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一元二次不等式学案第三课时


沭阳国际学校 2013 级初三数学导学案 课题

主备人:郑德瑜

《一元二次不等式及其解法》导学案 3

审核人: 班 级 执教人

学 目

习 标

(1)掌握一元二次不等式的解法; (2)通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结 合的数学思想; (3)通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联 系、相互转化的,树立辨证的世界观.

学习重点 学习难点

一元二次不等式的解法 弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系









教 法 提 解关于 x的不等式x2 ? (a ? a2 ) x ? a3 ? 0. 要 学 法 指 导 二、引入、探究 关 2 例4 在实数范围内。若关于 x 的不等式 ax +bx+c<0 的解集是空集,那么 a,b,c 满足 键 什么条件 点 拨

一、复习巩固

变式训练 1.二次不等式 ax? +bx+c>0 的解集是全体实数的条件是______.

2.若(m-2)x2+2(m-2)x -4<0 对任何实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是

.

三、新授
在不等式的综合题中,经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都 成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型: 类型 1:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) , (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2)
2

f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 。

1







沭阳国际学校 2013 级初三数学导学案 类型 2:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

主备人:郑德瑜

审核人:

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? (1) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a , 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0

? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0
(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
类型 3:

f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) min ? ? f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) max ? ? 。
类型 4:

f ( x) ? g ( x)对一切x ? I恒成立 ? f ( x)的图象在g ( x)的图象的上方或 f ( x) min ? g ( x) max (x ? I )
恒成立问题的解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、 最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质 对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0
例 1:若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。

二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0, x ? R) 有:
2

(1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0

2







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主备人:郑德瑜

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例 2:若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。

三、利用函数的最值(或值域) (1) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? f ( x) min ? m ; (2)f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? m ? f ( x) max 。 简单计作: “大的大于最大的, 小的小于最小的” 。 由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例 3.已知 f ( x) ? 7 x 2 ? 28x ? a, g ( x) ? 2 x 3 ? 4 x 2 ? 40x ,当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立, 求实数 a 的取值范围。

例 4.函数 f ( x) ? 取值范围。

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的 x

四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。
2 x 例 5:已知 a ? 0, a ? 1, f ( x) ? x ? a ,当x ? (?1,1)时, 有f ( x) ? 1 恒成立 ,求实数 a 的取值范

2

围。

五、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往 往会使问题降次、简化。
3 年 月 日

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主备人:郑德瑜

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例 6.对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转化为一次不等 式 ( x ? 2)a ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。

四、课后作业
1:已知不等式 ( x ? 1)m ? 2 x ? 1 对 x ? ? 0,3? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

2:已知不等式 x ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

3:已知不等式 x ? 2ax ? 2 ? 0 对 x ??1, 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

2 4:对于满足 | p |? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x ? px ? 1 ? 2 p ? x 恒成立的 x 的取值范围。

后 记

教 学
4 年 月 日

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