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【解析版】广东省肇庆市2013届高三第一次模拟数学文试题


2013 年广东省肇庆市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 分) (5 (2013?肇庆一模)设 i 为虚数单位,复数 z1=a﹣3i,z2=2+bi,其中 a、b∈R.若 z1=z2,则 ab=( ) A.﹣1 B.5 C.﹣6 D.6 考点:复数相等的充要条件. 专题:计算题. 分析:利用复数相等的条件即可得出所求参数的方程,解之即可. 解答:解:∵复数 z1=a﹣3i,z2=2+bi,其中 a、b∈R,z1=z2, ∴ ,∴ab=2×(﹣3)=﹣6.

故选 C. 点评:熟练掌握复数相等的定义是解题的关键. 2. 分) (5 (2013?肇庆一模)已知全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5,6},集合 M={大于﹣2 且小于 5 的整数},则?UM=( ) A.? B.{6} C.{﹣2,6} 考点:补集及其运算. 专题:计算题. 分析:利用列举法化简集合 M,然后直接利用补集运算求解. 解答:解:由 M={大于﹣2 且小于 5 的整数}={﹣1,0,1,2,3,4}, 而 U={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5,6}, 所以?UM={﹣2,5,6}. 故选 D. 点评:本题考查了补集及其运算,是基础的会考题型. 3. 分) (5 (2013?肇庆一模)命题“?x∈R,2 <1”的否定是( ) x x x A.?x∈R,2 ≥1 B.?x∈R,2 <1 C.?x∈R,2 ≥1
x

D.{﹣2,5,6}

D.?x∈R,2x>1

考点:特称命题;命题的否定. 专题:规律型. 分析:利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可判断选项. 解答:解:因为特称命题的否定是全称命题, x x 所以命题“?x∈R,2 <1”的否定:?x∈R,2 ≥1; 故选 A. 点评:本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用,基本知识的考查. 4. 5 分) 2013?肇庆一模) 乙两种水稻试验品种连续 5 年的单位面积平均产量如下 ( ( 甲、 (单位: t/hm ) , 根据这组数据下列说法正确的是( )
2

品种 甲 乙

第1年 9.8 9.4

第2年 9.9 10.3

第3年 10.1 10.8

第4年 10 9.7

第5年 10.2 9.8

A.甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数 B. 甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数 C. 甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差 D.甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差 考点:极差、方差与标准差. 专题:计算题;概率与统计. 分析:由平均数计算公式,算出 甲= 乙=10,从而排除 A、B 两项;再由方差计算公式算出即可得到 甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差,从而得到 D 项是正确答案. 解答:解:根据题意,得 甲品种的样本平均数为 乙品种的样本平均数为


= (9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10; = (9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10



∴甲品种的样本平均数与乙品种的样本平均数相等 甲品种的样本方差为 s ﹣10) ]=0.020; 乙品种的样本方差为 s
2 2


2



= [(9.8﹣10) +(9.9﹣10) +(10.1﹣10) +(10﹣10) +(10.2

2

2

2

2

2

= [(9.4﹣10) +(10.3﹣10) +(10.8﹣10) +(9.7﹣10) +(9.8

2

2

2

2

﹣10) ]=0.244 ∵0.020<0.244,∴甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差 故选:D 点评:本题给出两组数据,要求我们比较它们的平均数与方差的大小,着重考查了平均数、方差、 标准差等样本特殊数的计算公式的知识,属于基础题.做统计题目时,请同学们注意所得结 果应该保持同样的精确度,如本题的方差写成 s
2


=0.02 而 s

2



=0.244,就不太规范了. )

5. 分) (5 (2013?肇庆一模)已知等差数列{an},满足 a3+a9=8,则此数列的前 11 项的和 S11=( A.44 B.33 C.22 D.11 考点:等差数列的前 n 项和;等差关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质可得 a1+a11=a3+a9=8,代入求和公式可得答案. 解答:解:由等差数列的性质可得 a1+a11=a3+a9=8, 故 S11= = =44

故选 A 点评:本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

6. 分) (5 (2013?肇庆一模)平面上有三个点 A(2,2) 、M(1,3) 、N(7,k) ,若向量 直,则 k=( A.6 ) B.7 C.8 D.9





考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:平面向量及应用. 分析: 利用向量 ⊥ ? =0 即可得出. 解答: 解:∵ ∴ 故选 B. 点评: 熟练掌握向量 ⊥ ? =0 是解题的关键. =(﹣1,1) , =(5,K﹣2) , .

=﹣5+K﹣2=0,解得 k=7.

7. 分) (5 (2013?肇庆一模)阅读如图的程序框,并判断运行结果为(



A.55

B.﹣55

C.5

D.﹣5

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:框图首先给变量 S 和变量 i 赋值,然后对 i 是否大于 10 进行判断,不大于 10,继续判断 i 是 否为偶数,是执行路径 S=S﹣i,否执行路径 S=S+i,再执行 i=i+1,依次循环执行,当 i 大于 10 时跳出循环,输出 S 的值. 解答:解:框图首先给变量 S 和变量 i 赋值,S=0,i=1. 判断 i>10 不成立,判断 1 是偶数不成立,执行 S=0+1=1,i=1+1=2; 判断 i>10 不成立,判断 2 是偶数成立,执行 S=1﹣2=﹣1,i=2+1=3; 判断 i>10 不成立,判断 3 是偶数不成立,执行 S=﹣1+3=2,i=3+1=4; 判断 i>10 不成立,判断 4 是偶数成立,执行 S=2﹣4=﹣2,i=4+1=5; 判断 i>10 不成立,判断 5 是偶数不成立,执行 S=﹣2+5=3,i=5+1=6; 判断 i>10 不成立,判断 6 是偶数成立,执行 S=3﹣6=﹣3,i=6+1=7;

判断 i>10 不成立,判断 7 是偶数不成立,执行 S=﹣3+7=4,i=7+1=8; 判断 i>10 不成立,判断 8 是偶数成立,执行 S=4﹣8=﹣4,i=8+1=9; 判断 i>10 不成立,判断 9 是偶数不成立,执行 S=﹣4+9=5,i=9+1=10; 判断 i>10 不成立,判断 10 是偶数成立,执行 S=5﹣10=﹣5,i=10+1=11; 判断 i>10 成立,跳出循环,输出 S 的值为﹣5. 故选 D.

点评:本题考查了程序框图,循环结构中含有条件结构,外面的循环结构为直到型,即不满足条件 执行循环,直到条件满足跳出循环.是基础题.

8. 分) (5 (2013?肇庆一模)设变量 x,y 满足

,则 z=3x+2y 的最大值为(



A.1

B.9

C.11

D.13

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先画出可行域,再把 z=3x+2y 变形为直线的斜截式,则直线在 y 轴上截距最大时 z 取得最大. 解答:解:画出可行域,如图所示



解得 A(3,1)

则直线 z=3x+2y 过点 A 时 z 最大,所以 zmax=3×3+2×1=11. 故选 C. 点评:本题考查利用线性规划求目标函数最值,考查数形结合思想.属于基础题. 9. 分) (5 (2013?肇庆一模)在△ ABC 中,AB=3,BC= A.3 B. C.3 ,AC=4,则△ ABC 的面积是( D.6 )

考点:余弦定理. 专题:计算题. 分析:利用余弦定理求出 cosAd 的值,然后求出 sinA,求出三角形的面积. 解答: 解:由余弦定理可知 coaA= 所以 sinA= ∴ , = =3 . = = .

故选 C. 点评:本题考查余弦定理与三角形的面积公式的应用,考查计算能力. 10. 分) (5 (2013?肇庆一模)设集合 M={A0,A1,A2,A3,A4,A5},在 M 上定义运算“?”为: Ai?Aj=Ak,其中 k 为 i+j 被 4 除的余数,i,j=0,1,2,3,4,5.则满足关系式(a?a)?A2=A0 的 a(a∈M)的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

考点:集合中元素个数的最值. 专题:计算题;新定义. 分析:本题为信息题,学生要读懂题意,运用所给信息式解决问题,对于本题来说,可用逐个验证 法. 解答:解:当 a=A0 时, (a⊕a)⊕A2=(A0⊕A0)⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0,当 a=A1 时, (a⊕a)⊕A2= (A1⊕A1)⊕A2=A2⊕A2=A0=A0 当 a=A2 时, (a⊕a) 2= 2⊕A2) 2=A0⊕A2=A2≠A0,当 a=A3 时, ⊕A (A ⊕A (a⊕a) 2= 3⊕A3) ⊕A (A ⊕A2=A2⊕A2=A4=A0 当 a=A4 时, (a⊕a)⊕A2=(A4⊕A4)⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0 当 a=A5 时, (a⊕a)⊕A2=(A5⊕A5)⊕A2=A2⊕A2=A0=A0 满足题意的有 3 个. 故选 B. 点评:本题考查学生的信息接收能力及应用能力,注意被 4 除的余数的理解,考查学生的思维能力. 二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,11-13 为必做题,14-15 为选做题,考生只能做一道) 11. 分) (5 (2013?肇庆一模)函数 的定义域为 (0,1] .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:计算题. 分析:直接由根式内部的代数式大于等于 0,对数式的真数大于 0 联立取交集即可. 解答: 解:要使 有意义,则 ,解得 0<x≤1. 所以原函数的定义域为(0,1]. 故答案为(0,1]. 点评:本题考查了函数的定义域及其求法,函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量 x 的取 值范围,是基础题. 12. 分) (5 (2013?肇庆一模)若圆心在直线 y=x 上、半径为 的圆 M 与直线 x+y=4 相切,则圆 M 2 2 2 2 的方程是 (x﹣1) +(y﹣1) =2 或(x﹣3) +(y﹣3) =2. . 考点:圆的标准方程. 专题:直线与圆. 分析: 可设圆心为(a,a) ,可得圆心到直线 x+y=4 的距离 d= 得圆的标准方程. 解答:解:由题意可设所求圆的圆心为(a,a) , 可得圆心到直线 x+y=4 的距离 d= 化简可得|a﹣2|=1,可解得 a=1,或 a=3, =r= ,

=r=

,解之可得圆心,可

故所求圆的方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =2 或(x﹣3) +(y﹣3) =2 2 2 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣1) =2 或(x﹣3) +(y﹣3) =2. 点评:本题考查圆的标准方程,由已知设出圆心的坐标,并求得圆心是解决问题的关键,属中档题. 13. 分) (5 (2013?肇庆一模)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .

2

2

2

2

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:通过几何体与三视图中的正视图的数据,求出三棱柱是以底面边长与高,然后求解面积即可. 解答: 2 解: 由正视图知: 三棱柱是以底面边长为 4, 高为 2 的正三棱柱, 所以底面积为 2× ×4 =8 , 侧面积为 3×4×2=24,所以其表面积为 24+8 . 故答案为: . 点评:本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力. 14. 分) (5 (2013?肇庆一模)在极坐标系中,圆 p=2 上的点到直线 p(cosθ 的最小值是 1 . )=6 的距离

考点:点到直线的距离公式;简单曲线的极坐标方程. 专题:计算题;压轴题;选作题. 分析:圆 p=2、直线 p(cosθ )=6 化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离,再求圆 p=2 上的点到直线 p(cosθ )=6 的距离的最小值. 解答:解:圆 p=2、直线 p(cosθ )=6 化为直角坐标方程, 2 2 分别为 x +y =4,x+ y﹣6=0 圆心到直线的距离为: 所以圆 p=2 上的点到直线 p(cosθ )=6 的距离的最小值是 3﹣2=1 故答案为:1 点评:本题考查点到直线的距离公式,简单曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查计算能 力,是基础题. 15. (2013?肇庆一模) (几何证明选讲选做题) 如图,D 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,PD 是⊙O 的切线,P 是切点,∠D=30°,AB=4,BD=2, 则 PA= .

考点:与圆有关的比例线段. 专题:计算题. 分析:连结 PO,求出∠POC 的大小,然后在△ POA 中,求出 PA 即可. 解答:解:连结 PO,因为 PD 是⊙O 的切线,P 是切点,∠D=30°,所以∠POC=60°, 并且 AO=2,∠POA=120°, 在△ POA 中,PA=2×AO?sin60°=2× 故答案为: . = .

点评:本题考查圆的切线与割线的关系,直角三角形的解法,考查计算能力. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分)本大题共 6 小题,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2012?天津)已知函数 f(x)=sin(2x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值. )+sin(2x﹣ )+2cos x﹣1,x∈R.
2

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 专题:计算题. 分析: (1)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x﹣ +2cos x﹣1 化为 f(x)=
2



sin(2x+

) ,即可求得函数 f(x)的最小正周期; ]上是增函数,在区间[ ]上的最大值和最小值. , ]上是减函数,

(2)可分析得到函数 f(x)在区间[ 从而可求得 f(x)在区间[ 解答: 解: (1)∵f(x)=sin2x?cos =sin2x+cos2x = sin(2x+ ) ,

+cos2x?sin

+sin2x?cos

﹣cos2x?sin

+cos2x

∴函数 f(x)的最小正周期 T= (2)∵函数 f(x)在区间[ 又 f(﹣ )=﹣1,f( )=

=π. ]上是增函数,在区间[ ,f( )=1, ,最小值为﹣1. , ]上是减函数,

∴函数 f(x)在区间[

]上的最大值为

点评:本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式 的应用,考查正弦函数的性质,求得 f(x)= sin(2x+ )是关键,属于中档题.

17. (13 分) (2013?肇庆一模)某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽 样了 x?46%=230 人,回答问题统计结果如图表所示. 组号 回答正确 回答正确的人数 的人数 占本组的概率 5 0.5 第1组 [15,25) a 0.9 第2组 [25,35) 27 x 第3组 [35,45) B 0.36 第4组 [45,55) 3 y 第5组 [55,65) (Ⅰ)分别求出 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各抽取 多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的 人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率. 分组

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;用样本的频率分布估计总体分 布. 专题:概率与统计. 分析:(Ⅰ)由回答对的人数:每组的人数=回答正确的概率,分别可求得要求的值; (Ⅱ)由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数; (Ⅲ)记抽取的 6 人中,第 2 组的记为 a1,a2,第 3 组的记为 b1,b2,b3,第 4 组的记为 c,

列举可得从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况, 以及其中第 2 组至少有 1 人的情况种数, 由古典概型可得概率. 解答:解: (Ⅰ)第 1 组人数 5÷0.5=10,所以 n=10÷0.1=100,…(1 分) 第 2 组人数 100×0.2=20,所以 a=20×0.9=18,…(2 分) 第 3 组人数 100×0.3=30,所以 x=27÷30=0.9,…(3 分) 第 4 组人数 100×0.25=25,所以 b=25×0.36=9…(4 分) 第 5 组人数 100×0.15=15,所以 y=3÷15=0.2.…(5 分) (Ⅱ)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 18:27:9=2:3:1, 所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取 2 人,3 人,1 人.…(8 分) (Ⅲ)记抽取的 6 人中,第 2 组的记为 a1,a2,第 3 组的记为 b1,b2,b3,第 4 组的记为 c, 则从 6 名学生中任取 2 名的所有可能的情况有 15 种, 它们是: 1,a2)(a1,b1)(a1,b2)(a1,b3)(a1,c)(a2,b1) (a , , , , , , (a2,b2)(a2,b3)(a2,c)(b1,b2)(b1,b3)(b1,c) , , , , , , (b2,b3)(b2,c)(b3,c) , , .…(10 分) 其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种, 它们是: 1,a2)(a1,b1)(a1,b2)(a1,b3)(a1,c)(a2,b1) (a , , , , , , (a2,b2)(a2,b3)(a2,c) , , .…(12 分) 故所求概率为 .…(13 分)

点评:本题考查列举法求解古典概型的概率,涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点,属基础题. 18. (13 分) (2013?肇庆一模)如图,PA 垂直于⊙O 所在平面 ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB=2, ,C 是弧 AB 的中点. (1)证明:BC⊥平面 PAC; (2)证明:CF⊥BP; (3)求四棱锥 C﹣AOFP 的体积.

考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析:(1)由 PA⊥平面 ABC,得 BC⊥PA,根据圆的性质得 BC⊥AC,结合线面垂直的判定定理, 得到 BC⊥平面 PAC. (2)根据 C 是半圆弧 AB 的中点,证出等腰三角形△ ABC 中 OC⊥AB,结合平面 PAB⊥平 面 ABC, 得到 BP⊥OC. BP 的中点为 E, 设 连结 AE, 利用三角形中位线定理, 可得 OF∥AE, 由等腰三角形“三线合一”证出 AE⊥BP,从而得到 BP⊥OF,由线面垂直判定定理得到 BP⊥ 平面 CFO,从而得到 CF⊥BP.

(3)根据题意,CO 是三棱锥 C﹣BFO 的高且 CO=1,算出△ BOF 的面积再结合锥体体积公 式,得到 锥 C﹣AOFP 的体积 ,同样的方法算出三棱锥 P﹣ABC 的体积 . ,从而得到四棱

解答:解: (1)∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC⊥PA. 分) (1 ∵∠ACB 是直径所对的圆周角, ∴∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 分) (2 又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. 分) (3 (2)∵PA⊥平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC⊥PA. 分) (4 ∵C 是半圆弧 AB 的中点,∴△ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又∵O 是 AB 的中点,∴OC⊥AB. 分) (5 ∵PA∩AB=A,PA、AB?平面 PAB, ∴OC⊥平面 PAB, 结合 PB?平面 PAB,可得 BP⊥OC. 分) (6 设 BP 的中点为 E,连结 AE, 则 OF 是△ AEB 的中位线,可得 OF∥AE, ∵PA=AB,E 为 BP 中点,∴AE⊥BP,可得 BP⊥OF. 分) (7 ∵OC∩OF=O,OC、OF?平面 CFO,∴BP⊥平面 CFO. 又∵CF?平面 CFO,∴CF⊥BP. 分) (8 (3)由(2)知 OC⊥平面 PAB, ∴CO 是三棱锥 C﹣BFO 的高,且 CO=1. 分) (9 又∵ (10 分) ∴ 又∵三棱锥 P﹣ABC 的体积 (12 分) ∴四棱锥 C﹣AOFP 的体积 (13 分) (11 分) ,

点评:本题给出底面为直角三角形且一条侧棱过与底面垂直,求证线面垂直并求锥体的体积.着重

考查了空间线面垂直的判定与性质、等腰三角形与圆的性质和锥体体积公式等知识,属于中 档题. 19. (14 分) (2013?肇庆一模)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=1, (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项 an; (3)设数列{bn}满足 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. .

考点:数列递推式;等差数列的通项公式;数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析:(1)在 中,分别令 n=1、2、3 即可求得 a ,a ,a 的值;
2 3 4

(2)累乘法:n>1 时,由 nan+1=2Sn①,得(n﹣1)an=2Sn﹣1②,①﹣②化简得 nan+1=(n+1) an,即 注意验证 a1; (3)裂项相消法:由(2)可求得 Tn; 解答:解: (1)由 得,a2=2a1=2,2a3=2S2,则 a3=a1+a2=3, ,各项按此规律展开即可求得 (n>1) ,则 ,由此可得 an=n(n>1) ,

由 3a4=2S3=2(a1+a2+a3) ,得 a4=4; (2)当 n>1 时,由 nan+1=2Sn①,得(n﹣1)an=2Sn﹣1②, ①﹣②得 nan+1﹣(n﹣1)an=2(Sn﹣Sn﹣1) ,化简得 nan+1=(n+1)an, ∴ (n>1) .

∴a2=2,

,…,



以上(n﹣1)个式子相乘得 又 a1=1,∴ (3)∵ ;

(n>1) ,





= 点评:



本题考查由数列递推式求通项公式、数列求和等知识,若数列{an}满足: 往利用累乘法求 an;若{an}为等差数列,公差 d≠0,则数列{ 法求解,其中 = .

=f(n) ,则往

}的前 n 项和用裂项相消

20. (14 分) (2013?肇庆一模)已知圆 C 的方程为 x +y +2x﹣7=0,圆心 C 关于原点对称的点为 A, P 是圆上任一点,线段 AP 的垂直平分线 l 交 PC 于点 Q. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 L 的方程; (2)过点 B(1, )能否作出直线 l2,使 l2 与轨迹 L 交于 M、N 两点,且点 B 是线段 MN 的中点, 若这样的直线 l2 存在,请求出它的方程和 M、N 两点的坐标;若不存在,请说明理由. 考点:轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:(1)由点 Q 是线段 AP 的垂直平分线 l 与 CP 的交点,可得|QP|=QA|.又 可得 .利用椭圆的定义可知点 Q 的轨迹 L 为椭圆; ,利用“点差法”、

2

2



(2)假设直线 l2 存在,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,分别代入

中点坐标公式及斜率公式即可得出直线 l2 的方程;与椭圆方程联立即可解得交点坐标. 2 2 2 2 解答:解: (1)如图,由已知圆 C 的方程 x +y +2x﹣7=0,化为(x+1) +y =8,可得圆心 C(﹣1, 0) ,半径 ,点 A(1,0) . ∵点 Q 是线段 AP 的垂直平分线 l 与 CP 的交点,∴|QP|=QA|. 又∵ ,∴ . ∴点 Q 的轨迹是以 O 为中心,C,A 为焦点的椭圆, ∵ ,∴ , .

∴点 Q 的轨迹 L 的方程为

(2)假设直线 l2 存在,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,分别代入





两式相减得

,即



由题意,得 x1+x2=2,y1+y2=1, ∴ ,即 kMN=﹣1. .

∴直线 l2 的方程为



得 6x ﹣12x+5=0.

2

∵点 B 在椭圆 L 内, ∴直线 l2 的方程为 解方程 6x ﹣12x+5=0 得 当 时, ;当
2

,它与轨迹 L 存在两个交点, . 时, 和 . .

所以,两交点坐标分别为

点评:本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相 交问题转化为方程联立得到一元二次方程等基础知识,考查了推理能力、数形结合的思想方 法、计算能力、分析问题和解决问题的能力.

21. (14 分) (2013?肇庆一模)若 f(x)= (1)当 a=﹣2 时,求函数 y(x)在区间[e,e ]上的最大值; (2)当 a>0,时,若 x∈[1,+∞) ,
2

其中 a∈R

恒成立,求 a 的取值范围.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:压轴题;导数的综合应用. 分析:(1)当 a=﹣2,x∈[e,e2]时,f(x)=x2﹣2lnx+2,求其导数可判函数在在[e,e2]上单调递增, 进而可得其最大值; (2)分类讨论可得函数 y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为

,分段令其

,解之可得 a 的取值范围.

2 2 解答:解: (1)当 a=﹣2,x∈[e,e ]时,f(x)=x ﹣2lnx+2, 分) (1


2

,∴当 x∈[e,e ]时,f'(x)>0, 分) (2
2

2

∴函数 f(x)=x ﹣2lnx+2 在[e,e ]上单调递增, 分) (3 故 (2)①当 x≥e 时,f(x)=x +alnx﹣a,
2

+2=e ﹣2(4 分) ,

4

∵a>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在[e,+∞)上单调递增, 分) (5 故当 x=e 时,
2

; ) (x﹣

(6 分) )(7 分) ,

②当 1≤x≤e 时,f(x)=x ﹣alnx+a,f′(x)=2x﹣ = (x+ (i)当

≤1,即 0<a≤2 时,f(x)在区间[1,e)上为增函数,
2

当 x=1 时,f(x)min=f(1)=1+a,且此时 f(1)<f(e)=e ; (ii) 当 , 2<a≤2e 时, x) 即 f ( 在区间
2

(8 分)

上为减函数, 在区间

上为增函数, 分) (9 故当 x= (iii)当 故当 x=e 时, 时,
2 2

,且此时 f(

)<f(e)=e ; (10 分)

2

,即 a>2e 时,f(x)=x ﹣alnx+a 在区间[1,e]上为减函数, . (11 分)

综上所述,函数 y=f(x)在[1,+∞)上的最小值为

(12 分)



得 0<a≤2;由

得无解;由

得无解; (13 分)

故所求 a 的取值范围是(0,2]. 点评:本题考查利用导数求闭区间的最值,涉及分类讨论的思想,属难题.

(14 分)


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