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数列教案教师版


数列教案
等差数列 一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么 这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 例:等差数列 an ? 2n ? 1 , an ? an?1 ? 二、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ; 说明:等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减 数列。 例 1.已知数列 {an } 满足 an ? an?1 ? 2 ,则数列 {an } 为 ( ) A.等差数列 A.等差数列 B.等比数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 ) D.无法判断 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列 {an } 的通项为 an ? 2n ? 5 ,则数列 {an } 为 (

3. {an } 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列,如果 an ? 2005 ,则序号 n 等于 (A)667 或“递减数列” ) 5.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? an?1 ? 1(n ? 1) ,则 {an } 的通项公式为 6.【2012 高考真题广东理 11】已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an=____.
2

(B)668

(C)669

(D)670

4.等差数列 an ? 2n ? 1, bn ? ?2n ? 1 , an 为 则

bn 为

(填 “递增数列”

三、等差中项的概念: 定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A ?

a?b 2

a , A , b 成等差数列 ? A ?
四、等差数列的性质:

a?b 2

即: 2an?1 ? an ? an?2

( 2an ? an?m ? an?m )

(1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列 ?an ? 中,对任意 m , n ? N ? , an ? am ? (n ? m)d , d ?

an ? am (m ? n) ; n?m

(4)在等差数列 ?an ? 中,若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ; 1.(2009 山东卷文)在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ . __ 答案:13. 2.(2009 辽宁卷文)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A)-2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2

【答案】B

4.已知 ?an ? 为等差数列, a8 ? 12 , a11 ? 18 ,则 a 20 =
1

5. (全国Ⅰ7)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则公差 d ? 6.【2012 高考辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B

7. (重庆理 11)在等差数列

{an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________【答案】74

8.(2010 全国卷 2 理数)如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 【答案】C 9.数列 ?an ? 满足 a1 =8, a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ? ) ,则 ?an ? = 10.已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 a4 ? 1 , ,则a12 等于( A.15 B.30 C.31 D.64 11.已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, 则 an = 五、等差数列的前 n 和的求和公式: S n ? ( S n ? An2 ? Bn )

n(a1 ? an ) n(n ? 1) 1 d ? na1 ? d ? n 2 ? a1 ? )n 。 ( 2 2 2 2

( A, B为常数) ? ?an ? 是等差数列 )
(a1 ? a n )n (a m ? a n?( m?1) )n ? 2 2

递推公式: S n ?

(1) S n 本质运用( S1 、 S 2 、 S 3 、 S 5 、 S 7 、 S 9 、 S11 。。。) 。。。 1. 【2012 高考真题北京理 10】 已知 {an } 等差数列 Sn 为其前 n 项和。 a1 ? 若 【答案】 a2 ? 1 , 2(2009 陕西卷文)设等差数列

1 ,S2 ? a3 , a2 =_______。 则 2

?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ?
S9 ? S5
9

答案:2n

3.2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

4.天津卷 4)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? B (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 )

5.北京 7) .已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于( A.30 B.45 C.90 D.186

6.全国大纲理 4)设 A.8 B.7

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ?
C.6 D.5 【答案】D

7.知 ?S n ? 为等差数列的前 n 项和, S8 ? 12 , S11 ? 18 ,则 a10 ?

2

8(广东卷 2)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 B.24 C.36 D.48

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( D ) 2


9(广东 4)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=4,S4=20,则该数列的公差 d= ( A.7 B.6 C.3 D.2

10.(2010 辽宁文数)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ?



11.(2011 年高考辽宁卷文科 15)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=____________。 -1

(2) S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) 1 d ? na1 ? d ? n 2 ? a1 ? )n 的基本运用 ( 2 2 2 2

1. (湖南理 12)设 则

Sn 是等差数列 {an } (n ? N ? ) ,的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,
. 【答案】25

S9 =

2.(全国一 5)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( C ) A.138 B.135 C.95 D.23 3 等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,已知 a10 ? 30 a20 ? 50 ,若 S n =242,则 n = , 4 在等差数列 {an } 中, (1)已知 S8 ? 48, S12 ? 168, 求a1和d ; (2)已知 a6 ? 10, S5 ? 5, 求a8和S8 ; 5 已知 ?an ? 数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70 ,则其公差 d 等于( )

A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3 1 , 2=a3, a2=______, n=_______。 S 则 S 2

6. 【2102 高考北京文 10】 已知{an}为等差数列, n 为其前 n 项和, a1 ? S 若 【答案】 a2 ? 1 , Sn ? (3) S n ?

1 2 1 n ? n 4 4

(a1 ? a n )n 与 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq 综合运用。 2

1.【2012 高考真题重庆理 1】在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B

2.【2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B

3(2009 湖南卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于【 C 】 A.13 B.35 C.49 D. 63

4 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则a2 ? a5 ? a8 ? a11 ?
3

5(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 =



a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
6(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

9

.

2 7(2009 宁夏海南卷文)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【答案】C

(4)数列中的项有正有负求和 1 . 广 东 理 11 ) 等 差 数 列 ?an ? 前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和 . 若 ( k=____________. 【答案】10 2. S n 为等差数列 ?an ? 前 n 项和,已知首项 a1 ? 11,公差 d ? ?2 ,则 S n = 3. S n 为等差数列 ?an ? 前 n 项和,已知首项 a1 ? ?11,公差 d ? 2 ,则 S n = 六.数列最值 (1) a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最小值; (2) Sn 最值的求法:①若已知 Sn , Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值; 可用二次函数最值的求法( n ? N ? ) ;②或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,即:

a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 , 则

若已知 an ,则 Sn 最值时 n 的值( n ? N ? )可如下确定 ?
2

? an ? 0 ?a ? 0 或? n 。 ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0

1. (01 天津理,2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n ,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 2.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n 2 ? 4 ,则数列 {an } 为( A.等差数列 A.等差数列 B.等比数列 B.等比数列 3.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n ? 3n ,则数列 {an } 为(
2

) D.无法判断 D.无法判断 )

C.既不是等差数列也不是等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

4.(2010 福建理数)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A

5.(2009 安徽卷理)已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项 和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 选B 6.【2012 高考真题浙江理 7】设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和,则下列命题错 误的是
4

A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D. 若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

【答案】C

7.等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0,S9 ? S12 ,则前

项的和最大。

8.在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S17 ? S9 ,求 Sn 的最大值. 9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知

a3 ? 12,S12 ? 0,S13 ? 0
①求出公差 d 的范围, ②指出 S1,S 2, ,S12 中哪一个值最大,并说明理由。 ? 10.已知 {an } 是等差数列,其中 a1 ? 31 ,公差 d ? ?8 。 (1)数列 {an } 从哪一项开始小于 0? (2)求数列 {an } 前 n 项和的最大值,并求出对应 n 的值. 11.已知 {an } 是各项不为零的等差数列,其中 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,若 S10 ? 0 ,求数列 {an } 前 n 项和的最 大值. 七.利用 an ? ?

( n ? 1) ? S1 求通项. ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

1. (全国大纲理 4)设 A.8

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ?2 ? Sk ? 24 ,则 k ?
C.6 D.5 【答案】D

B.7

2.(2010 安徽文数)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为 (A) 15 5.A (B) 16 (C) 49 (D)64

【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 .

3.已知 ?S n ? 为等差数列的前 n 项和, S8 ? 12 , S11 ? 18 ,则 a10 ? 4. (广东 4)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=4,S4=20,则该数列的公差 d= ( A.7 B.6
2



C.3

D.2

5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n ? 4n ,则 {an } =
5

6.(2005 湖北卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 {an } 的通项公式; 7.(2005 北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? 值及数列{an}的通项公式. 8.【2012 高考真题江西理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; 八.对与一个等差数列, S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n 仍成等差数列。 例:1.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260 2.一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为 3.已知等差数列 ?an ? 的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,则前 110 项和为 4. (06 全国 II)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 ) 。

2

1 S n ,n=1,2,3,??,求 a2,a3,a4 的 3

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

S3 1 S = ,则 6 =( S6 3 S12
D.

)

A.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

1 9

5.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S 4 ? 14 S10 ? S 7 ? 30 , ,则S9 = 九.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法: ②中项法: ③通项公式法: ④前 n 项和公式法:

an?1 ? an ? d (常数)(n ? N ?) ?an ? 是等差数列 ? 2an?1 ? an ? an?2
an ? kn ? b

(n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列

(k , b为常数) ? ?an ? 是等差数列

S n ? An2 ? Bn

( A, B为常数) ? ?an ? 是等差数列(其中 B 可以为 0)
) D.无法判断

例:1.已知数列 {an } 满足 an ? an?1 ? 2 ,则数列 {an } 为 ( A.等差数列 B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列 )

2.已知数列 {an } 的通项为 an ? 2n ? 5 ,则数列 {an } 为 ( A.等差数列 A.等差数列 B.等比数列 B.等比数列
2

C.既不是等差数列也不是等比数列 ) C.既不是等差数列也不是等比数列
2

D.无法判断 D.无法判断 D.无法判断 ) D.无法判断

3.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n ? 4 ,则数列 {an } 为( 4.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2n ,则数列 {an } 为( )

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 5.已知一个数列 {an } 满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,则数列 {an } 为( A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

6

等比数列 .等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做 .... .. 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q ? 0) ,即: an ?1 : an ? q(q ? 0) 。 一:递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? a n q 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q n ? m
(1) an ? a1q n?1 的运用 1. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 4, q ? 2 ,则 an ? 2.(07 重庆文)在等比数列{an}中, a1 =8, a2 =64, ,则公比 q 为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)8

3.(2010 北京理数)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 答案:C

4.(2010 福建理数)在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式

an ?

. 【答案】 4

n-1

5.已知数列 {an } 的通项为 an ? 2 n ,则数列 {an } 为 ( A.等差数列 B.等比数列 (2) an ? am q n?m 的运用 1.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? 12, q ? 3 2 ,则 a19 ? _____. 2..在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,则 a8 =

) D.无法判断

C.既不是等差数列也不是等比数列

3.(2010 重庆理数)在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

?q ? 2
2

二:等比中项:若三个数 a, b, c 成等比数列,则称 b 为 a与c 的等比中项,且为 b ? ? ac,注:b ? ac 是成等比数列的必要而不充分条件. 例:1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? an?2
2

(an ? 0) ,则数列 {an } 为 (

) D.无法判断

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

2.(天津理 4)已知

?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为

?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为
A.-110 C.90 B.-90 D.110 【答案】D
7

3. 2009 江西卷文) ( 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 , 则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案:C

4.(2009 四川卷文)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列 的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B

5.(2009 重庆卷文)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =( )

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

【答案】A

三:等比数列的基本性质, (其中m, n, p, q ? N ? ) (1) 若m ? n ? p ? q,则am ? an ? a p ? aq (2) q
n?m

?

an 2 ,an ? an?m ? an? m (n ? N ? ) am

(3) ?an ? 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列. (4) ?an ? 既是等差数列又是等比数列 ? ?an ? 是各项不为零的常数列. 1. 在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,则 a18 = 2.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33 a3 a4 ? 32 an ? an?1 ,则 an = , , 3.等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18, 则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5 ) )

4.【2012 高考真题新课标理 5】已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (

?

( A) 7

(B) 5

(C ) ??

( D) ??

【答案】D

5.(2010 全国卷 1 理数)已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4 a5a6 =

8

6.【2012 高考广东文 12】若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 【答案】

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

.

1 4


7. 2012 高考真题安徽理 4】 【 公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数, a3a11 ? 16 , log2 a16 = 且 则 (

( A) 4

(B) 5

(C ) ?

( D) ?

【答案】B

8.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 【答案】A (B)2 (C) 4 (D)8

2 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1 。

四:前 n 项和公式

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q 1? q ?

(q ? 1)

1.已知等比数列 {an } 的首相 a1 ? 5 ,公比 q ? 2 ,则其前 n 项和 S n ? 2.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已 a 2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30 ,则 S n = 3.(2010 辽宁理数)设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 ? (A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 【答案】B 2
【答案】15 ;前 8 项的和

4.【2012 高考重庆文 11】首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 5.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则 a5 ?

S8 ?
A.等差数列

.(用数字作答) ) D.无法判断

6.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2 ? 2 n ?1 ,则数列 {an } 为( B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列

1 7 .( 北 京 理 11 ) 在 等 比 数 列 {an} 中 , a1= 2 , a4=-4 , 则 公 比 q=______________ ;

a1 ? a2 ? ... ? an ?

2 n ?1 ?
____________。—2 【答案】

1 2

9

五.等式两边相消或相比相消得 q 问题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B

2. Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,且 S 4 ?

15 a 2 ,则公比 q ? 2
答案:3

3.(2009 全国卷Ⅱ文)设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 =

4.【2012 高考新课标文 14】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______【答案】 ? 2 5.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为 .

6.(2010 湖北文数)已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8

D3? 2 2 )

7.在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? ( A 33 B 72 C 84 D 189

8. 2010 天津理数) 6) ( ( 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, n 是 ?an ? 的前 n 项和, 9s3 ? s6 , 且 则数列 ? s 的前 5 项和为 (A)

?1? ? ? an ?

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

【答案】C

9.(海南卷 4)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 ?( C a2



A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2

10.(2010 浙江文数)设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11

S5 ? S2

答案选 A

11.(2010 广东理数)已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中 项为

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29 4.C.

A.35

10

12.【2012 高考江西文 13】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且对任意的 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。

都有

【答案】 【解析】 11 由条件 an ? 2 ? an ?1 ? 2an ? 0 得 anq2 ? anq ? 2an ? 0 , q 2 ? q ? 2 ? 0 , 即 解得 q ? ?2 或 q ? 1 (舍去) ,所以 S5 ?

1 ? (?2)5 33 ? ? 11. 1 ? (?2) 3

13.(2009 宁夏海南卷文)等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项 和 S4 = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】

15 2

2 14.【2012 高考真题辽宁理 14】已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列

{an}的通项公式 an =______________。

【答案】 2

n

15.(2010 辽宁文数)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

16. 2012 高考真题浙江理 13】 【 设公比为 q (q>0) 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。 S2=3a2+2, 4=3a4+2, 若 S 则 q=______________。 【答案】
3 2

六.若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列. 如下图所示:

???????????S 3k ??????????? ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ??? ? ? ?? ??? ??? ?? ? ? ? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

例:1.(2009 辽宁卷理)设等比数列{

an }的前 n 项和为 Sn ,若
8 3

S6 S3 =3 ,则

S9 S6

= (

)

A. 2

B.

7 3

C.

D.3 )

2.一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为( A.83 B.108 C.75 D.63 3.已知数列 ?an ? 是等比数列,且 S m ? 10 S 2m ? 30 , ,则S3m ?

11

七.等比数列的判定法 (1)定义法:

an?1 ? q(常数) ?an ? 为等比数列; ? an
2

(2)中项法: an?1 ? an ? an?2

(an ? 0) ? ?an ? 为等比数列;

(3)通项公式法: an ? k ? q n (k , q为常数) ?an ? 为等比数列; ? (4)前 n 项和法: S n ? k (1 ? q n ) (k , q为常数) ?an ? 为等比数列。 ?

S n ? k ? kqn (k , q为常数) ?an ? 为等比数列。 ?
例:1.已知数列 {an } 的通项为 an ? 2 n ,则数列 {an } 为 ( A.等差数列 A.等差数列 A.等差数列 B.等比数列
2

) D.无法判断 ) D.无法判断 D.无法判断

C.既不是等差数列也不是等比数列

2.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? an?2 B.等比数列 B.等比数列

(an ? 0) ,则数列 {an } 为 (
n ?1

C.既不是等差数列也不是等比数列 ,则数列 {an } 为( ) C.既不是等差数列也不是等比数列

3.已知一个数列 {an } 的前 n 项和 sn ? 2 ? 2

八.利用 an ? ?

( n ? 1) ? S1 求通项. ? S n ? S n ?1 (n ? 2)
1 S n ,n=1,2,3,??,求 a2, 3

例:1.(2005 北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ?

a3,a4 的值及数列{an}的通项公式.

12

求数列通项公式方法
一.公式法(定义法) 根据等差数列、等比数列的定义求通项

例:1 已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, 求 an ;

2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? an?1 ? 1(n ? 1) ,求数列 {an } 的通项公式;

3.数列 ?an ? 满足 a1 =8, a4 ? 2,且an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式; 4. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2,

1 a n ?1

?

1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; an

5.设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1 ,求 {an } 的通项公式 1 ? a n ?1 1 ? a n 2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2
2

6. 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7.等比数列 {a n } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1 , a3 ? 9a2 a6 ,求数列 {an } 的通项公式

8. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? 3an?1 (n ? 1) ,求数列 {an } 的通项公式;

9.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2,a2 ? 4且an?2 ? an ? an?1

2

(n? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式;
?

? 10.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ( n ? N ) 且 ,求数列 ?an ? 的通项公式;

? n?1 n 11. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 5 ? 2 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2 ? 2) ( n ? N ) 且 ,求数列 ?an ? 的通

项公式; 12.数列已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 , an ? 4an ?1 ? 1(n ? 1). 则数列 ?an ? 的通项公式= 2

13

二:已知等式中含有 Sn

把已知关系通过 an ? ?

? S1 , n ? 1 转化为数列 ?an ? 或 Sn 的递推关系,然后采用相应的方法求解。 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2
1 S n ,n=1,2,3,??,求 a2,a3,a4 的值 3

1.(2005 北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? 及数列{an}的通项公式.

2.【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

【答案】B

【解析】因为 an?1 ? S n?1 ? S n ,所以由 S n ? 2an?1 得, S n ? 2(S n?1 ? S n ) ,整理得 3S n ? 2S n?1 ,所以

S n ?1 3 3 3 ? ,所以数列 {S n } 是以 S1 ? a1 ? 1为首项,公比 q ? 的等比数列,所以 S n ? ( ) n ?1 ,选 B. 2 2 Sn 2
3.(2011 年高考四川卷文科 9)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则 a6= (A)3 ×4 (C) 4
4 4

(B)3 × 4 +1 (D)4 +1
4

4

答案: A ①,所以 an+2 =3Sn+1 ②,
4

解析:由题意,得 a2=3a1=3.当 n ≥1 时,an+1 =3Sn(n ≥1)

②-①得 an+2 = 4an+1 ,故从第二项起数列等比数列,则 a6=3 ×4 . 4.【2012 高考真题江西理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an;

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

5.【2012 高考真题重庆理 21】 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分.) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列;

14

6.【2012 高考广东文 19】 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1。 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, Sn ? Tn ? Tn?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn?1 ? (n ?1)2 ] ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 , 所以 Sn ? 2Sn?1 ? 2n ?1 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 2n ? 1 ① ②

② ? ①得 an?1 ? 2an ? 2 , 所以 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,即

an?1 ? 2 ? 2 (n ? 2) , an ? 2 a2 ? 2 ? 2。 a1 ? 2

求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1 , 所以 an ? 3 ? 2
n?1

? 2 , n ? N* 。

15

三:累加法 1、累加法 适用于: an?1 ? an ? f (n)

a2 ? a1 ? f (1)
若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,则

a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

1. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 2.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 3.设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2 2n?1 ,求数列 {an } 的通项公式 4. (四川理 8) 数列 则

?an ? 的首项为 3 ,?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则 b3 ? ?2 ,b10 ? 12 ,

a8 ?
B.3 C.8 D.11

A.0

【答案】B【解析】由已知知

bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3
an 21 的最小值为__________.【答案】 2 n an 33 ? ? n ?1 设 【 解 析 】 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ ? +(a2-a1)+a1=2[1+2+ ? (n-1)]+33=33+n2-n 所 以 n n 33 ?33 ? n ? 1 , f (n) ? 2 ? 1 ? 0 , f (n) 在 ( 33, ??) 上是单调递增, (0, 33) 上是递减的, f ( n) ? 令 则 在 n n a a 53 a6 63 21 ? ? 因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。又因为 5 ? , ,所以, n 的最小值为 5 5 6 6 2 n a6 21 ? 6 2
5.(2010 辽宁理数)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 6. (四川 16)设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? ___________。

16

四:累乘法 适用于: an?1 ? f (n)an



an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ,n ?1 ? f (n) ?? an a1 a2 an
n an?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

两边分别相乘得,

例: 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2.已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2 n?2 an 。 3

3.【2012 高考全国文 18】(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 【答案】

17

五:待定系数法

(1) 适用于 an?1 ? qan ? f (n)

例:1. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

2. ( 2006 , 重 庆 , 文 ,14 ) 在 数 列 ?an ? 中 , 若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) , 则 该 数 列 的 通 项

an ? _______________
3. 2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) ( 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式; 4.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )

5.

已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 6.已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 6 3 2

7. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。
2

解:设 an?1 ? x(n ? 1) ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z)
2 2

8. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。
18

(2)递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q

9. 已知数列 {an } 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; 11.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? 高考例题 1. (四川 21) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2n , (Ⅰ)求 a1 , a4 (Ⅱ)证明:

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 3 3

?a

n ?1

? 2a n ? 是等比数列;

(Ⅲ)求 ?an ? 的通项公式 【解】(Ⅰ)因为 a1 ? S1 ,2a1 ? S1 ? 2 ,所以 a1 ? 2, S1 ? 2 : 由 2an ? Sn ? 2n 知

2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1
得 an ? Sn ? 2n?1 ①

所以 a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8

a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S2 ? 24 a4 ? S3 ? 24 ? 40
(Ⅱ)由题设和①式知
n n an ?1 ? 2an ? ? S n ? 2 ?1 ? ? ? S n ? 2 ?

19

? 2n ?1 ? 2n ? 2n
n 所以 an ?1 ? 2a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅲ) an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ??? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1

? ? n ?1? ? 2n?1
六:根据条件找 n ? 1 与 n 项关系 1.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a n ?1 ? C ?

1 5 1 ,若 C ? , bn ? ,求数列 {bn } 的通项公式 an 2 an ? 2

2.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) ............. (注意:在试题卷上作答无效) 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

3.(2009 重庆卷理)设 a1 ? 2 , an ?1 ?

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通项公式 an ? 1 an ? 1
【答案】 :2n+1

bn =



w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 ?2 an?1 ? 2 an ?1 a ?2 【解析】由条件得 bn ?1 ? ? ?2 n ? 2bn 且 b1 ? 4 所以数列 ?bn ? 是首项为 4,公比 2 an?1 ? 1 an ? 1 ?1 an?1
为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 4.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② ..
20

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又? bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 n 2 2 4 4 4
5.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

1a 已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

n? 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n? 2 ] ? ? (? ) n?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
6. (全国Ⅰ19) (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1
n

解: (1) an?1 ? 2an ? 2 ,

an ?1 a ? nn 1 ? 1 , n 2 2?

bn?1 ? bn ? 1 ,
21

则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,

bn ? n , an ? n2n?1 .
七:倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例:1. 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

2.(陕西 20)(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2 2an , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. 3 an ? 1

(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

八:对无穷递推数列 消项得到第 n ? 1 与 n 项的关系 例:1. (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ,

2 n ?1 2.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3 an ?

n * , a ? N .求数列 ?an ? 的通项; 3

22

数列求和 一:公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求和。

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d 2 2
a1 1? q

?na1 (q ? 1) ? 公比含字母时一定要讨论 S n ? ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? 1? q ?

(理)无穷递缩等比数列时, S ?

1.已知等差数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 ,求前 n 项和 {S n } 2. 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( A.9 B.10 C.11 D.12 )

3.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 3 ,求前 n 项和 {S n } 4.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 10 分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 sn . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ?a1 ? ?4d
解得 ?

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 5.(2011 年高考福建卷文科 17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

23

6.(2011 年高考重庆卷文科 16)(本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设 {a n } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 s n 。 解: (I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q2 ? 2q ? 4 , 即 q 2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1(舍去) ,因此 q ? 2. 所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ). (II) Sn ?

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2. 1? 2 2

? 2n?1 ? n2 ? 2.

解析:填 15.

3? 2 ? ? S3 ? 3a1 ? 2 d ? 3 ?a1 ? ?1 ? ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 1 ? 6 2 ?

7.(2010 重庆文数)已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和.
24

(Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

8.(2010 上海文数)为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 是等比数列; ?

*

(2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
5 解析:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 an ? 1 ? (an?1 ? 1) , 6

又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? ?5? 由 Sn?1>Sn,得 ? ? ?6?
n?1 n ?1

?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6?

n ?1

?5? ,从而 Sn ? 75 ? ? ? ?6?

n ?1

? n ? 90 (n?N*);

?

2 2 ? 1 ? 14.9 ,最小正整数 n?15. , n ? log 5 25 5 6

9.(2010 陕西文数)已知{an}是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; 解 (Ⅱ)求数列 2

? ?的前 n 项和 S
an

n

.

(Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
2 3 n

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

am

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得

n

2(1 ? 2 n ) n+1 Sm=2+2 +2 +?+2 = =2 -2. 1? 2
10.【2012 高考真题湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .
25

(Ⅰ )求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 【答案】 (Ⅰ )设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ )当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ? ?5?
11.【2012 高考重庆文 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12,(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项 和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。 【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ) (Ⅰ) 由 可得 S n ?
2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
,即

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列, 所以 a2k ? a1Sk ?2

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 。 二.错位相减法求和:如: ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn的和. 例:1.求和 Sn ? 1 ? 2x ? 3x ? ?? nx
2 n?1

2.求和: S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a
26

3.设 {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列, a1 ? b1 ? 1 ,a3 ? b5 ? 21 ,a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ) 且 求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

4.【2012 高考真题江西理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 { 【答案】

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n

5.【2012 高考真题天津理 18】 (本小题满分 13 分) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , {bn } 是 等 比 数 列 , 且 a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 ,

S 4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn , n ? N ,证明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn ( n ? N ).
* *

【答案】

27

6. (辽宁理 17) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

? an ? ? n ?1 ? 2 ? 的前 n 项和. (II)求数列 ?
(1) (II)

an ? 2 ? n.

{

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 2

2 7.【2012 高考浙江文 19】 (本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数

列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
2 (1) 由 Sn= 2n ? n ,得

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡. ? ?

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2 n?1 ,n∈N﹡. (2) Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
28

8.(2010 四川文数)5_u.c o*m 已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;w_w w. k#s5_u.c o*m (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

三.裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 (1)常见拆项:

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n 1 1 ? ? (n ? 1)! n! (n ? 1)!
i i i Cn?1 ? Cn ? Cn?1 ?1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2
n ? n!? (n ? 1)!?n!

数列 ?an ? 是等差数列,数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 a n a n?1 ? ?
an ? 1 n ? n ?1

(2)

n ?1 ? n n ?1 ? n

?

1 n

?

1 n ?1

? n ?1 ? n

29

1.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.1 B.

1 ,则 S5 等于( B ) n(n ? 1)
D.

5 6

C.

1 6

1 30

2.已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 ,求前 n 项的和; n(n ? 1)
1 n ? n ?1
,求前 n 项的和.

3.已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

4.已知数列 {an } 的通项公式为 an = 5.求1 ?

n ?1 1 1 1 ,设 Tn ? ,求 Tn . ? ??? 2 a1 ? a3 a2 ? a4 an ? an? 2

1 1 1 1 ? ? ??? , (n ? N * ) 。 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n

6. 已知 a ? 0, a ? 1 , 数列 ?an ? 是首项为 a, 公比也为 a 的等比数列, bn ? an ? lg an (n ? N ) , 令 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。

7.【2012 高考真题全国卷理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 100 项和为 (A)

的前

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

【答案】A

8.(2010 山东) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

30

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

9. (全国新课标理 17) 已知等比数列 (I)求数列

{an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

{an} 的通项公式.

1 { } b ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 bn 的前 n 项和. (II)设 n
解:

1 n (Ⅰ)an= 3 .

1 2n { } ? b (Ⅱ )所以数列 n 的前 n 项和为 n ? 1

10. (全国大纲理 20)

设数列 (Ⅰ)求

?an ?

1 1 ? ? 1. a1 ? 0 且 1 ? a n?1 1 ? a n 满足

?a n? 的通项公式;
bn ? 1 ? an?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1 n

(Ⅱ)设

解:

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an (I)由题设
31

1 { } 1 ? an 是公差为 1 的等差数列。 即 1 1 ? 1, 故 ? n. 1 ? a1 1 ? an 又
1 an ? 1 ? . n 所以
(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,

n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1 ,
Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1 n n

????8 分

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1 ????12 分

11.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c , 数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 3

1000 1 的最小正整数 n 是多少? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

【解析】 (1) Q f ?1? ? a ?

1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

2 1 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



32

Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1 ? n 1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 2? 3? 2? 3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

四:含有 (?1) n ,讨论 n 的奇偶情况 1. (山东理 20) 等比数列

?an ? 中, a1, a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1, a2 , a3 中的任何两个数不
第一列 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列 解: (I)当 当 当 3 6 9

?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

a1 ? 3 时,不合题意;

a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; a1 ? 10 时,不合题意。

因此

a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18,

所以公式 q=3, 故

an ? 2 ? 3n?1. bn ? an ? (?1)n ln an

(II)因为

33

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2n ? 2(1 ? 3 ??? 32n?1 ) ? [?1 ?1 ?1 ? ?? (?1)2n ](ln 2 ? ln3) ? [?1 ? 2 ? 5 ? ?? (?1) n n]ln3,




当 n 为偶数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2

当 n 为奇数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 1? 3 2

? 3n ?

n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2

综上所述,

? n n ?3 ? 2 ln 3 ? 1, n为偶数 ? Sn ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2
五.倒序相加法求和
1 2 n 例:1. 求 Sn ? 3Cn ? 6Cn ? ? ? 3nCn

0 1 2 n 2.求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ... ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2 n

3.设数列 ?an ? 是公差为 d ,且首项为 a0 ? d 的等差数列,
0 1 n 求和: S n?1 ? a0 Cn ? a1Cn ? ? ? an Cn

34


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