a2+c2-b2 3 = ,∴B=30°,选 A. 2ac 2
2

12.在△ABC 中,B=60°,b =ac,则此三角形一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] B [解析] 由余弦定理,得 b =a +c -ac, 又∵b =ac, ∴a +c -2ac=0,即(a-c) =0,∴a=c, ∵B=60°,∴A=C=60°. 故△ABC 是等边三角形. 13.在△ABC 中,有下列关系式: ①asinB=bsinA; ②a=bcosC+ccosB; ③a +b -c =2abcosC; ④b=csinA+asinC. 一定成立的有( A.1 个 C.3 个 [答案] C ) B.2 个 D.4 个
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.等边三角形 D.钝角三角形

[解析] 对于①③,由正弦、余弦定理,知一定成立.对于②,由正弦定理及 sinA= sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,知显然成立.对于④,利用正弦定理,变形得 sinB= sinCsinA+sinAsinC=2sinAsinC,又 sinB=sin(A+C)=cosCsinA+cosAsinC,与上式不 一定相等,所以④不一定成立.故选 C. 14.△ABC 中,BC=2,B= A. 3 2 3 3 π 3 ,当△ABC 的面积等于 时,sinC 等于( 3 2 1 B. 2 D. 3 4 )

C.

[答案] B 1 3 3 2 2 [解析] 由正弦定理得 S△ABC= ·AB·BC·sinB= AB= ,∴AB=1,∴AC =AB + 2 2 2

4

BC2-2AB·BC·cosB=1+4-4× =3,∴AC= 3,再由正弦定理,得

1 2

1 3 = ,∴sinC sinC π sin 3

1 = . 2 二、填空题 15. (2015·上海十三校联考)在△ABC 中, BC=8, AC=5, 且三角形面积 S=12, 则 cos2C =________. [答案] [解析] 7 25 1 利用二倍角公式和三角形面积公式求解.S△ABC= AC·BCsinC=20sinC=12, 2

3 3 2 7 2 sinC= ,所以 cos2C=1-2sin C=1-2×( ) = . 5 5 25 16.已知三角形两边长分别为 1 和 3,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径 为__________. [答案] 1 [解析] 如图,AB=1,BD=1,BC= 3,

设 AD=DC=x,在△ABD 中, cos∠ADB=

x2+1-1 x = , 2x 2 x2+1-3 x2-2 = , 2x 2x

在△BDC 中,cos∠BDC= ∵∠ADB 与∠BDC 互补,

x x -2 ∴cos∠ADB=-cos∠BDC,∴ =- , 2 2x
3 ∴x=1,∴∠A=60°,由 =2R 得 R=1. sin60° 三、解答题

2

5

1 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= ,a=4,b+c=6,且 4

b<c,求 b,c 的值.
[解析] ∵a =b +c -2bccosA,b +c =(b+c) - 1 2bc,a=4,cosA= , 4 1 2 ∴16=(b+c) -2bc- bc. 2 又 b+c=6,∴bc=8.解方程组? 得 b=2,c=4,或 b=4,c=2. 又∵b<c,∴b=2,c=4. 18.(2015·四川文,19)已知 A,B,C 为△ABC 的内角,tan A,tan B 是关于 x 的方程
? ?b+c=6, ?bc=8, ?
2 2 2 2 2 2

x2+ 3px-p+1=0(p∈R)的两个实根.
(1)求 C 的大小; (2)若 AB=3,AC= 6,求 p 的值. [解析] (1)由已知,方程 x + 3px-p+1=0 的判别式 Δ =( 3p) -4(-p+1)=3p +4p-4≥0, 2 所以 p≤-2 或 p≥ . 3 由韦达定理,有 tan A+tan B=- 3p,tan Atan B=1-p, 于是 1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0, tan A+tan B - 3p 从而 tan (A+B)= = =- 3, 1-tan Atan B p 所以 tan C=-tan (A+B)= 3, 所以 C=60°. (2)由正弦定理,得 sin B=
2 2 2

ACsin C 6sin 60° 2 = = , AB 3 2

解得 B=45°,或 B=135°(舍去), 于是 A=180°-B-C=75°, 3 1+ 3 tan 45°+tan 30° 则 tan A=tan 75°=tan(45°+30°)= = =2+ 3, 1-tan 45°tan 30° 3 1- 3

6

所以 p=-

1

1 (tan A+tan B)=- (2+ 3+1)=-1- 3. 3 3

7



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