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不等式选讲高考专题复习


不等式选讲
[知识点复习] 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a n ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式 ① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
2 2

②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c

(异向可减性) a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b,c ? 0 ? ac ? bc
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b
a 2 ? b2 . 2

变形公式: ab ?

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R ? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3
④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).
2 2 2

⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).
3 3 3

b a b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b a b b b?m a?n a ⑦ ? 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) ?1? ? a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小.

x ? a ? x ? a ? x ? ?a或x ? a; ⑧ 当a ? 0时,
2 2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a.

⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、几个著名不等式

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? ①平均不等式: ?1 a ? b ?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
?

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
1

变形公式:

a2 ? b2 ? a?b? ab ? ? ; ? ? 2 ? 2 ?
②幂平均不等式: a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ? ③二维形式的三角不等式:

2

( a ? b) 2 a ?b ? . 2
2 2

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R).
当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a2 2 ? a32 )(b12 ? b2 2 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ) 2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 )(b12 ? b2 2 ? ... ? bn 2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ) 2 .
⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

?? ??

? ? ??

? ? ??

??

? ?

??

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)
当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2
2 2 k ? 2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1

②将分子或分母放大(缩小) ,如

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

(

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
[高考试题精选] 2011 年试题: 一、选择题:

2

1. (2011 年高考山东卷理科 4)不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3|? 10 的解集为 (A)[-5.7] (C) (??, ?5] ? [7, ??) (B)[-4,6] (D) (??, ?4] ? [6, ??) 【答案】D

【解析】由不等式的几何意义知,式子 | x ? 5 | ? | x ? 3 | 表示数轴的点 ( x) 与点(5)的距离和与点(-3) 的距离之和,其距离之和的最小值为 8,结合数轴,选项 D 正确 二、填空题 1. (2011 年高考天津卷理科 13) 已知集合 A ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9 , B ? ? x ? R | x ? 4t ? , t ? (0, ??) ? , 则集合 A ? B =________. 【答案】 ?x ? R | ?2 ? x ? 5? 【解析】∵ A ? ?x ? R || x ? 3 | ? | x ? 4 |? 9? ? ?x ? R | ?4 ? x ? 5? ,

?

?

? ?

1 t

? ?

? 1 1 ? ? ? B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? ?0,?? ?? ? ? x ? R | x ? 2 4t ? ? 6, t ? ?0,?? ?? ? ?x ? R | x ? ?2?, t t ? ? ? ?
∴ A ? B ? ?x ? R | ?4 ? x ? 5?? ?x ? R | x ? ?2? ? ?x ? R | ?2 ? x ? 5?. 对于实数 x,y,若 x ? 1 ? 1 , y ? 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 的最大值为 .【答案】5

3. (2011 年高考广东卷理科 9)不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? 0 的解集是______. 【解析】 {x | x ? 1} 。由题得 | x ? 1 |?| x ? 3 | ? ( x ? 1) ? ( x ? 3)
2 2

? x ? 1 所以不等式的解集为

{x | x ? 1} 。
4.(2011 年高考陕西卷理科 15)(不等式选做题)若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则 实数 a 的取值范围是 【答案】 (??, ?3] ? [3, ??) 【解析】 :因为 x ? 1 ? x ? 2 ?| x ? 1 ? x ? 2 |? 3 所以 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,有 a ? 3 a ? ?3 或

a?3

3

三、解答题: 1.(2011 年高考辽宁卷理科 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (I)证明:-3≤f(x)≤3; (II)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集.
2

x ? 2, ? ?3, ? 解: (I) f ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2

当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 5} ;
2

当 x ? 5时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x) ? x ? 8 x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 6}.
2

2. (2011 年高考全国新课标卷理科 24)(本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3 x, a ? 0(1) 当 a ? 1 时, 求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (2)如果不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值。 分析:解含有绝对值得不等式,一般采用零点分段法,去掉绝对值求解;已知不等式的解集要求字母的值, 先用字母表示解集,再与原解集对比可得字母的值; 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 3x ? 2 ,可化为, x ? 1 ? 2

?

?

? x ? ?1, x ? 3 ,所以不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 ?x x ? ?1, 或x ? 3?
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 0 ,所以, x ? a ? 3 x ? 0 ,可化为,

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ?x ? a ? ? 即? a 或? a x? x?? ? ? 4 ? 2 ?
? ? a? 2?

因为, a ? 0 所以,该不等式的解集是 ? x x ? ? ? ,再由题设条件得 ?

a ? ?1,? a ? 2 2

点评:本题考查含有绝对值不等式的解法,以及解法的应用,注意过程的完整性与正确性。
4

3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解不等式: x? | 2 x ? 1|? 3 解析:考察绝对值不等式的求解,容易题。 原不等式等价于: x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3 ? x,??2 ? x ?

4 4 ,解集为 (?2, ) 3 3

4.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2 x - 1<1 的解集为 M. (I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 解析:本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分 7 分。 解: (I)由 | 2 x ? 1|? 1得 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}. (II)由(I)和 a, b ? M 可知0<a<1,0<b<1 ,所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b. 2010 年试题: 一、填空题: 1. (2010 年高考陕西卷理科 15) (不等式选做题)不等式 【解析】(方法一)当 ∴ 当 当 不适合. 时,∵原不等式即为 时,∵原不等式即为 ,即 ,又 ,∴ 适合. 适合. 时,∵原不等式即为 的解集为 . 【答案】 ,这显然不可能,

,这显然恒成立,∴ .

故综上知,不等式的解集为

(方法二)设函数 的图象,如图所示,并作直线 又令 ,则

,则∵ 与之交于点 ,即点 .

∴作函数

的横坐标为 . .

故结合图形知,不等式的解集为

5

二、解答题: 1.(2010 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)若不等式 。 的解集为 ,求实数 的值; 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力。 【解析】(Ⅰ)由 得 ,解得 ,

又已知不等式 (Ⅱ)当 时,

的解集为 ,设

,所以

,解得 ,于是



= 当 时, ;当

,所以 时, ;当 时, 。

2.(2010 年高考江苏卷试题 21)选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: 。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分 10 分。 (方法一)证明:

6

因为实数 a、b≥0, 所以上式≥0。即有 。

(方法二)证明:由 a、b 是非负实数,作差得

当 当 所以

时, 时,

,从而 ,从而 。

,得 ,得

; ;

3. (2010 年全国高考宁夏卷 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 设函数 (Ⅰ)画出函数 的图像(Ⅱ)若不等式 ≤ 的解集非空,求 a 的取值范围。

(24) 解:

(Ⅰ)由于

则函数

的图像如图所示。

(Ⅱ)由函数

与函数

的图像可知,当且仅当



时,函数

与函数

的图像有交点。故不等式

的解集非空时, 的取值范围为



7

4.(2010 年高考辽宁卷理科 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知

均为正数,证明:

,并确定

为何值时,等号成立。

2009 年试题: 1. (2009 福建卷理)解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1 解:当 x<0 时,原不等式可化为
8



不存在;



时,原不等式可化为



当 综上,原不等式的解集为 2.(2009 辽宁卷理)设函数 (1) 若 解不等式 ;(2)如果 。 , ,求 的取值范围。

解: (Ⅰ)当 a=-1 时, f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 (ⅰ)x≤-1 时, 不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

3.(2009 宁夏海南卷理)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,y 表 示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

解:
9

(Ⅰ) (Ⅱ)依题意,x 满足

{ 解不等式组,其解集为【9,23】 所以

基本不等式应用
一.基本不等式

1. (1) 若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab
a?b 2. (1)若 a, b ? R ,则 ? ab 2
*

2 2 (2)若 a, b ? R , 则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取 “=” )

2

(2)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” )
*

a ?b? * (3)若 a, b ? R ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 , 则x?

2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

1 1 “=” ) ;若 x ? 0 , 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “=” ) ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取 x x
(当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x 3.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2 b a 若 ab ? 0 ,则

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域
4.若 a, b ? R ,则 ( 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 解: (1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x (2)当 x>0 时,y=x+ 1 (2)y=x+ x 1 3x 2· 2 2x 1 ≥2 x = 6 1 x· x ∴值域为[ 6 ,+∞)

=2; 1 x· x =-2

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项
10

例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

1 解:因 4x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)? 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行拆、凑项, 4x ? 5 5 1 1 ? ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?
当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1。 5 ? 4x

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例 1. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

当 ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。 评注: 本题无法直接运用基本不等式求解, 但凑系数后可得到和为定值, 从而可利用基本不等式求最大值。 变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2
2 3 9 ? 2x ? 3 ? 2x ? ∴ 3 ? 2x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? 2 2 2 ? ?

解:∵ 0 ? x ?

当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ?

3 ? 3? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1
解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元
解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?
评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最 值。 即化为 y ? mg ( x) ?

A ? B( A ? 0, B ? 0) , g(x)恒正或恒负的形式, 然后运用基本不等式来求最值。 g ( x)
11

技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 2 解:令 x ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x2 ? 4

x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) y ?

1 t

1 t

1 t

5 。 2

?5 ?2

? ?

1 1 x 2 ? 3x ? 1 , x ? (0, ? ) , x ? 3 (3) y ? 2sin x ? , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? sin x x x ?3

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

x(1 ? x) 的最大值.;3. 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? x(2 ? 3x) 的最大值.
3

条件求最值 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是
a b a b

.

分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3 ? 3 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,
a b a b 解: 3 和3 都是正数, 3 ? 3 ≥ 2 3 ? 3 ? 2 3
a b a ?b

?6
a b

当 3 ? 3 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 ? 3 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时, 3 ? 3 的最小值是 6.
a b a b

变式:若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y
1 9 ?1 9? 9 ? ? 1 ,? x ? y ? ? ? ? ? x ? y ? ? 2 2 xy ? 12 x y x y xy ? ?


错解 :? x ? 0, y ? 0 ,且 ..

? x ? y ?min ? 12



错因:解法中两次连用基本不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等号成立
x y xy

12

条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式处理问题时,列出 x y

等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。

? 1 9 ? y 9x 1 9 正解:? x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ?x y? x y
当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ? min ? 16 。 x y x y
?

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x ? x y

y 的最小值

y2 技巧七、已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2 a 2+b 2 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 。 2 同时还应化简 1+y 2 中 y2 前面的系数为 下面将 x,
2

1 , 2

x 1+y 2 =x

1+y 2 2· = 2 x· 2

1 y2 + 2 2

1 y2 + 分别看成两个因式: 2 2 x 2+( ≤ 1 y2 + 2 2 2 )2 y2 1 x 2+ + 2 2 3 = = 2 4 1 y2 + 2 2 3 4



1 y + 2 2

即 x 1+y 2 = 2 · x



2

1 技巧八:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=ab 的最小值. 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调 性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条 件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式 的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 30-2b -2 b 2+30b ab= ·b= b+1 b+1 16 =8 t

由 a>0 得,0<b<15 -2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 t t t ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 t·

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 点评:①本题考查不等式

a?b (a, b ? R ?) 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等 ? ab 2
13

式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等 (a, b ? R ) 式

?

a?b ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. (a, b ? R ?) ? ab 2

变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. a+b a 2+b 2 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, ≤ ,本题很简单 2 2 3x + 2y ≤ 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2 3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和 为定值”条件靠拢。 W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x+2y)=20 ∴ W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y 2 ? ( 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ) 2 ? 4 ? 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x) ? 4 ? (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1= 5 ? 2 x ,即 x ?

3 时取等号。 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积 极创造条件利用基本不等式。 应用二:利用基本不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例 6:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1。求证: ?
?

分 析 : 不 等 式 右 边 数 字 8 , 使 我 们 联 想 到 左 边 因式 分 别 使 用 基 本 不 等 式可 得 三 个 “ 2 ” 连 乘 , 又
1 1? a b ? c 2 bc,可由此变形入手。 ?1 ? ? ? a a a a

解:?a、b、c ? R , a ? b ? c ? 1。?

?

1 2 ac 1 1 1 ? a b ? c 2 bc 2 ab 。同理 ? 1 ? , ?1 ? 。 ?1 ? ? ? b b a a a a c c

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? a b c 3 ? a ?? b ?? c ?

14

应用三:基本不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y 1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1 ,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,

?1 ?

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0

Q?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。

高考线性规划归类解析
知识点归纳 1 二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中,已知直线 Ax+By+C=0,坐标平面内的点 P(x0,y0) B>0 时,①Ax0+By0+C>0,则点 P(x0,y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C<0,则点 P(x0,y0)在直线的 下方 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0) ,无论 B 为正值还是负值,我们都可以把 y 项的系 数变形为正数 当 B>0 时,①Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域;②Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 2 线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义 域) ;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划 问题 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y) ; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) ; (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数) ; (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的 位置,以确定最优解,给出答案
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15

图1

题型归纳:
一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 ?2 x ? y ? 2 ? 例 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?



解析:如图 1,画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为 简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题

? x ? 1, ? 2 2 例 2、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.
2 2

解析:如图 2,只要画出满足约束条件的可行域,而 x ? y 表示 到原点的距离的平方。由图易知 A(1,2)是满足条件的最优解。 小值是为 5。 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 前提下,作出可行域,寻求最优解。 注:当目标函数形如 z ?

可行域内一点

x2 ? y2 的 最
系几何意义的

y?a 时,可把 z 看作是动点 P( x, y ) x ?b

图2







Q(b, a) 连线的斜率,这样目标函数的最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。

? ?x-y+2≤0, y 例 3. 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ? ?x+y-7≤0,
9 (A)[ ,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞) 解析 9 (B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

).

y 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O x

5 9 y (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , )时, 取得 2 2 x 9 y 最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 5 x

16

三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 例 4、在约束条件
?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ?y ? x ? s ? ? y ? 2x ? 4

下,当 3? s ? 5 时,目标函数

C

z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是() A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析:画出可行域如图 3 所示,当 3? s ? 4 时, 目标函数 z ? 3x ? 2 y 在 B(4 ? s, 2s ? 4) 处 取 得 最 大 值 , 即 zmax ? 3(4 ? s) ? 2(2s ? 4) ? s ? 4 ?[7,8) ; 当 4 ? s ? 5 时 , 目标函数 z ? 3x ? 2 y

zmax

E( 0 , 处 4 取 ) 得 最 大 值 , 即 ? 3 ? 0 ? 2 ? 4 ? 8 ,故 z ? [7,8] ,从而选 D;
在 点

点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数 Z 关于 S 的函数关系是求解 的关键。

四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例 5、已知双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形 表示该区域的不等式组是()
2 2

区域,

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? ? (A) ? x ? y ? 0 (B) ? x ? y ? 0 (C) ? x ? y ? 0 (D) ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ? ? ? 2 2 解析:双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,与直线 x ? 3 围
个三角形区域(如图 4 所示)时有 ?
?x ? y ? 0 。 ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

成 一

点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

五、探求参数问题。 例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1,1) ,则 m 的取值范 围是 ( ) y A、 ( -3,6) B、 ( 0,6) C、 ( 0,3) D、 ( -3,3)

2x – y + 3 = 0

2x – y = 0
?2 x ? y ? m ? 3 ? 0 ?2 x ? y ? m ? 3 ? 0

解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 ?

O

由右图可知 ?

?m ? 3 ? 3 ,故 0< m< 3, 选 C ?m ? 3 ? 0

例 7.已知变量 x , y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? y ? 4 。若目标函数 ??2 ? x ? y ? 2 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取
17

值 范 围

为 。 解析: 如图 5 作出可行域, 由 z ? ax ? y ? y ? ?ax ? z 其表示为斜率为 ?a , 纵截距为z的平行直线系, 要 使目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值。则直线 y ? ?ax ? z 过A点且在直线 x ? y ? 4, x ? 3 (不含界线)之间。即 ?a ? ?1 ? a ? 1. 则 a 的取值范围为 (1, ??) 。 点评:本题通过作出可行域,在挖掘 ?a与z 的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变 化关系,建立满足题设条件的 a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题 的能力要求较高。

?x ? y ? 5 ? 例 8、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? y ? 5 ? 0, 使 z=x+ay(a>0) ?x ? 3 ?
取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( )

y x+y=5

x–y+5=0

O

x=3 x

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+ay= 0, 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y= 5 重 合 , 故 a=1, 选 D

六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 ?x ? y ? 2 ? 0 例 9 在平面直角坐标系中,不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面 ?y ? 0 ? ()(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2

区域的面积是

?x ? y ? 2 ? 0 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组 ? 的平面区域是 ? x ? y ? 2 ? 0 表示 ?y ? 0 ? 一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2) , B(2,0),C(-2,0). 于是三角形的面积为: 1 1 S ? | BC | ? | AO |? ? 4 ? 2 ? 4. 从而选B。 2 2 点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或 部分求解是关键。

七、研究线性规划中的整点最优解问题 例 10、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条 件 (D)95

?5 x ? 11 y ? ?22 , ? 则 z ? 10 x ? 10 y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11 . ?
解析:如图7,作出可行域,由 z ? 10 x ? 10 y ? y ? ? x ?
18

z ,它表示 10

为 斜 率

z 11 9 的平行直线系,要使 z ? 10 x ?10 y 最得最大值。当直线 z ? 10 x ? 10 y 通过 A( , ) z 取得最 2 2 10 大值。因为 x, y ? N ,故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(5,4) ,C(4,4) ,

为 ?1 ,纵截距为

经检验直线经过B点时, Z max ? 90. 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法, 通过分类讨论获得最优整数解。 例 11、 满 足 |x|+ |y|≤ 2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 )

?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ? ?? x ? y ? 2

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0)

y

作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) ,容易得到整 点 个 数 为 13 个 , 选 D

O

x

八.实际应用 例 12 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员 此 车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次, 乙型卡车每辆每天可往返 8 次 甲 型卡车每辆每天的成本费为 252 元, 乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元 问每天派出甲型车与乙型车各多 少辆,车队所花成本费最低? 分析:弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它们的约束条件,列出目标函数, 用图解法求其整数最优解 解:设每天派出甲型车 x 辆、乙型 车 y 辆, 车队所花成本费为 y z 元,那么
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?x ? y ? 9 ?10 ? 6 x ? 6 ? 8 y ? 360 ? ? ? x ? 4, x ? N ? ? y ? 7, y ? N

7 5x+4y=30
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z=252x+160y, 作出不等式组所表示的平面区域, 即可行域,如图 x+y=9 作出直线 l0:252x+160y=0,把直线 l 向右上方平移, 使其经过可 o x 小 观察图形,可见当直线 4 行域上的整点,且使在 y 轴上的截距最 252x+160y=t 经过点(2,5)时,满足上 述要求 此时,z=252x+160y 取得最小值,即 x=2,y=5 时,zmin=252×2+160×5=1304 答:每天派出甲型车 2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低 点评:用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度要求较高,平行直线系 f(x, y)=t 的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点
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例 13. 某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位,售价 0 5 元,米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位,售价 0 4 元,学校要求给学生配制盒饭,每盒 盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少? 例 14. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有 多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润 达到最大 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的有关数 据如下表:
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资 成

金 本

单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8

月资金供应量(百 元) 300 110

劳动力(工资) 单位利润

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

13 解:设每盒盒饭需要面食 x(百克) ,米食 y(百 所需费用为 S=0 5x+0 4y,且 x、y 满足 6x+3y≥8,4x+7y≥10,x≥0,y≥0,
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克) ,

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由图可知,直线 y=- 即 S 最小
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5 5 13 14 x+ S 过 A( , ) 4 2 15 15

时,纵截距

5 S 最小, 2

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13 14 百克,米食 百克时既科学又费用最少 15 15 14 解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P,则 P=6x+8y,由题意有 30x+20y≤300,5x+10y≤110,x≥0,y≥0,x、y 均为整数 3 1 由图知直线 y=- x+ P 过 M(4,9)时,纵截距最大 这时 P 也取最大值 Pmax=6×4+8×9=96(百元) 4 8
故每盒盒饭为面食
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故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元

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