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新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答


新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答
第一章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 练习(P6) 在第 3 h 和 5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?1 和 3. 它说明在第 3 h 附近,原油温度大 约以 1 ℃/h 的速度下降;在第 5 h 时,原油温度大约以 3 ℃/h 的速率上升. 练习(P8) 函数 h(t ) 在 t ? t3 附近单调递增,在 t ? t4 附近单调递增. 并且,函数 h(t ) 在 t 4 附近比在 t 3 附近 增加得慢. 说明:体会“以直代曲”的思想. 练习(P9) 函数 r (V ) ?
3

3V (0 ? V ? 5) 的图象为 4?

根据图象,估算出 r ? (0.6) ? 0.3 , r ? (1.2) ? 0.2 . 说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题 1.1 A 组(P10) W (t ) ? W1 (t0 ? ?t ) W2 (t0 ) ? W2 (t0 ? ?t ) 1、在 t 0 处,虽然 W1 (t0 ) ? W2 (t0 ) ,然而 1 0 . ? ??t ??t 所以,企业甲比企业乙治理的效率高. 说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵. ?h h(1 ? ?t ) ? h(1) 2、 ? ? ?4.9?t ? 3.3 ,所以, h?(1) ? ?3.3 . ?t ?t 这说明运动员在 t ? 1s 附近以 3.3 m/s 的速度下降. 3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s(t ) 在 t ? 5 时的导数.

?s s( 5? ?t ) ?s ( 5) ? ? ?t ? 10 ,所以, s?(5) ? 10 . ?t ?t
因此,物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m/s,它在第 5 s 的动能 Ek ? 4、设车轮转动的角度为 ? ,时间为 t ,则 ? ? kt 2 (t ? 0) .
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1 ? 3 ?102 ? 150 J. 2

由题意可知,当 t ? 0.8 时, ? ? 2? . 所以 k ?

25? 25? 2 ,于是 ? ? t . 8 8

车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 ? (t ) 在 t ? 3.2 时的导数.

?? ? ( 3 . ? 2 ?t ?)? ? ?t ?t

( 3 . 2 )? 2 5 ? ?t ? 20? ,所以 ? ?(3.2) ? 20? . 8

因此,车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20? s ?1 . 说明:第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、 由图可知, 函数 f ( x) 在 x ? ?5 处切线的斜率大于零, 所以函数在 x ? ?5 附近单调递增. 同 理可得,函数 f ( x) 在 x ? ?4 , ?2 ,0,2 附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调 递减. 说明: “以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数 f ?( x) 的图象 如图(1)所示;第二个函数的导数 f ?( x) 恒大于零,并且随着 x 的增加, f ?( x) 的值也在增加; 对于第三个函数,当 x 小于零时, f ?( x) 小于零,当 x 大于零时, f ?( x) 大于零,并且随着 x 的 增加, f ?( x) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题 3.1 B 组(P11) 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是 速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度. 2、

说明:由给出的 v(t ) 的信息获得 s(t ) 的相关信息,并据此画出 s(t ) 的图象的大致形状. 这个 过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换. 3、由(1)的题意可知,函数 f ( x) 的图象在点 (1, ?5) 处的切线斜率为 ?1 ,所以此点附近曲 线呈下降趋势. 首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2) (3)某 点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.
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说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思 想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2 导数的计算 练习(P18) 1、 f ?( x) ? 2 x ? 7 ,所以, f ?(2) ? ?3 , f ?(6) ? 5 . 2、 (1) y? ?

1 ; x ln 2

(2) y? ? 2e x ; (4) y? ? ?3sin x ? 4cos x ; (6) y? ?

(3) y? ? 10 x 4 ? 6 x ;

1 x (5) y? ? ? sin ; 3 3

1 . 2 x ?1

习题 1.2 A 组(P18) ?S S (r ? ?r ) ? S (r ) 1、 ? ? 2? r ? ?r ,所以, S ?(r ) ? lim (2? r ? ?r ) ? 2? r . ?r ?0 ?r ?r 2、 h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 . 3、 r ?(V ) ?

13 3 . 3 4? V 2

4、 (1) y? ? 3x 2 ? (3) y? ?

1 ; x ln 2

(2) y? ? nx n ?1e x ? x n e x ;

3x 2 sin x ? x3 cos x ? cos x ; (4) y? ? 99( x ? 1)98 ; 2 sin x
(6) y? ? 2sin(2 x ? 5) ? 4 x cos(2 x ? 5) .

(5) y? ? ?2e? x ;

5、 f ?( x) ? ?8 ? 2 2 x . 由 f ?( x0 ) ? 4 有 4 ? ?8 ? 2 2 x0 ,解得 x0 ? 3 2 . 6、 (1) y? ? ln x ? 1 ; 7、 y ? ? (2) y ? x ? 1 .

x

?

? 1.

8、 (1)氨气的散发速度 A?(t ) ? 500 ? ln 0.834 ? 0.834t . (2) A?(7) ? ?25.5 ,它表示氨气在第 7 天左右时,以 25.5 克/天的速率减少.
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 3 页共 25 页)

习题 1.2 B 组(P19) 1、 (1)

(2)当 h 越来越小时, y ?

sin( x ? h) ? sin x 就越来越逼近函数 y ? cos x . h

(3) y ? sin x 的导数为 y ? cos x . 2、当 y ? 0 时, x ? 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P(0,0) .

y? ? ?e x ,所以 y?

x ?0

? ?1 .

所以,曲线在点 P 处的切线的方程为 y ? ?x . 2、 d ?(t ) ? ?4sin t . 所以,上午 6:00 时潮水的速度为 ?0.42 m/h;上午 9:00 时潮水的速度为

?0.63 m/h;中午 12:00 时潮水的速度为 ?0.83 m/h;下午 6:00 时潮水的速度为 ?1.24 m/h. 1.3 导数在研究函数中的应用 练习(P26)
1、 (1)因为 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ,所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1时,函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 单调递减. (2)因为 f ( x) ? e x ? x ,所以 f ?( x) ? e x ? 1 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时,函数 f ( x) ? e x ? x 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时,函数 f ( x) ? e x ? x 单调递减. (3)因为 f ( x) ? 3x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 3 ? 3x 2 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 时,函数 f ( x) ? 3x ? x3 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 1 时,函数 f ( x) ? 3x ? x3 单调递减. (4)因为 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ,所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 .

1 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 或 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x 单调递增; 3

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1 当 f ?( x) ? 0 ,即 ? ? x ? 1 时,函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x 单调递减. 3
2、
注:图象形状不唯一.

3、因为 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,所以 f ?( x) ? 2ax ? b . (1)当 a ? 0 时,

b 时,函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递增; 2a b f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递减. 2a (2)当 a ? 0 时, b f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递增; 2a b 时,函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递减. f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 2a
f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?
4、证明:因为 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 7 ,所以 f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x . 当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x ? 0 , 因此函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 7 在 (0, 2) 内是减函数. 练习(P29) 1、 x2 , x4 是函数 y ? f ( x) 的极值点, 其中 x ? x2 是函数 y ? f ( x) 的极大值点, x ? x4 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. 2、 (1)因为 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 ,所以 f ?( x) ? 12 x ? 1 . 令 f ?( x) ? 12 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 当x?

1 . 12

1 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 12 12 1 1 1 1 49 所以,当 x ? 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 f ( ) ? 6 ? ( ) 2 ? ? 2 ? ? . 12 12 12 12 24
(2)因为 f ( x) ? x3 ? 27 x ,所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 27 . 令 f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0 ,得 x ? ?3 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?3 或 x ? 3 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?3 ? x ? 3 时. 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 变化情况如下表:

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x
f ?( x) f ( x)

(??, ?3)
+ 单调递增

?3
0 54

(?3,3)
- 单调递减

3 0

(3, ??)
+ 单调递增

?54

因此,当 x ? ?3 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 54; 当 x ? 3 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?54 . (3)因为 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 12 ? 3x 2 . 令 f ?( x) ? 12 ? 3x 2 ? 0 ,得 x ? ?2 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?2)
- 单调递减

?2
0

(?2, 2)
+ 单调递增

2 0 22

(2, ??)
- 单调递减

?10

因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?10 ; 当 x ? 2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 22 (4)因为 f ( x) ? 3x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 3 ? 3x 2 . 令 f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0 ,得 x ? ?1 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 1 时. 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)
- 单调递减

?1
0

(?1,1)
+ 单调递增

1 0 2

(1, ??)
- 单调递减

f ( x)

?2

因此,当 x ? ?1 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?2 ;
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 6 页共 25 页)

当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 2 练习(P31) (1)在 [0, 2] 上,当 x ?

1 1 49 时, f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 有极小值,并且极小值为 f ( ) ? ? . 12 12 24

又由于 f (0) ? ?2 , f (2) ? 20 . 因此,函数 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 在 [0, 2] 上的最大值是 20、最小值是 ?

49 . 24

(2)在 [?4, 4] 上,当 x ? ?3 时, f ( x) ? x3 ? 27 x 有极大值,并且极大值为 f (?3) ? 54 ; 当 x ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 27 x 有极小值,并且极小值为 f (3) ? ?54 ; 又由于 f (?4) ? 44 , f (4) ? ?44 . 因此,函数 f ( x) ? x3 ? 27 x 在 [?4, 4] 上的最大值是 54、最小值是 ?54 .

1 (3)在 [? ,3] 上,当 x ? 2 时, f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 有极大值,并且极大值为 f (2) ? 22 . 3 1 55 又由于 f (? ) ? , f (3) ? 15 . 3 27 1 55 因此,函数 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 在 [? ,3] 上的最大值是 22、最小值是 . 3 27
(4)在 [2,3] 上,函数 f ( x) ? 3x ? x3 无极值. 因为 f (2) ? ?2 , f (3) ? ?18 . 因此,函数 f ( x) ? 3x ? x3 在 [2,3] 上的最大值是 ?2 、最小值是 ?18 . 习题 1.3 A 组(P31) 1、 (1)因为 f ( x) ? ?2 x ? 1 ,所以 f ?( x) ? ?2 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? ?2 x ? 1 是单调递减函数. (2)因为 f ( x) ? x ? cos x , x ? (0, ) ,所以 f ?( x) ? 1 ? sin x ? 0 , x ? (0, ) . 2 2 因此,函数 f ( x) ? x ? cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数. 2 (3)因为 f ( x) ? ?2 x ? 4 ,所以 f ?( x) ? ?2 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? 2 x ? 4 是单调递减函数. (4)因为 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x ,所以 f ?( x) ? 6 x 2 ? 4 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x 是单调递增函数.

?

?

?

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2、 (1)因为 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ,所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 时,函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 单调递增. 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 时,函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 单调递减. (2)因为 f ( x) ? 2 x 2 ? 3x ? 3 ,所以 f ?( x) ? 4 x ? 3 .

3 时,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 3x ? 3 单调递增. 4 3 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 时,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 3x ? 3 单调递减. 4
当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? (3)因为 f ( x) ? 3x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? 3x ? x3 是单调递增函数. (4)因为 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ,所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 当 f ?( x) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 3、 (1)图略.

1 时,函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x 单调递增. 3

1 时,函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? x 单调递减. 3 (2)加速度等于 0.

4、 (1)在 x ? x2 处,导函数 y ? f ?( x) 有极大值; (2)在 x ? x1 和 x ? x4 处,导函数 y ? f ?( x) 有极小值; (3)在 x ? x3 处,函数 y ? f ( x) 有极大值; (4)在 x ? x5 处,函数 y ? f ( x) 有极小值. 5、 (1)因为 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 ,所以 f ?( x) ? 12 x ? 1 . 令 f ?( x) ? 12 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ? 当x??

1 . 12

1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 12 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 12 1 1 1 1 49 所以, 并且极小值为 f (? ) ? 6 ? (? ) 2 ? ? 2 ? ? . x ? ? 时,f ( x) 有极小值, 12 12 12 12 24
(2)因为 f ( x) ? x3 ? 12 x ,所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 12 . 令 f ?( x) ? 3x 2 ? 12 ? 0 ,得 x ? ?2 . 下面分两种情况讨论:
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①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?2)
+ 单调递增

?2
0 16

(?2, 2)
- 单调递减

2 0

(2, ??)
+ 单调递增

?16

因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 16; 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?16 . (3)因为 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ,所以 f ?( x) ? ?12 ? 3x 2 . 令 f ?( x) ? ?12 ? 3x 2 ? 0 ,得 x ? ?2 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?2)
+ 单调递增

?2
0 22

(?2, 2)
- 单调递减

2 0

(2, ??)
+ 单调递增

?10

因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 22; 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?10 . (4)因为 f ( x) ? 48 x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 48 ? 3x 2 . 令 f ?( x) ? 48 ? 3x 2 ? 0 ,得 x ? ?4 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?4)


?4
0

(?4, 4)


4 0

(4, ??)


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f ( x)

单调递减

?128

单调递增

128

单调递减

因此,当 x ? ?4 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?128 ; 当 x ? 4 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 128. 6、 (1)在 [?1,1] 上,当 x ? ?

1 47 时,函数 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 有极小值,并且极小值为 . 12 24

由于 f (?1) ? 7 , f (1) ? 9 , 所以,函数 f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 在 [?1,1] 上的最大值和最小值分别为 9,

47 . 24

(2)在 [?3,3] 上,当 x ? ?2 时,函数 f ( x) ? x3 ? 12 x 有极大值,并且极大值为 16; 当 x ? 2 时,函数 f ( x) ? x3 ? 12 x 有极小值,并且极小值为 ?16 . 由于 f (?3) ? 9 , f (3) ? ?9 , 所以,函数 f ( x) ? x3 ? 12 x 在 [?3,3] 上的最大值和最小值分别为 16, ?16 .

1 1 (3)在 [? ,1] 上,函数 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 在 [? ,1] 上无极值. 3 3 1 269 由于 f (? ) ? , f (1) ? ?5 , 3 27 1 269 所以,函数 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 在 [? ,1] 上的最大值和最小值分别为 , ?5 . 3 27
(4)当 x ? 4 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 128.. 由于 f (?3) ? ?117 , f (5) ? 115 , 所以,函数 f ( x) ? 48 x ? x3 在 [?3,5] 上的最大值和最小值分别为 128, ?117 . 习题 3.3 B 组(P32) 1、 (1)证明:设 f ( x) ? sin x ? x , x ? (0, ? ) . 因为 f ?( x) ? cos x ?1 ? 0 , x ? (0, ? ) 所以 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 内单调递减 因此 f ( x) ? sin x ? x ? f (0) ? 0 , x ? (0, ? ) ,即 sin x ? x , x ? (0, ? ) . (2)证明:设 f ( x) ? x ? x 2 , x ? (0,1) . 因为 f ?( x) ? 1 ? 2 x , x ? (0,1) 图略

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1 所以,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 1 ? 2 x ? 0 , f ( x) 单调递增, 2
f ( x) ? x ? x 2 ? f (0) ? 0 ;

1 当 x ? ( ,1) 时, f ?( x) ? 1 ? 2 x ? 0 , f ( x) 单调递减, 2
f ( x) ? x ? x 2 ? f (1) ? 0 ;

1 1 又 f ( ) ? ? 0 . 因此, x ? x2 ? 0 , x ? (0,1) . 2 4
(3)证明:设 f ( x) ? e x ? 1 ? x , x ? 0 . 因为 f ?( x) ? e x ? 1 , x ? 0 所以,当 x ? 0 时, f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 , f ( x) 单调递增,

图略

f ( x) ? e x ? 1 ? x ? f (0) ? 0 ;
当 x ? 0 时, f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 , f ( x) 单调递减,

f ( x) ? e x ? 1 ? x ? f (0) ? 0 ;
综上, e x ? 1 ? x , x ? 0 . (4)证明:设 f ( x) ? ln x ? x , x ? 0 . 因为 f ?( x) ? 图略

1 ?1 , x ? 0 x 1 ? 1 ? 0 , f ( x) 单调递增, x

所以,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ?

f ( x) ? ln x ? x ? f (1) ? ?1 ? 0 ;
当 x ? 1 时, f ?( x) ?

1 ? 1 ? 0 , f ( x) 单调递减, x

f ( x) ? ln x ? x ? f (1) ? ?1 ? 0 ;
当 x ? 1 时,显然 ln1 ? 1 . 因此, ln x ? x .

由(3)可知, e x ? x ? 1 ? x , x ? 0 . . 综上, ln x ? x ? e x , x ? 0 图略 ”或“ ”

2、 (1)函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图象大致是个“双峰”图象,类似“

的形状. 若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值,从图象上能大致估 计它的单调区间. (2)因为 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d ,所以 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c .
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 11 页共 25 页)

下面分类讨论: 当 a ? 0 时,分 a ? 0 和 a ? 0 两种情形: ①当 a ? 0 ,且 b2 ? 3ac ? 0 时, 设方程 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 的两根分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 当 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 , 即 x ? x1 或 x ? x2 时, 函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 单调递增; 当 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 ,即 x1 ? x ? x2 时,函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 单调递减. 当 a ? 0 ,且 b2 ? 3ac ? 0 时, 此时 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 ,函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 单调递增. ②当 a ? 0 ,且 b2 ? 3ac ? 0 时, 设方程 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 的两根分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 当 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 ,即 x1 ? x ? x2 时,函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 单调递增; 当 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 , 即 x ? x1 或 x ? x2 时, 函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 单调递减. 当 a ? 0 ,且 b2 ? 3ac ? 0 时, 此时 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 ,函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 单调递减 1.4 生活中的优化问题举例 习题 1.4 A 组(P37) 1、设两段铁丝的长度分别为 x , l ? x ,则这两个正方形的边长分别为

x l?x 2 1 形的面积和为 S ? f ( x) ? ( )2 ? ( ) ? (2 x 2 ? 2lx ? l 2 ) , 0 ? x ? l . 4 4 16 l 令 f ?( x) ? 0 ,即 4 x ? 2l ? 0 , x ? . 2 l l 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , l ) 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 l 因此, x ? 是函数 f ( x) 的极小值点,也是最小值点. 2 l 所以,当两段铁丝的长度分别是 时,两个正方形的面积和最小. 2 2、如图所示,由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为 x 的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为 a ? 2 x ,高为 x . a (1)无盖方盒的容积 V ( x) ? (a ? 2 x) 2 x , 0 ? x ? . 2
(2)因为 V ( x) ? 4 x3 ? 4ax 2 ? a 2 x ,
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x l?x , ,两个正方 4 4

x

a

(第 2 题)

所以 V ?( x) ? 12 x 2 ? 8ax ? a 2 .

a a (舍去) ,或 x ? . 2 6 a a a 当 x ? (0, ) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, V ?( x) ? 0 . 6 6 2 a 因此, x ? 是函数 V ( x) 的极大值点,也是最大值点. 6 a 所以,当 x ? 时,无盖方盒的容积最大. 6 3、如图,设圆柱的高为 h ,底半径为 R ,
令 V ?( x) ? 0 ,得 x ? 则表面积 S ? 2? Rh ? 2? R 由 V ? ? R2 h ,得 h ?
2

R

V . ? R2 V 2V 因此, S ( R) ? 2? R ? 2? R 2 ? ? 2? R 2 , R ? 0 . 2 ?R R
令 S ?( R) ? ?

h

V 2V . ? 4? R ? 0 ,解得 R ? 3 2? R

当 R ? (0, 3

V ) 时, S ?( R) ? 0 ; 2?

当 R?(3

V , ??) 时, S ?( R) ? 0 . 2?
3

(第 3 题)

因此, R ?

V V V ? 23 ? 2R . 是函数 S ( R) 的极小值点,也是最小值点. 此时, h ? 2 2? ?R 2?

所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省. 4、证明:由于 f ( x) ?

1 n 2 n 2 ? ( x ? a ) ,所以 f ( x ) ? ? ? ( x ? ai ) . i n i ?1 n i ?1

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 n ? ai , n i ?1

可以得到, x ?

1 n ? ai 是函数 f ( x) 的极小值点,也是最小值点. n i ?1 1 n ? ai 表示这个物体的长度是合理的, n i ?1

这个结果说明,用 n 个数据的平均值 这就是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为 x m,则半圆的半径为

? x2 2 x m,半圆的面积为 m , 8 2

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矩形的面积为 a ?

? x2

a ?x m2 ,矩形的另一边长为 ( ? ) m 8 x 8

因此铁丝的长为 l ( x) ?

?x
2

?x?

8a 2a ? x ? 2a ,0 ? x ? ? ? (1 ? ) x ? ? x 4 4 x 8a (负值舍去). 4??

令 l ?( x) ? 1 ?

?
4

?

2a ? 0 ,得 x ? x2

当 x ? (0,

8a 8a 8a ) 时, l ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, l ?( x) ? 0 . 4?? 4?? ? 8a 是函数 l ( x) 的极小值点,也是最小值点. 4?? 8a m 时,所用材料最省. 4??

因此, x ?

所以,当底宽为

6、利润 L 等于收入 R 减去成本 C ,而收入 R 等于产量乘单价. 由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.

1 1 收入 R ? q ? p ? q(25 ? q) ? 25q ? q 2 , 8 8 1 2 1 利润 L ? R ? C ? (25q ? q ) ? (100 ? 4q) ? ? q 2 ? 21q ? 100 , 0 ? q ? 200 . 8 8 1 求导得 L? ? ? q ? 21 4 1 令 L? ? 0 ,即 ? q ? 21 ? 0 , q ? 84 . 4
当 q ? (0,84) 时, L? ? 0 ;当 q ? (84, 200) 时, L? ? 0 ;

因此, q ? 84 是函数 L 的极大值点,也是最大值点.
所以,产量为 84 时,利润 L 最大,

习题 1.4 B 组(P37) 1、设每个房间每天的定价为 x 元, x ? 180 1 那么宾馆利润 L( x) ? (50 ? )( x ? 20) ? ? x 2 ? 70 x ? 1360 , 180 ? x ? 680 . 10 10 1 令 L?( x) ? ? x ? 70 ? 0 ,解得 x ? 350 . 5 当 x ? (180,350) 时, L?( x) ? 0 ;当 x ? (350, 680) 时, L?( x) ? 0 . 因此, x ? 350 是函数 L( x) 的极大值点,也是最大值点. 所以,当每个房间每天的定价为 350 元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元/件时,
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 14 页共 25 页)

b?x 4 5b ? 4) ? c( x ? a)(5 ? x) , a ? x ? . b b 4 8c 4ac ? 5bc 4a ? 5b 令 L?( x) ? ? x ? . ? 0 ,解得 x ? b b 8 4a ? 5b 4a ? 5b 5b 当 x ? ( a, ) 时, L?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, L?( x) ? 0 . 8 8 4 4a ? 5b 当x? 是函数 L( x) 的极大值点,也是最大值点. 8 4a ? 5b 所以,销售价为 元/件时,可获得最大利润. 8 1.5 定积分的概念 练习(P42) 8 . 3 说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤,体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习(P45) i i 1 i 1 2 1、 ?si ? ?si? ? v( )?t ? [?( ) 2 ? 2] ? ? ?( ) 2 ? ? ? , i ? 1, 2,?, n . n n n n n n
利润 L( x) ? ( x ? a)(c ? c
n n n i 于是 s ? ? ?si ? ? ?si? ? ? v( )?t n i ?1 i ?1 i ?1 n i 1 2 ? ? [ ?( ) 2 ? ? ? ] n n n i ?1

1 1 n ?1 2 1 n 2 1 ? ?( )2 ? ? ? ? ( ) ? ?( ) ? ?2 n n n n n n 1 ? ? 3 [1 ? 22 ? ? ? n2 ] ? 2 n 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ?? 3? ?2 n 6 1 1 1 ? ? (1 ? )(1 ? ) ? 2 3 n 2n 取极值,得
n n 1 i 1 1 1 5 s ? lim ? [ v( )] ? lim ? [? (1 ? )(1 ? ) ? 2] ? n ?? n ?? n 3 n 2n 3 i ?1 n i ?1

说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 22 2、 km. 3 说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想,熟悉求变速直线运动物体路程的方法 和步骤. 练习(P48)

?

2

0

x3dx ? 4 .

说明:进一步熟悉定积分的定义和几何意义.

从几何上看,表示由曲线 y ? x3 与直线 x ? 0 , x ? 2 , y ? 0 所围成的曲边梯形的面积 S ? 4 .

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 15 页共 25 页)

习题 1.5 A 组(P50) 1、 (1) ? ( x ? 1)dx ? ? [(1 ?
2 1 i ?1 100

i ?1 1 ) ? 1] ? ? 0.495 ; 100 100 i ?1 1 ) ? 1] ? ? 0.499 ; 500 500 i ?1 1 ) ? 1] ? ? 0.4995 . 1000 1000

(2) ? ( x ? 1)dx ? ? [(1 ?
2 1 i ?1

500

(3) ? ( x ? 1)dx ? ? [(1 ?
2 1 i ?1

1000

说明:体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为: 18 ?1 ? 12 ?1 ? 7 ?1 ? 3 ?1 ? 0 ?1 ? 40 (m) ; 距离的过剩近似值为: 27 ?1 ? 18 ?1 ? 12 ?1 ? 7 ?1 ? 3?1 ? 67 (m). 3、证明:令 f ( x) ? 1 . 用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ?i (i ? 1, 2,?, n) 作和式

? f (? )?x ? ?
i ?1 i i ?1 b a

n

n

b?a ?b?a, n

从而

?

1dx ? lim ?
n ?? i ?1

n

b?a ?b?a, n

说明:进一步熟悉定积分的概念. 4、 根据定积分的几何意义,?
1 0

1 ? x2 dx 表示由直线 x ? 0 ,x ? 1 ,y ? 0 以及曲线 y ? 1 ? x 2
1 0

所围成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因此 ? 5、 (1) ? x3dx ? ?
?1 0

1 ? x 2 dx ?

?
4

.

1 . 4
0 ?1

由于在区间 [?1, 0] 上 x3 ? 0 ,所以定积分 ? x3dx 表示由直线 x ? 0 , x ? ?1 , y ? 0 和曲线

y ? x3 所围成的曲边梯形的面积的相反数.
1 0 1 1 1 (2)根据定积分的性质,得 ? x3dx ? ? x3dx ? ? x3dx ? ? ? ? 0 . ?1 ?1 0 4 4

由于在区间 [?1, 0] 上 x3 ? 0 ,在区间 [0,1] 上 x3 ? 0 ,所以定积分 ? x3dx 等于位于 x 轴上方的
?1

1

曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.
2 0 2 1 15 (3)根据定积分的性质,得 ? x3dx ? ? x3dx ? ? x3dx ? ? ? 4 ? ?1 ?1 0 4 4

由于在区间 [?1, 0] 上 x3 ? 0 ,在区间 [0, 2] 上 x3 ? 0 ,所以定积分 ? x3dx 等于位于 x 轴上方的
?1

2

曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积. 说明:在(3)中,由于 x 3 在区间 [?1, 0] 上是非正的,在区间 [0, 2] 上是非负的,如果直接利

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用定义把区间 [?1, 2] 分成 n 等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又有负项,而且无法抵 挡一些项, 求和会非常麻烦. 利用性质 3 可以将定积分 ? x3dx 化为 ? x3dx ? ? x3dx , 这样,x 3
?1 ?1 0 2 0 2

在区间 [?1, 0] 和区间 [0, 2]上的符号都是不变的,再利用定积分的定义,容易求出 ? x3dx ,
?1

0

?

2

0

x3dx ,进而得到定积分 ? x3dx 的值. 由此可见,利用定积分的性质可以化简运算.
?1

2

在(2) (3)中,被积函数在积分区间上的函数值有正有负,通过练习进一步体会定积分的 几何意义. 习题 1.5 B 组(P50) 1、该物体在 t ? 0 到 t ? 6 (单位:s)之间走过的路程大约为 145 m. 说明:根据定积分的几何意义,通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过 的路程. 2、 (1) v ? 9.81t .
8 i 1 1 8? 9 (2)过剩近似值: ? 9.81? ? ? 9.81? ? ; ? 88.29 (m) 2 2 4 2 i ?1 8

不足近似值: ? 9.81?
i ?1

i ?1 1 1 8? 7 ? ? 9.81? ? ? 68.67 (m) 2 2 4 2

(3) ? 9.81tdt ;
0

4

?

4

0

9.81tdt ? 78.48 (m).

3、 (1)分割 在区间 [0, l ] 上等间隔地插入 n ? 1 个分点,将它分成 n 个小区间:

l l 2l (n ? 2)l [0, ] , [ , ] ,??, [ , l] , n n n n (i ? 1)l il 记第 i 个区间为 [ ,其长度为 , ] ( i ? 1, 2,? n ) n n il (i ? 1)l l ?x ? ? ? . n n n l l 2l (n ? 2)l 把细棒在小段 [0, ] , [ , ] ,??, [ , l ] 上质量分别记作: n n n n
?m1 , ?m2 ,?, ?mn ,
则细棒的质量 m ? ? ?mi .
i ?1 n

(2)近似代替

(i ? 1)l il , ] 上,可以认为线密度 ? ( x) ? x 2 的值变 n n (i ? 1)l il 化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于任意一点 ?i ? [ , ] 处的函数 n n ( i ? 1) l il l 值 ? (?i ) ? ?i 2 . 于是,细棒在小段 [ , ] 上质量 ?mi ? ? (?i )?x ? ?i 2 ( i ? 1, 2,? n ). n n n
当 n 很大,即 ?x 很小时,在小区间 [
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 17 页共 25 页)

(3)求和 得细棒的质量 m ? ? ?mi ? ? ? (?i )?x ? ? ?i 2
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

l . n

(4)取极限 细棒的质量 m ? lim ? ?i 2
n ?? i ?1 n

l l ,所以 m ? ? x 2 dx .. 0 n

1.6 微积分基本定理 练习(P55) (1)50; (5) (2)

50 ; 3

(3)

4 2 5 ? ; (4)24; 3 3

3 1 (7)0; (8) ?2 . ? ln 2 ; (6) ; 2 2 说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 1.6 A 组(P55) 40 1 9 1、 (1) ; (2) ? ? 3ln 2 ; (3) ? ln 3 ? ln 2 ; 3 2 2
(4) ?

17 ; 6

(5)

3? 2 ? 1; 8

(6) e2 ? e ? 2ln 2 .

说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
? 2、 ? sin xdx ? [? cos x]3 0 ? 2.
0 3?

它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为: 位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与 x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代 数和. 习题 1.6 B 组(P55)

1 e2 1 ? ? ; 1、 (1)原式= [ e2 x ]1 0 2 2 2
(3)原式= [
?

1 1 3 4 ? ? (2)原式= [ sin 2 x]? ; 2 2 4 6

?

2x 3 6 ]1 ? . ln 2 ln 2

cos mx ? 1 ]?? ? ? [cos m? ? cos(?m? )] ? 0 ; ?? m m ? sin mx ? 1 (2) ? cos mxdx ? ??? ? [sin m? ? sin(?m? )] ? 0 ; ?? m m ? ? 1 ? cos 2mx x sin 2mx ? (3) ? sin 2 mxdx ? ? dx ? [ ? ]?? ? ? ; ?? ?? 2 2 4m ? ? 1 ? cos 2mx x sin 2mx ? (4) ? cos 2 mxdx ? ? dx ? [ ? ]?? ? ? . ?? ?? 2 2 4m t g g g g g g 3、 (1) s(t ) ? ? (1 ? e? kt )dt ? [ t ? 2 e? kt ]t0 ? t ? 2 e ? kt ? 2 ? 49t ? 245e ?0.2t ? 245 . 0 k k k k k k
2、 (1) ? sin mxdx ? [? (2)由题意得 49t ? 245e?0.2t ? 245 ? 5000 .
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这是一个超越方程,为了解这个方程,我们首先估计 t 的取值范围. 根据指数函数的性质,当 t ? 0 时, 0 ? e?0.2t ? 1 ,从而 5000 ? 49t ? 5245 , 因此, 因此 245e
?0.2? 5000 49

5000 5245 . ?t ? 49 49
?0.2? 5245 49

? 3.36 ?10 ?7 , 245e

? 1.24 ?10 ?7 ,

所以, 1.24 ?10?7 ? 245e?0.2t ? 3.36 ?10?7 . 从而,在解方程 49t ? 245e?0.2t ? 245 ? 5000 时, 245e?0.2t 可以忽略不计.

5245 (s). 49 说明: B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分, 可视学生的具体情况选做, 不要求掌握. 1.7 定积分的简单应用 练习(P58) 32 (1) ; (2)1. 3 说明:进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习(P59)
因此,. 49t ? 245 ? 5000 ,解之得 t ? 1、 s ? ? (2t ? 3)dt ? [t 2 ? 3t ]5 3 ? 22 (m).
3
4 3 4 2、 W ? ? (3x ? 4)dx ? [ x 2 ? 4 x]0 ? 40 (J). 0 2 习题 1.7 A 组(P60) 9 1、 (1)2; (2) . 2 b q q q q 2、 W ? ? k 2 dr ? [?k ]b ?k . a ?k a r r a b

5

3、令 v(t ) ? 0 ,即 40 ?10t ? 0 . 解得 t ? 4 . 即第 4s 时物体达到最大高度.
4 最大高度为 h ? ? (40 ? 10t )dt ? [40t ? 5t 2 ]0 ? 80 (m). 0 4

4、设 t s 后两物体相遇,则

? (3t
0

t

2

? 1)dt ? ? 10tdt ? 5 ,
0

t

解之得 t ? 5 . 即 A, B 两物体 5s 后相遇. 此时,物体 A 离出发地的距离为

?

5

0

(3t 2 ? 1)dt ? [t 3 ? t ]5 0 ? 130 (m).

5、由 F ? kl ,得 10 ? 0.01k . 解之得 k ? 1000 . 所做的功为 W ? ? 1000ldl ? 500l 2 ?0.1 0 ? 5 (J).
0 0.1

6、 (1)令 v(t ) ? 5 ? t ?

55 ? 0 ,解之得 t ? 10 . 因此,火车经过 10s 后完全停止. 1? t

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 19 页共 25 页)

55 1 )dt ? [5t ? t 2 ? 55ln(1 ? t )]10 0 ? 55ln11 (m). 1? t 2 y 习题 1.7 B 组(P60)
(2) s ? ? (5 ? t ?
0 10

1、 (1) ?

a

?a

a 2 ? x2 dx 表示圆 x 2 ? y 2 ? a 2 与 x 轴所围成的上
a

半圆的面积,因此 ?
1

?a

a 2 ? x 2 dx ?

? a2
2

O 1 x

(2) ? [ 1 ? ( x ?1)2 ? x]dx 表示圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 与直线
0

y ? x 所围成的图形(如图所示)的面积,
因此, ? [ 1 ? ( x ? 1) 2 ? x]dx ?
0 1

(第 1 (2) 题)

? ?12
4

1 ? 1 ? ? 1? 1 ? ? . 2 4 2
O x h b y

2、证明:建立如图所示的平面直角坐标系,可设抛物线的 b 4h 方程为 y ? ax 2 ,则 h ? a ? ( ) 2 ,所以 a ? 2 . 2 b 4h 从而抛物线的方程为 y ? 2 x 2 . b 于是,抛物线拱的面积 S ? 2?
b 2 0

4h 2 4h 3 b 2 2 (h ? 2 x )dx ? 2[hx ? 2 x ]0 ? bh .(第 2 题) b 3b 3

? y ? x2 ? 2 3、如图所示.解方程组 ? ? y ? 3x
得曲线 y ? x 2 ? 2 与曲线 y ? 3x 交点的横坐标 x1 ? 1 , x2 ? 2 . 于是,所求的面积为 ? [( x2 ? 2) ? 3x]dx ? ? [3x ? ( x 2 ? 2)]dx ? 1 .
0 1 1 2

4、证明: W ? ?

R?h

R

G

Mm Mm R ? h Mmh . dr ? [?G ]R ? G 2 r r R ( R ? h)

第一章 复习参考题 A 组(P65)
1、 (1)3; 2、 (1) y? ? (2) y ? ?4 .

2sin x cos x ? 2 x ; cos 2 x
2x ; x

(2) y? ? 3( x ? 2)2 (3x ? 1)(5 x ? 3) ; (4) y ? ?

(3) y? ? 2 x ln x ln 2 ? 3、 F ? ? ?

2x ? 2x2 . (2 x ? 1) 4

2GMm . r3

4、 (1) f ?(t ) ? 0 . 因为红茶的温度在下降.

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 20 页共 25 页)

(2) f ?(3) ? ?4 表明在 3℃附近时,红茶温度约以 4℃/min 的速度下降. 5、因为 f ( x) ? 3 x 2 ,所以 f ?( x) ?

图略.

2 3 x
3

.

当 f ?( x) ?

2 3 x 2 33 x
3

? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增;

当 f ?( x) ?

? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减.

6、因为 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,所以 f ?( x) ? 2 x ? p . 当 f ?( x) ? 2 x ? p ? 0 ,即 x ? ? 由?

p ? 1 时, f ( x) 有最小值. 2

p ? 1 ,得 p ? ?2 . 又因为 f (1) ? 1 ? 2 ? q ? 4 ,所以 q ? 5 . 2

7、因为 f ( x) ? x( x ? c)2 ? x3 ? 2cx 2 ? c 2 x , 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 4cx ? c 2 ? (3x ? c)( x ? c) . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ?

c ,或 x ? c 时,函数 f ( x) ? x( x ? c)2 可能有极值. 3

由题意当 x ? 2 时,函数 f ( x) ? x( x ? c)2 有极大值,所以 c ? 0 . 由于

x
f ?( x)

c (??, ) 3
+ 单调递增

c 3
0 极大值

c ( , c) 3
- 单调递减

c
0 极小值

(c, ??)
+ 单调递增

f ( x)
所以,当 x ?

c c 时,函数 f ( x) ? x( x ? c)2 有极大值. 此时, ? 2 , c ? 6 . 3 3

8、设当点 A 的坐标为 (a, 0) 时, ?AOB 的面积最小. 因为直线 AB 过点 A(a,0) , P(1,1) ,

y ?0 x?a 1 ,即 y ? ? ( x ? a) . x ? 0 1? a 1? a a a 当 x ? 0 时, y ? ,即点 B 的坐标是 (0, ). a ?1 a ?1
所以直线 AB 的方程为 因此, ?AOB 的面积 S?AOB ? S (a ) ?

1 a a2 a ? . 2 a ? 1 2(a ? 1)

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 21 页共 25 页)

令 S ?(a) ? 0 ,即 S ?(a) ?

1 a 2 ? 2a ? ? 0. 2 (a ? 1) 2

当 a ? 0 ,或 a ? 2 时, S ?(a) ? 0 , a ? 0 不合题意舍去. 由于

x
f ?( x)

(0, 2)
- 单调递减

2 0 极小值

(2, ??)
+ 单调递增

f ( x)

所以,当 a ? 2 ,即直线 AB 的倾斜角为 135? 时, ?AOB 的面积最小,最小面积为 2. 9、 D . 10、设底面一边的长为 x m,另一边的长为 ( x ? 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m. 所以,长方体容器的高为 设容器的容积为 V ,则

14.8 ? 4 x ? 4( x ? 0.5) 12.8 ? 8 x ? ? 3.2 ? 2 x . 4 4

V ? V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ?2 x3 ? 2.2 x 2 ? 1.6 x , 0 ? x ? 1.6 .
令 V ?( x) ? 0 ,即 ?6 x2 ? 4.4 x ? 1.6 ? 0 . 所以, x ? ?

4 (舍去) ,或 x ? 1 . 15

当 x ? (0,1) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? (1,1.6) 时, V ?( x) ? 0 . 因此, x ? 1 是函数 V ( x) 在 (0,1.6) 的极大值点,也是最大值点. 所以,当长方体容器的高为 1 m 时,容器最大,最大容器为 1.8 m3. 11、设旅游团人数为 100 ? x 时, 旅行社费用为 y ? f ( x) ? (100 ? x)(1000 ? 5 x) ? ?5 x 2 ? 500 ? 100000 (0 ? x ? 80) . 令 f ?( x) ? 0 ,即 ?10x ? 500 ? 0 , x ? 50 . 又 f (0) ? 100000 , f (80) ? 108000 , f (50) ? 112500 . 所以, x ? 50 是函数 f ( x) 的最大值点. 所以,当旅游团人数为 150 时,可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为 x cm 时,可使其打印面积最大. 623.7 因为打印纸的面积为 623.7,长为 x ,所以宽为 , x 623.7 打印面积 S ( x) ? ( x ? 2 ? 2.54)( ? 2 ? 3.17) x

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 22 页共 25 页)

3168.396 , 5.08 ? x ? 98.38 . ?655.90? 72 x 6 .? 34 2 x 3168.396 623.7 令 S ?( x) ? 0 ,即 6.34 ? , ? 0 , x ? 22.36 (负值舍去) ? 27.89 . 2 x 22.36
S ( x) 在 (5.08,98.38) 内唯一极值点,且为极大值,从而是最大值点. x ? 2 2 . 3是函数 6
所以,打印纸的长、宽分别约为 27.89cm,22.36cm 时,可使其打印面积最大. 13、设每年养 q 头猪时,总利润为 y 元.

1 则 y ? R(q) ? 20000 ? 100q ? ? q 2 ? 300q ? 20000 (0 ? q ? 400, q ? N ) . 2
令 y? ? 0 ,即 ?q ? 300 ? 0 , q ? 300 . 当 q ? 300 时, y ? 25000 ;当 q ? 400 时, y ? 20000 .

q ? 300 是函数 y ( p) 在 (0, 400] 内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点.
所以,每年养 300 头猪时,可使总利润最大,最大总利润为 25000 元. 14、 (1) 2 3 ? 2 ; (4)原式= ?
?
2 0

(2) 2e ? 2 ;

(3)1;

? ? cos 2 x ? sin 2 x 2 2 dx ? ? (cos x ? sin x)dx ? [sin x ? cos x]0 ? 0; 0 cos x ? sin x

(5)原式= ? 2
0

?

1 ? cos x x ? sin x ? ? ?2 2 . dx ? [ ]0 ? 2 2 4
说明:利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.

15、略. 16、 2 2 ? 2 .

17、由 F ? kl ,得 0.049 ? 0.01k . 解之得 k ? 4.9 .

l 2 0.3 所做的功为 W ? ? 4.9ldl ? 4.9 ? ?0.1 ? 0.196 (J) 0.1 2
0.3

第一章 复习参考题 B 组(P66)
1、 (1) b?(t ) ? 104 ? 2 ?103 t . 所以,细菌在 t ? 5 与 t ? 10 时的瞬时速度分别为 0 和 ?104 . (2)当 0 ? t ? 5 时, b?(t ) ? 0 ,所以细菌在增加; 当 5 ? t ? 5 ? 5 5 时, b?(t ) ? 0 ,所以细菌在减少. 2、设扇形的半径为 r ,中心角为 ? 弧度时,扇形的面积为 S . 1 l 因为 S ? ? r 2 , l ? 2r ? ? r ,所以 ? ? ? 2 . 2 r 1 2 1 l 1 l S ? ? r ? ( ? 2)r 2 ? (lr ? 2r 2 ) , 0 ? r ? . 2 2 r 2 2
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 23 页共 25 页)

令 S ? ? 0 ,即 l ? 4r ? 0 , r ?

l ,此时 ? 为 2 弧度. 4

l l 是函数 S (r ) 在 (0, ) 内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点. 4 2 l 所以,扇形的半径为 、中心角为 2 弧度时,扇形的面积最大. 4 r?
3、设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,那么 r 2 ? h2 ? R 2 .

1 1 1 1 因此, V ? ? r 2 h ? ? ( R 2 ? h 2 )h ? ? R 2 h ? ? h3 , 0 ? h ? R . 3 3 3 3
3 1 令 V ? ? ? R 2 ? ? h 2 ? 0 ,解得 h ? R. 3 3
容易知道, h ?

3 R 是函数 V (h) 的极大值点,也是最大值点. 3

所以,当 h ?

3 R 时,容积最大. 3

把h ?

3 6 R. R 代入 r 2 ? h2 ? R2 ,得 r ? 3 3 2 6 ?. 3

由 R? ? 2? r ,得 ? ?

所以,圆心角为 ? ?

2 6 ? 时,容积最大. 3

4、由于 80 ? k ?102 ,所以 k ?

4 . 5 4 2 20 20 x ? ? ? 480 5 x x 9600 ,x?0 ? 16 x ? x

设船速为 x km/h 时,总费用为 y ,则 y ?

令 y? ? 0 ,即 16 ?

9600 ? 0 , x ? 24 . x2

容易知道, x ? 24 是函数 y 的极小值点,也是最小值点.

9600 20 ) ? ( ) ? 941 (元/时) 24 24 所以,船速约为 24km/h 时,总费用最少,此时每小时费用约为 941 元.
当 x ? 24 时, (16 ? 24 ?

390 x2 130 (3 ? )? ?14 , 50 ? x ? 100 5、设汽车以 x km/h 行驶时,行车的总费用 y ? x 360 x
令 y? ? 0 ,解得 x ? 53 (km/h). 此时, y ? 114 (元)

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 24 页共 25 页)

容易得到, x ? 53 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 因此,当 x ? 53 时,行车总费用最少. 所以,最经济的车速约为 53km/h;如果不考虑其他费用,这次行车的总费用约是 114 元.
x 4 4 2 6、原式= ? e dx ? ? e? x dx ? ? e x dx ? [?e? x ]0 ?2 ? e ?0 ? e ? e ? 2 . x ?2 ?2 0 4 0 4

? y ? kx 7、解方程组 ? 2 ?y ? x ? x
得,直线 y ? kx 与抛物线 y ? x ? x 2 交点的横坐标为 x ? 0 , 1 ? k .

x 2 x3 1 1 1 1 抛物线与 x 轴所围图形的面积 S ? ? ( x ? x )dx ? [ ? ]0 ? ? ? . 0 2 3 2 3 6
1 2

由题设得

1? k 1? k S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ? kxdx 0 0 2

??

1? k

0

1 ? k 2 x3 1? k ( x ? x 2 ? kx)dx ? [ x ? ]0 2 3

?

(1 ? k )3 . 6

3 4 1 1 3 又因为 S ? ,所以 (1 ? k ) ? . 于是 k ? 1 ? . 2 6 2

说明:本题也可以由面积相等直接得到 ? 求出 k 的值. 但计算较为烦琐.

1?k

0

( x ? x2 ? kx)dx ? ?

1?k

0

kxdx ? ?

1?k

0

( x ? x2 )dx ,由此

新课程标准数学选修 2—2 第二章课后习题解答
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 练习(P77) 1、由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 1 ,猜想 an ? 1 . 2、相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是 1,其他的数都等于上一行中与之相邻 的两个数的和. 3、设 VO ? P1Q1R1 和 VO ? P2Q2 R2 分别是四面体 O ? PQ 1 1 R1 和 O ? P 2Q2 R2 的体积,

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 25 页共 25 页)



VO ? PQ 1 1 R1 VO ? P2Q2 R2

?

OP 1 OQ1 OR1 ? ? . OP2 OQ2 OR2

练习(P81) 1、略. 2、因为通项公式为 an 的数列 {an } , 若

an ?1 ? p ,其中 p 是非零常数,则 {an } 是等比数列; ????????大前提 an

又因为 cq ? 0 ,则 q ? 0 ,则

an ?1 cq n ?1 ? ? q ; ???????????小前提 an cq n
????????结论

所以,通项公式为 an ? cq n (cq ? 0) 的数列 {an } 是等比数列.

3、由 AD ?BD ,得到 ?ACD ? ?BCD 的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一 个三角形中,大边对大角” ,小前提是“ AD ? BD ” ,而 AD 与 BD 不在同一个三角形中. 习题 2.1 A 组(P83) 2 (n ? N ? ) . 1、 an ? n ?1 2、 F ? V ? E ? 2 . 3、 当 n ? 6 时,2n?1 ? (n ? 1)2 ; 当 n ? 7 时,2n?1 ? (n ? 1)2 ; 当 n ? 8 时,2n?1 ? (n ? 1)2 (n ? N ? ) . 4、

1 1 1 n2 ? ? ?? ? ( n ? 2 ,且 n ? N ? ). A1 A2 An (n ? 2)?

A

D

5、 b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17 ?n ( n ? 17 ,且 n ? N ? ). 6、如图,作 DE ∥ AB 交 BC 于 E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 又因为 AD ∥ BE , AB ∥ DE . 所以四边形 ABED 是平行四边形. B E 因为平行四边形的对边相等. (第 6 题) 又因为四边形 ABED 是平行四边形. 所以 AB ? DE . 因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等, 又因为 AB ? DE , AB ? DC , 所以 DE ? DC 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△ DEC 是等腰三角形, 所以 ?DEC ? ?C 因为平行线的同位角相等 又因为 ?DEC 与 ?B 是平行线 AB 和 DE 的同位角, 所以 ?DEC ? ?B 因为等于同角的两个角是相等的, 又因为 ?DEC ? ?C , ?DEC ? ?B , 所以 ?B ? ?C 习题 2.1 B 组(P84) 2 3 4 5 6 n ?1 1、由 S1 ? ? , S 2 ? ? , S3 ? ? , S 4 ? ? , S5 ? ? ,猜想 Sn ? ? . 3 4 5 6 7 n?2
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 26 页共 25 页)

C

2、略. 3、略. 2.2 直接证明与间接证明 练习(P89) 1、因为 cos 4 ? ? sin 4 ? ? (cos 2 ? ? sin 2 ? )(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? cos 2? ,所以,命题得证. 2、要证 6 ? 7 ? 2 2 ? 5 ,只需证 ( 6 ? 7) 2 ? (2 2 ? 5) 2 , 即证 13 ? 2 42 ? 13 ? 4 10 ,即证 42 ? 2 10 , 只需要 ( 42) 2 ? (2 10) 2 ,即证 42 ? 40 ,这是显然成立的. 所以,命题得证. 3、因为 (a 2 ? b2 )2 ? (a ? b)2 (a ? b)2 ? (2sin ? ) 2 (2 tan ? ) 2 ? 16sin 2 ? tan 2 ? , 又因为 16ab ? 16(tan ? ? sin ? )(tan ? ? sin ? ) ? 16

sin ? (1 ? cos ? ) sin ? (1 ? cos ? ) ? cos ? cos ?

? 16

2 2 sin 2 ? (1 ? cos 2? ) sin ? sin ? ? 16 ? 16sin 2 ? tan 2 ? , cos 2 ? cos 2 ?

从而 (a 2 ? b 2 )2 ? 16ab ,所以,命题成立. 说明:进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点. 练习(P91) 1、假设 ?B 不是锐角,则 ?B ? 90? . 因此 ?C ? ?B ? 90? ? 90? ? 180? . 这与三角形的内角和等于 180°矛盾. 所以,假设不成立. 从而, ?B 一定是锐角. 2、假设 2 , 3 , 5 成等差数列,则 2 3 ? 2 ? 5 . 所以 (2 3) 2 ? ( 2 ? 5) 2 ,化简得 5 ? 2 10 ,从而 52 ? (2 10) 2 ,即 25 ? 40 , 这是不可能的. 所以,假设不成立. 从而, 2 , 3 , 5 不可能成等差数列. 说明:进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题 2.2 A 组(P91) b 1、由于 a ? 0 ,因此方程至少有一个跟 x ? . a 假设方程不止一个根,则至少有两个根,不妨设 x1 , x2 是它的两个不同的根, 则 ax1 ? b ① ②

ax2 ? b
①-②得

a( x1 ? x2 ) ? 0
因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,从而 a ? 0 ,这与已知条件矛盾,故假设不成立.
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 27 页共 25 页)

2、因为 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 展开得 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 ,即 tan A ? tan B ? 1 ? tan A tan B . cos A cos B ? sin A sin B cos( A ? B) 假设 1 ? tan A tan B ? 0 ,则 ? 0 ,即 ?0 cos A cos B cos A cos B 所以 cos( A ? B) ? 0 . 因为 A , B 都是锐角,所以 0 ? A ? B ? ? ,从而 A ? B ? 因此 1 ? tan A tan B ? 0 . tan A ? tan B ①式变形得 ? 1 , 即 tan( A ? B) ? 1 . 1 ? tan A tan B 又因为 0 ? A ? B ? ? ,所以 A ? B ? ①

?
2

,与已知矛盾.

. 4 说明:本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 1 ? tan ? 3、因为 ? 1 ,所以 1 ? 2 tan ? ? 0 ,从而 2sin ? ? cos ? ? 0 . 2 ? tan ? 另一方面,要证 3sin 2? ? ?4cos 2? , 只要证 6sin ? cos ? ? ?4(cos2 ? ? sin 2 ? ) 即证 即证

?

2sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 2cos 2 ? ? 0 ,

( 2 s i? n?

c? os

)? (s ?i n

? 2? cos )

0

由 2sin ? ? cos ? ? 0 可得,(2sin ? ? cos ? )(sin ? ? 2cos ? ) ? 0 ,于是命题得证. 说明:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明,但把综合法和分析法结合使用进行证 明的思路更清晰. 2 1 1 4、因为 a, b, c 的倒数成等差数列,所以 ? ? . b a c 假设 B ?

?

2

不成立,即 B ?

?

2

,则 B 是 ?ABC 的最大内角,

所以 b ? a, b ? c (在三角形中,大角对大边) , 从而

1 1 1 1 2 2 1 1 ? ? ? ? . 这与 ? ? 矛盾. a c b b b b a c

所以,假设不成立,因此, B ? 习题 2.2 B 组(P91)

?

2

.

1、要证 s ? 2a ,由于 s 2 ? 2ab ,所以只需要 s ? 因为 s ?

s2 ,即证 b ? s . b

1 (a ? b ? c) ,所以只需要 2b ? a ? b ? c ,即证 b ? a ? c . 2

由于 a, b, c 为一个三角形的三条边,所以上式成立. 于是原命题成立.

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 28 页共 25 页)

2、由已知条件得 b 2 ? ac , 2y ? b ? c 2x ? a? b 要证

① ②

a c ? ? 2 ,只要证 ay ? cx ? 2 xy ,只要证 2ay ? 2cx ? 4 xy x y

由①②,得 2ay ? 2cx ? a(b ? c) ? c(a ? b) ? ab ? 2ac ? bc ,
2 4 x y? ( a? b )(b ? c )? a ? b

b?

a? c

b ?c

? 2 ab

, ? ac

bc

所以, 2ay ? 2cx ? 4 xy ,于是命题得证. 3、由 tan(? ? ? ) ? 2 tan ? 得

sin(? ? ? ) 2sin ? ,即 sin(? ? ? ) cos ? ? 2cos(? ? ? )sin ? . ? cos(? ? ? ) cos ?

??①

要证 3sin ? ? sin(2? ? ? ) 即证 3sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin[(? ? ? ) ? ? ] 即证 3[sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? 化简得 sin(? ? ? ) cos ? ? 2cos(? ? ? )sin ? ,这就是①式. 所以,命题成立. 说明:用综合法和分析法证明命题时,经常需要把两者结合起来使用. 2.3 数学归纳法 练习(P95) 1、先证明:首项是 a1 ,公差是 d 的等差数列的通项公式是 an ? a1 ? (n ? 1)d . (1)当 n ? 1 时,左边= a1 ,右边= a1 ? (1 ? 1)d ? a1 , 因此,左边=右边. 所以,当 n ? 1 时命题成立. (2)假设当 n ? k 时,命题成立,即 ak ? a1 ? (k ? 1)d . 那么, ak ?1 ? ak ? d ? a1 ? (k ? 1)d ? d ? ak ? [(k ? 1) ? 1]d . 所以,当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知命题对任何 n ? N ? 都成立. 再证明:该数列的前 n 项和的公式是 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d. 2 1? (1 ? 1) (1)当 n ? 1 时,左边= S1 ? a1 ,右边= 1? a1 ? d ? a1 , 2
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 29 页共 25 页)

因此,左边=右边. 所以,当 n ? 1 时命题成立. k (k ? 1) (2)假设当 n ? k 时,命题成立,即 Sk ? ka1 ? d. 2 k (k ? 1) 那么, Sk ?1 ? Sk ? ak ?1 ? ka1 ? d ? a1 ? [(k ? 1) ? 1]d 2 (k ? 1) ? (k ? 1)a1 ? k[ ? 1]d 2 (k ? 1)k ? (k ? 1)a1 ? d 2 所以,当 n ? k ? 1 时,命题也成立. 根据(1)和(2) ,可知命题对任何 n ? N ? 都成立. 2、略. 习题 2.3 A 组(P96) 1、 (1)略. (2)证明:①当 n ? 1 时,左边=1,右边= 12 ? 1 , 因此,左边=右边. 所以,当 n ? 1 时,等式成立. ②假设当 n ? k 时等式成立,即 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? k 2 . 那么, 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? (2k ? 1) ? k 2 ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 2 . 所以,当 n ? k ? 1 时,等式也成立. 根据①和②,可知等式对任何 n ? N ? 都成立. (3)略. 1 1 2、 S1 ? ? 1? , 1? 2 2 1 1 1 1 1 1 S2 ? ? ? ( 1 ? ) ?( ? ) ?1 , ? 1? 2 2 ? 3 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S3 ? ? ? ? (1 ? ) ? ( ?) ? ( ?) ? 1. ? 1? 2 2? 3 3 ? 4 2 2 3 3 4 4 1 由此猜想: Sn ? 1 ? . n ?1 下面我们用数学归纳法证明这个猜想. 1 1 1 1 1 1 (1)当 n ? 1 时,左边= S1 ? ? 1 ? ? ,右边= 1 ? ? 1? ? , 1? 2 2 2 n ?1 2 2 因此,左边=右边. 所以,当 n ? 1 时,猜想成立. (2)假设当 n ? k 时,猜想成立,即

1 1 1 1 1 . ? ? ??? ? 1? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 k (k ? 1) k ?1

那么,

1 1 1 1 1 1 1 . ? ? ?? ? ? ? 1? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 k ( k ? 1) ( k ? 1)( k ? 2) k ? 1 ( k ? 1)( k ? 2)
? 1?
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 30 页共 25 页)

1 1 (1 ? ) k ?1 k ?2

? 1?
所以,当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 根据(1)和(2) ,可知猜想对任何 n ? N ? 都成立. 习题 2.3 B 组(P96) 1、略

1 k ? 2 ?1 1 ? ? 1? k ?1 k ? 2 k ?2

1 2、证明: (1)当 n ? 1 时,左边= 1?1 ? 1 ,右边= ?1? (1 ? 1) ? (1 ? 2) ? 1 , 6 因此,左边=右边. 所以,当 n ? 1 时,等式成立. (2)假设当 n ? k 时,等式成立, 1 即 1? k ? 2 ? (k ? 1) ? 3 ? (k ? 2) ? ? ? k ?1 ? k (k ? 1)(k ? 2) . 6
那么, 1? (k ? 1) ? 2 ? [(k ? 1) ? 1] ? 3 ? [(k ? 1) ? 2] ? ? ? (k ? 1) ?1 .

? [1? k ? 2 ? (k ? 1) ? 3 ? (k ? 2) ? ? ? k ?1] ? [1 ? 2 ? 3 ? ? ? (k ? 1)]

1 1 ? k (k ? 1)(k ? 2) ? (k ? 1)(k ? 2) 6 2 1 ? (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) 6 所以,当 n ? k ? 1 时,等式也成立.
根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N ? 都成立.

第二章 复习参考题 A 组(P98)
1、图略,共有 n(n ? 1) ? 1( n ? N ? )个圆圈.
n个 ? ? ? 2、 33?3 ( n ? N ? ).

3、因为 f (2) ? f (1)2 ? 4 ,所以 f (1) ? 2 , f (3) ? f (2) f (1) ? 8 , f (4) ? f (3) f (1) ? 16 ?? 猜想 f (n) ? 2n . 4、运算的结果总等于 1. 5、如图,设 O 是四面体 A ? BCD 内任意一点,连结 AO , BO , CO , DO 并延长交对面 于 A? , B? , C ? , D? ,则 A ? OB ? OA O? C O?D ? ? ? 1 ? ? ? ? AA BB CC D?D 用“体积法”证明: C' ? OB ? ? OA OC O?D ? ? ? D' ? ? AA BB C? C D?D B'

?

VO ? B C D V ? VA ? B C D V

?O ?B

V V C D A
C D A

?

? ?

O C

V VB ? D A
D A B?

?

O D

A B C A B C

B A'

D

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 31 页共 25 页)

C
(第 5 题)

?

VA ? B C D ?1 VA ? B C D

6、要证 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 只需证 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B ? 2 即证 t a n A ? t aB n? ? 1 tA an B tan 5 由 A ? B ? ? ,得 tan( A ? B) ? 1 . ① 4 ? tan A ? tan B 又因为 A ? B ? k? ? ,所以 ? 1 ,变形即得①式. 2 1 ? tan A tan B 7、证明: (1)当 n ? 1 时,左边= ?1 ,右边= (?1)1 ?1 ? ?1 , 因此,左边=右边. 所以,当 n ? 1 时,等式成立. (2)假设当 n ? k 时,等式成立, 即 ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1)k (2k ? 1) ? (?1)k k . 那么, ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (?1)k (2k ? 1) ? (?1) k ?1[2(k ? 1) ? 1] .

所以,命题得证.

? (?1)k k ? (?1)k ?1[2(k ? 1) ? 1] ? (?1)k ?1[?k ? 2(k ? 1) ? 1] ? (?1)k ?1 (k ? 1)
所以,当 n ? k ? 1 时,等式也成立. 根据(1)和(2) ,可知等式对任何 n ? N ? 都成立.

第二章 复习参考题 B 组(P47)
1、 (1)25 条线段,16 部分; (2) n 2 条线段;

1 (3)最多将圆分割成 n(n ? 1) ? 1 部分. 2 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当 n ? 1 时,结论成立. ②假设当 n ? k 时,结论成立, 1 即: k 条线段,两两相交,最多将圆分割成 k (k ? 1) ? 1 部分 2 1 当 n ? k ? 1 时,其中的 k 条线段 l1 , l2 ,?, lk 两两相交,最多将圆分割成 k (k ? 1) ? 1 2
部分,第 k ? 1 条线段 ak ?1 与线段 l1 , l2 ,?, lk 都相交,最多增加 k ? 1 个部 分,因此, k ? 1 条线段,两两相交,最多将圆分割成 1 1 k (k ? 1) ? 1 ? (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) ? 1 部分 2 2
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 32 页共 25 页)

所以,当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 根据①和②,可知结论对任何 n ? N ? 都成立. 2、要证 cos 4? ? 4cos 4? ? 3 因为 cos 4? ? 4cos 4? ? cos(2 ? 2? ) ? 4cos(2 ? 2? )

? 1 ? 2sin 2 2? ? 4 ? (1 ? 2sin 2 2? ) ? 1 ? 8 s i2 n ? ? 1 ? 8 s i2 n ? c2o ?s ? ? 4 ?( 1 28 ?s i n 2 ? c o s ( ?1
2

) )]

s? i n ? ) ? 4 ? [ 12 ?8 s i ? n

2

? (1 s i n

只需证 1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 4 ? [1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? )] ? 3 由已知条件,得 sin ? ?

sin ? ? cos ? , sin 2 ? ? sin ? cos ? , 2

代入上式的左端,得 1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 4 ? [1 ? 8sin 2 ? (1 ? sin 2 ? )]

? ?3 ? 8sin ? cos ? (1 ? sin ? cos ? ) ? 32sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? ?3 ? 8sin ? cos ? ? 8sin 2 ? cos 2 ? ? 2(1 ? 2sin ? cos ? )(3 ? 2sin ? cos ? )
? ? 3 ?8 s i?n c? o s?
2

8s ? i n 2 ?c o ?s ?

2 6 ? 8 s 2i n ? ? c o s?

8 ?s i n

cos

?3
因此, cos 4? ? 4cos 4? ? 3

新课程标准数学选修 2—2 第三章课后习题解答
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 练习(P104) 1、实部分别是 ?2 , 2 ,

2 ,0,0,0; 2

1 虚部分别是 ,1,0, ? 3 ,1,0. 3
2、 2 ? 7 ,0.618,0, i 2 是实数;

2 i , i , 5i ? 8 , 3 ? 9 2i , i (1 ? 3) , 2 ? 2i 是虚数; 7
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 33 页共 25 页)

2 i , i , i (1 ? 3) 是纯虚数. 7
?x ? y ? 2x ? 3y ?x ? 4 3、由 ? ,得 ? . ? y ?1 ? 2 y ? 1 ? y ? ?2
练习(P105) 1、 A : 4 ? 3i , B : 3 ? 3i , C : ?3 ? 2i , D : 4 ? 3i , 5 11 E : ? ? 3i , F : , G : 5i , H : ?5i . 2 2 2、略. 3、略. 习题 3.1 A 组(P106)

?3 x ? 2 y ? 17 ?x ? 1 1、 (1)由 ? ,得 ? . ?5 x ? y ? ? 2 ?y ? 7
?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 4 (2)由 ? ,得 ? ?x ? 4 ? 0 ? y ? ?1
2、 (1)当 m2 ? 3m ? 0 ,即 m ? 0 或 m ? 3 时,所给复数是实数. (2)当 m2 ? 3m ? 0 ,即 m ? 0 或 m ? 3 时,所给复数是虚数.

? m 2 ? 5m ? 6 ? 0 ? (3)当 ? 2 ,即 m ? 2 时,所给复数是纯虚数. ? ? m ? 3m ? 0
3、 (1)存在,例如 ? 2 ? i , ? 2 ? 3i ,等等.

1 (2)存在,例如 1 ? 2i , ? ? 2i ,等等. 2
(3)存在,只能是 ? 2i . 4、 (1)点 P 在第一象限. (3)点 P 位于原点或虚轴的下半轴上. (2)点 P 在第二象限. (4)点 P 位于实轴下方.

? m 2 ? 8m ? 15 ? 0 ? 5、 (1)当 ? 2 ,即 ?2 ? m ? 3 或 5 ? m ? 7 时,复数 z 对应的点位于第四象限. ? ? m ? 5m ? 14 ? 0
2 2 ? ? ? m ? 8m ? 15 ? 0 ? m ? 8m ? 15 ? 0 (2)当 ? 2 ,或 ? 2 ,即 m ? ?2 或 3 ? m ? 5 或 m ? 7 时,复数 z ? ? ? m ? 5m ? 14 ? 0 ? m ? 5m ? 14 ? 0

对应的点位于第一、三象限. (3)当 m2 ? 8m ? 15 ? m2 ? 5m ? 14 ,即 m ? 6、 (1) 2 ? i ; (2) ?2 ? i . 习题 3.1 B 组(P55) 1、复数 z 对应的点位于如图所示的图形上. 2、由已知,设 z ? a ? 3i ( a ? R ).
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 34 页共 25 页)

29 时,复数 z 对应的点位于直线 y ? x 上. 3

则 a 2 ? ( 3) 2 ? 4 解得 a ? ?1 所以 z ? ?1 ? 3i 3、因为 z1 ? 12 ? 22 ? 5 ,

z2 ? ( 2) 2 ? ( 3) 2 ? 5 z3 ? ( 3) 2 ? (? 2) 2 ? 5

z4 ? (?2) 2 ? 12 ? 5
所以, Z1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 这 4 个点都在以原点为圆心,半径为 5 的圆上.

3.2 复数代数形式的四则运算 练习(P109) 1、 (1)5; (2) 2 ? 2i ; (3) ?2 ? 2i ; (4)0. 2、略. 练习(P111) 1、 (1) ?18 ? 21i ; (2) 6 ?17i ; (3) ?20 ?15i ; 2、 (1) ?5 ; (2) ?2i ; (3)5. 3、 (1) i ; (2) ?i ; (3) 1 ? i ; (4) ?1 ? 3i . 习题 3.2 A 组(P112) 7 5 1、 (1) 9 ? 3i ; (2) ?2 ? 3i ; (3) ? i ; (4) 0.3 ? 0.2i . 6 12 ??? ? 2、 AB 对应的复数为 (?3 ? 4i) ? (6 ? 5i) ? ?9 ? i .

??? ? BA 对应的复数为 9 ? i .
3、 3 ? 5i . ??? ? 向量 BA 对应的复数为 (1 ? 3i) ? (?i) ? 1 ? 4i .

??? ? 向量 BC 对应的复数为 (2 ? i) ? (?i) ? 2 ? 2i .
??? ? 于是向量 BD 对应的复数为 (1 ? 4i) ? (2 ? 2i) ? 3 ? 6i ,
点 D 对应的复数为 (?i) ? (3 ? 6i) ? 3 ? 5i . 4、 (1) ?21 ? 24i ; (2) ?32 ? i ; (2) (3) ?

3 ?1 3 ?1 ? i; 2 2

1 3 i. (4) ? ? 2 2

2 4 5、 (1) ? ? i ; 5 5

18 1 3 4 ? i ; (3) ? i ; (4)1 ? 38i . 65 65 25 25

6、由 2(2i ? 3)2 ? p(2i ? 3) ? q ? 0 ,得 (10 ? 3 p ? q) ? (2 p ? 24)i ? 0 .

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 35 页共 25 页)

?10 ? 3 p ? q ? 0 于是,有 ? ,解得 p ? 12 , q ? 26 . ?2 p ? 24 ? 0
习题 3.2 B 组(P112) 1、 (1) x 2 ? 4 ? ( x ? 2i)( x ? 2i) . (2) a 4 ? b4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? bi)(a ? bi) , 2、略.

第三章 复习参考题 A 组(P116)
1、 (1) A ; (2) B ; (3) D ; (4) C . 2、由已知,设 z ? bi ( b ? R 且 b ? 0 ) ; 则 ( z ? 2)2 ? 8i ? (bi ? 2)2 ? 8i ? (4 ? b2 ) ? (4b ? 8)i .

?4 ? b 2 ? 0 由 ( z ? 2) ? 8i 是纯虚数,得 ? ,解得 b ? ?2 . 因此 z ? ?2i . ? 4b ? 8 ? 0
2

3、由已知,可得 z1 ? z2 ? 8 ? 6i , z1 z2 ? 55 ? 10i . 又因为

zz 1 1 1 z1 ? z2 55 ? 10i 5 ? ? ? ? 5? i. ,所以 z ? 1 2 ? z z1 z2 z1 z2 z1 ? z2 8 ? 6i 2

第三章 复习参考题 B 组(P116)
1、设 z ? a ? bi ( a, b ? R ) ,则 z ? a ? bi . 由 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,得 (1 ? 2i)(a ? bi) ? 4 ? 3i , 化简,得 (a ? 2b) ? (2a ? b)i ? 4 ? 3i .

? a ? 2b ? 4 根据复数相等的条件,有 ? ,解得 a ? 2 , b ? 1. ? 2a ? b ? 3
于是 z ? 2 ? i , z ? 2 ? i ,则 2、 (1)

z 2?i 3 4 ? ? ? i. z 2?i 5 5
i4
1

i1

i2

i3

i5

i6

i7

i8
1

i

?1

?i

i

?1

?i

(2)对任意 n ? N ,有 i 4 n ?1 ? i , i 4 n?2 ? ?1 , i 4 n?3 ? ?i , i 4 n ? 4 ? 1 .

? m ? 2 cos ? 3、由 z1 ? z2 ,得 ? 2 ? 4 ? m ? ? ? 3sin ?
消去 m 可得 ? ? 4sin 2 ? ? 3sin ?
新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 36 页共 25 页)

3 9 ? 4(sin ? ? )2 ? . 8 16 由于 ?1 ? sin ? ? 1 ,可得

新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答 (第 37 页共 25 页)


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