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高考数学填空题的解题思路与方法


浅谈高考数学填空题的解题 方法
填 空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地综合一些问题,突 出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。从填写内容上,主要 有两类, 一类是定量填写, 另一类是定性填写。 要想又快又准地答好填空题, 除直接推理外, 还要讲究一些解题策略,下面谈谈几种解题方法,请大家教正. 一. 定 义法 有些问题直接去解很难奏效,而利用定义去解可以大大地化繁为简,速达目的。 例 1. C 3n
38 ? n 3n + C 21 + n 的值是_________________。
[来源:学|科|网]

解:从组合 数定义有: ?

?0 ≤ 38 ? n ≤ 3n 19 21 ? ≤n≤ 2 2 ?0 ≤ 3n ≤ 21 + n

又 n ∈ N,故n = 10 代入再求,得出 466。

x2 y2 + = 1 右焦点的距离与到定直线 x =6 距离相等的动点的轨迹方程是 例 2. 到椭圆 25 9
_______________。 解:据抛物线定义,结合图 1 知:

图1

[来源:学科网 ZXXK]

轨迹是以(5,0)为顶点,焦参数 P=2 且开口方向向左的抛物线,故 其方程为:

y 2 = ?4( x ? 5)
二. 直接计算法 从题设条件出发,选用有关定理、公式,直接计算求解,这是解填空题最常用的方法。

例 3. 设函数 f ( x) = x + x +
2

1 * 的定义域是 [ n, n + 1] ( n ∈ N ) ,那么在 f ( x) 的值域中共 2

有____________个整数。 解:直接计算 f (n + 1) ? f (n) ,可得 2(n + 1) 个。

例 4. 等比数列 {a n } ,公比 q = ?

a + a2 + Λ + an 1 ,则: lim 1 = __________。 n →∞ a + a + Λ + a 3 2 4 2n

a1 a1 1? q 1? q 解:原式 = = ?2 = a2 a1 q 1? q2 1? q2
三. 数形结合法 有些问题可以借助于图示分析、判断、作出定形、定量、定性的结论,这就是图解法。 例 5. 函数 y =

x 2 + 4 x + 5 + x 2 ? 4 x + 8 的值域________________。
y B(2,2)

O A(-2,-1)

P(x,0)

x

图2 解:原函数变 为 y =

( x + 2) 2 + 1 + ( x ? 2) 2 + 2 2 ,可视上式为 x 轴上的点 P( x ,0)

到两定点 A(-2,-1)和 B(2,2)的距离 之和,如图 2,则 y =| PA | + | PB |≥| AB |= 5 。 故值域为 [5, + ∞) 。 四. 特例法 有的填空题答案是一个“定值”时,实质上有一种暗示作用,可以分析特殊数值,特殊 位置,特殊数列,特殊图形等来确定这个“定值” ,这种方法有时能起到难以置信的效果。 例 6. 面积为 S 的菱形绕其一边所在直线旋转一周所得旋转体的表面积为___________。 解:以正方形代替菱形,设边长为 a ,则表面 = 2πa + 2πa = 4πa = 4πS
2 2

例 7. 已 知 {a n } 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 形 , 若 S n 是 {a n } 的 前 n 项 和 , 那 么

lim =
n→∞

na n = _________。 Sn
[来源:Z&xx&k.Com]

解:取符合条件的特殊数列 {a n } , a n = n ,则

Sn =

n(n + 1) 2

na n n2 故 lim = lim =2 n →∞ S n → ∞ n( n + 1) n 2
五. 观察法 运用特殊值,加上类比、观察常常可以提高解题速度。
[来源:Zxxk.Com]

例 8. 设 a、b、c ∈ R ,且 a + b + c = 0 ,直线 ax + by + c = 0 通过定点__________。

解:联合观察: ?

?a + b + c = 0 发 现 x = 1,y = 1 时 ax + by + c = 0 , 即 满 足 条 件 ?ax + by + c = 0

a + b + c = 0 ,同时,相交直线的交点是唯一的。故定点是(1,1) 。
六. 淘汰法 当全部情况为有限种时,也可采用淘汰法。 例 9. 已知 a、b ∈ R ,则 a > b 与 解:按实数 b 的正、负分类讨论。 当 b >0 时 ? a > 0 ,而等式不可能同时成立;
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1 1 > 同时成立的充要条件是____________。 a b

1 1 > 无意义; a b 当 b <0 时,若 a <0,则两不等式不可能同时成立,以上三种情况均被淘汰,故只能为 a >0, b <0,容易验证,这确是所要求的充要条件。
当 b =0 时, 七. 分析推理法 通过仔细审题,对问题进行逻辑分析,然后推理出符合条件的答案。 例 10. 已知 不等式 f ( x) > 0 的解集是 A,g ( x) ≥ 0 的解集是 B, 则不等式组 ? 集是____________。 解:设 g ( x) 的定义域为 S,由于 g ( x) ≥ 0 的解集是 B,所以 g ( x) < 0 的解集是 B = S ? B

? f ( x) > 0 的解 ? g ( x) < 0

故所求不等式组的解集是 A Ι B . 总之,我们在平时训练时,要善于思考,分析题意,灵活运用有关数学知识,在有多种方案 可以解决问题的时候,努力选择更合理的解题方案,要不断提高解 题过程中合理性、简捷 性的意识,以达到巧解妙算的效果,力求做到费时少,准确率高.?


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