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课时限时检测21


2015 新课标高考总复习

数 学(理) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 满分:80 分)命题报告 题号及难度

课时限时检测(二十一)

(时间:60 分钟 考查知识点及角度 三角函数的求值 三角函数的化简证明 三角函数的求角 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 3-sin 70° =( 2-cos210° 2 B. 2 原式=1 C ) C.2 3-sin 70°

基础 2,3,5,7 1 4

中档 8

稍难

12

6,9,10,11

1 A.2 【解析】

3 D. 2

2?3-sin 70° ? = =2. 3-sin 70° ? 2?3-cos 20°

【答案】

2 2.(2014· 淄博五中质检)已知 sin θ+cos θ= 2 (0<θ<π),则 cos 2θ 的值为 ( ) 3 A.± 2 3 C. 2 3 B.- 2 1 D.-2

2 π 5π ? π? ? π? 1 【解析】 又 sin θ+cos θ= 2sin?θ+4?= 2 ?sin?θ+4?=2, ?θ+4= 6 ? ? ? ? ? 7π 7π 7π 3 θ=12?2θ= 6 ,所以 cos 2θ=cos 6 =- 2 . 【答案】 B )

1 1 tan α 3.(2014· 成都模拟)若 sin(α+β)=2,sin(α-β)=3,则tan β的值为( A.5 B.-1 C.6 1 D.6
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2015 新课标高考总复习

数 学(理)

【解析】

1 1 由 sin(α+β)=2,sin(α-β)=3得 ① ②

1 ? ?sin αcos β+cos αsin β=2, ? 1 sin α cos β - cos α sin β = ? ? 3, 5 ? ?sin αcos β=12, ∴? 1 ?cos αsin β=12. ? tan α sin αcos β ∴tan β=cos αsin β=5. 【答案】 A

4.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan Atan B,则 C 等于( π A.3 π C.6 【解析】 ∴ 2π B. 3 π D.4 由已知得 tan A+tan B=- 3(1-tan Atan B),

)

tan A+tan B =- 3, 1-tan Atan B

即 tan(A+B)=- 3, π 又 tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)= 3,又 0<C<π,∴C=3. 【答案】 A

4 ?π ? 5. 若 sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=5, 且 α 是第二象限角, 则 tan?4+α?等 ? ? 于( ) A.7 1 C.7 【解析】 B.-7 1 D.-7 4 ∵sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=5,

4 ∴cos α=-5.

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2015 新课标高考总复习

数 学(理)

3 3 又 α 是第二象限角,∴sin α=5,则 tan α=-4. π 3 tan 4+tan α 1-4 π 1 ∴tan(4+α)= = π 3=7. 1-tan 4tan α 1+4 【答案】 C )

10 6.(2013· 浙江高考)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α=( 4 A.3 3 C.-4 【解析】 3 B.4 4 D.-3 先利用条件求出 tan α,再利用倍角公式求 tan 2α.

5 把条件中的式子两边平方, 得 sin2α+4sin αcos α+4cos2α=2, 即 3cos2α+4sin 3cos2α+4sin αcos α 3 3+4tan α 3 3 αcos α=2,所以 =2,所以 = ,即 3tan2α-8tan α- 2 2 cos α+sin α 1+tan2α 2 1 3=0,解得 tan α=3 或 tan α=-3, 所以 tan 2α= 【答案】 C 2tan α 3 2 =- . 4 1-tan α

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) tan x ? π? 7.已知 tan?x+4?=2,则tan 2x的值为________. ? ? 【解析】 tan x+1 ? π? 由 tan?x+4?=2 得 =2, ? ? 1-tan x

1 ∴tan x=3, 1-tan2x 1? 1? 4 tan x tan x ?1-9?= . ∴tan 2x= 2tan x = = 2 2? ? 9 1-tan2x 【答案】 4 9

?π ? 1 8.(2014· 南昌模拟)设 sin?4+θ?=3,则 sin 2θ=______. ? ?
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2015 新课标高考总复习

数 学(理)

【解析】

?π ? 1 ∵sin?4+θ?=3, ? ?

2 7 ?π ? ?π ? ∴cos?2+2θ?=1-2sin2?4+θ?=1-9=9, ? ? ? ? ?π ? 又 cos?2+2θ?=-sin 2θ, ? ? 7 7 ∴-sin 2θ=9,即 sin 2θ=-9. 【答案】 9.若 7 -9

cos 2α 2 =- π? 2 ,则 cos α+sin α 的值为________. ? sin?α-4? ? ? cos2α-sin2α cos 2α π?= 2 ? sin?α-4? ? ? 2 ?sin α-cos α?

【解析】



?cos α+sin α??cos α-sin α? =- 2(sin α+cos α) 2 2 ?sin α-cos α? 2 . 2

=-

1 ∴sin α+cos α=2. 【答案】 1 2

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) ?1 π? 10.(10 分)(2014· 吉林模拟)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? ? π? ? π? 10 6 ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 【解】 π ?5π? ?1 5π π? (1)f? 4 ?=2sin?3× 4 -6?=2sin 4= 2. ? ? ? ?

π? π?? π? 10 5 ??1? ? 3α+2?- ??=2sin α= ,∴sin α= , (2)f?3α+2?=2sin??3? ? 6?? 13 13 ? ? ?? ? π? π? ?1 ? f(3β+2π)=2sin?3?3β+2π?-6?=2sin?β+2? ? ? ? ?
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2015 新课标高考总复习

数 学(理)

6 3 =2cos β=5,∴cos β=5. π? ? ∵α,β∈?0,2?, ? ? 12 4 ∴cos α= 1-sin2α=13,sin β= 1-cos2β=5, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 12 3 5 4 16 =13×5-13×5=65.

图 3-5-1 11.(12 分)(2014· 广州模拟)如图 3-5-1,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α ? 3 4? <π),它们终边分别与单位圆相交于点 P,Q,已知点 P 的坐标为?-5,5?. ? ? (1)求 sin 2α+cos 2α+1 的值; 1+tan α sin?α+β? . ?π ? 2cos?4+β? ? ?

(2)若 OP⊥OQ,求

【解】 ∴原式=

3 4 (1)由三角函数定义得 cos α=-5,sin α=5, 2sin αcos α+2cos2α 2cos α?sin α+cos α? ? 3?2 18 2 ?-5? = . = = 2cos α = 2 × sin α ? ? 25 sin α+cos α 1+cos α cos α

π π (2)∵OP⊥OQ,∴α-β=2,∴β=α-2. π? π? 3 4 ? ? ∴sin β=sin?α-2?=-cos α=5,cos β=cos?α-2?=sin α=5. ? ? ? ? ∴ sin?α+β? sin αcos β+cos αsin β = cos β-sin β ?π ? 2cos?4+β? ? ?

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2015 新课标高考总复习

数 学(理)

4 4 3 3 7 5×5-5×5 25 = =1 4 3 - 5 5 5 7 =5. ? 7π? ? 3π? 12.(13 分)(2014· 桂林模拟)已知函数 f(x)=sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)=5,cos(β+α)=-5,0<α<β≤2,求证:[f(β)]2-2=0. 【解】 ? 7π ? ? 3π π? (1)∵f(x)=sin?x+ 4 -2π?+sin?x- 4 +2? ? ? ? ?

? π? ? π? ? π? =sin?x-4?+sin?x-4?=2sin?x-4?. ? ? ? ? ? ? ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. (2)证明 4 4 ∵cos(β-α)=5,cos(β+α)=-5.

4 ∴cos βcos α+sin βsin α=5, 4 cos βcos α-sin βsin α=-5, 两式相加得 2cos βcos α=0. π π ∵0<α<β≤2,∴β=2. ? π? 由(1)知 f(x)=2sin?x-4?, ? ? π ? 2? ∴[f(β)]2-2=4sin24-2=4×? ?2-2=0. ?2?

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