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浙江省杭州市第十五中学2016届九年级数学第二次模拟试题


2016 年杭州市各类高中招生文化考试全真模拟(二模) 数学试题卷
一、仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1 .某小区经过改进用水设施, 5 年内小区居民累计节水 39400 吨,将 39400 用科学记数法进行表示 ( ) A. 3.9 ? 10
4

B. 3.94 ? 10 ) B. ?? 1?
2015

4

C. 39.4 ? 10

3

D. 4.0 ? 10

4

下列运算正确的是 ( A. ?? 3? ? ?9
2

?1 ? ?1

C. ? 5 ? 3 ? 8 )

D.

? ?2 ? 2

3.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 4.下列运算正确的是( ) A. 2a

D.圆

? ?

2 3

? 6a 6

B. ? a b ? 3ab ? ?3a b
2 2 3 2

5

b a ? ? ?1 C. a ? b b ? a
A. 30 ? B. 45 ?

a2 ?1 1 ? ? ?1 a ?1 D. a
) C. 60 ? D. 90 ? )

5.在⊙O 中,圆心 O 到弦 AB 的距离为 AB 长度的一半,则弦 AB 所对圆心角的大小为(

6.用反证法证明命题:在一个三角形中,至少有一个内角不大于 60 ? 。证明的第一步是 ( A.假设三个内角都不大于 60 ? C.假设三个内角至多有一个大于 60 ? B.假设三个内角都大于 60 ? D.假设三个内角至多有两个大于 60 ? )

7.已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点 ? AC ? BC? ,则下列结论正确的是(

A. AB ? AC ? BC
2 2

2

B. BC ? AC ? BA
2

BC 5 ?1 ? 2 C. AC

AC 5 ?1 ? 2 D. BC

8. 对某市 8 所学校抽取共 1 000 名学生进行 800 米跑达标抽样检测.结果显示该市达标学 生人数超过半数,达标率达到 52.5%.图 l、图 2 反映的是本次抽样中的具体数据. 根据以上信息,下列判断:①小学高年级被抽 检人数为 200 人;②小学、初中、高中学生中 高中生 800 米跑达标率最大;③小学生 800 米跑 达标率低于 33%;④高中生 800 米跑达标率超过 70%.其中判断正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
1

9 . 如图, D 是等边 ?ABC 边 AB 上的一点,且 AD : DB ? 1 : 2 ,现 ?ABC 将折叠,使点 C 与 D 重 合,折痕为 EF ,点 E , F 分别在 AC 和 BC 上,则 CE : CF = ( )

4 A. 5

B.

3 5
2

5 C. 6

6 D. 7

10.若二次函数 y ? ax ? bx ? c?a ? 0? 的图象于 x 轴的交点坐标分别为 ?x1 ,0?, ?x2 ,0? ,且 x1 ? x 2 ,图象 上有一点 M 解;③

?x0 , y0 ? 在 x 轴下方,对于以下说法:① b 2 ? 4ac ? 0 ;② x ? x0 是方程 ax2 ? bx ? c ? y0 的


x1 ? x0 ? x2 ;④ a?x0 ? x1 ??x0 ? x2 ? ? 0 。其中正确的结论是(

A. ①③④ B.①②④ C. ①②③ D.②③ 二、认真填一填(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.一组数学 2, 3, 3, 5, 7 的中位数是__________;方差是___________.

?1? 2 tan60? ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2 ? = ____________. 12.计算:
0

?

?

?1

13.二次函数 y ? x ? 4 x ? 5?? 3 ? x ? 0? 的最大值是_______,最小值是_______.
2

14.当 1 ? a ? 2 时,代数式

?a ? 2?2

? 1? a ?

_______ .

15.如图,已知点 A1,A2,…,An 均在直线 y ? x ? 1 上,点 B1,B2,…,Bn 均在双

y??
曲线

1 x 上,并且 满足: A1B1 ⊥ x 轴, B1A2 ⊥ y 轴, A2B2 ⊥ x 轴, B2A3 ⊥ y

轴,…,AnBn⊥x 轴,BnAn+1⊥y 轴,…,记点 An 的横坐标为 an(n 为正整数).若

a1 ? ?1 ,则 a3 ? _______ ;a2015=



16.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,?A ? 60? ,M 是 AD 边的中点, N 是

AB 边上一动点,将△ AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△ A MN ,连接 A C ,
则 A C 长度的最小值是_______.
'

'

'

三、全面答一答(本题有 7 个小题,共 66 分)
2 ? 3 ? a ? 4a ? 4 ? a ? 1? ? ? a ? 1 ,并从 0 , ? 1 , 2 中选一个合适的数作为 a 的值代入 ? 17.(6 分)先化简: ? a ? 1

求值.

2

18.(8 分)如图, ?ABC 中, ?ABC ? 90? . (1)请在边 BC 上找一点 P ,作⊙ P 与 AC , AB 都相切,与 AC 相切于点 Q ;(尺规作图,保留作图痕 迹) (2)若 AB ? 3 , BC ? 4 ,求第(1)题中所作圆的半径; (3)连结 BQ ,第(2)中的条件均不变,求 sin ?CBQ .

19.(8 分)在⊙O 中,直径 AB=6,BC 是弦,∠ABC=30°,点 P 在 BC ⊙O 上,且 OP⊥PQ. C Q A P O B A Q C P O B

上,点 Q 在

(1)如图 1,当 PQ∥AB 时,求 PQ 的长度; (2)如图 2,当点 P 在 BC 上移动时,求 PQ 长的最大值.

图1

图2

20.(10 分)小沈准备给小陈打电话,由于保管不善,电话本上的小陈手机号码中,有两个数字已模糊不 清。如果用 x ,

y 表示这两个看不清的数字,那么小陈的手机号码为 139x370y580 (手机号码由 11 个数

字组成),小沈记得这 11 个数字之和是 20 的整数倍. (1)求 x ? y 的值 (2)求小沈一次拨对小陈手机号码的概率.

3

21.(10 分)已知关于 x 的方程 kx ? ?2k ? 1?x ? 2 ? 0 .
2

(1)求证:无论 k 取任何实数时,方程总有实数根; ( 2 )当抛物线 y ? kx ? ?2k ? 1?x ? 2 图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数,且 k 为正整数时,若
2

P?a, y1 ? , Q?1, y2 ? 是此抛物线上的两点,且 y1 ? y 2 ,请结合函数图象确定实数 a 的取值范围;
(3)已知抛物线 y ? kx ? ?2k ? 1?x ? 2 恒过定点,求出定点坐标.
2

22 .

( 12 分 ) 如 图 , 在 Rt ?ABC 中 , ?C ? 90 ? , 在 Rt ?A B P中 , ?BAP ? 90? , 已 知

?CBO ? ?ABP , BP 交 AC 于点 O , E 为 AC 上一点,且 AE ? OC .
(1)求证: AP ? AO ; (2)求证: PE ? AO ;

C O E B

P

AE ?
(3)当

3 AC 8 , AB ? 10 时,求线段 BO 的长度.

A

23. (12 分) 如图 1,在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, B 在 x 轴上,四边形 OACB 为平行四边形,
4

且 ?AOB ? 60? ,反比例函数

y?

k ?k ? 0? x 在第一象限内过点 A ,且与 BC 交于点 F

(1)若 OA ? 10 ,求反比例函数的解析式; (2)若 F 为 BC 的中点,且

S ?AOF ? 24 3 ,求 OA 长及点 C 坐标;

(3)在(2)的条件下,过点 F 作 EF // OB 交 OA 于点 E (如图 2),若点 P 是直线 EF 上一个动点,连 结 PA , PO ,问是否存在点 P ,使得以 P , A , O 三点构成的三角形是直角三角形?若存在请直接写 出 P 点坐标,若不存在,请说明了理由.

5

杭十五中 2016 年中考第二次模拟考 九年级数学参考答案 一、仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B

二、认真填一填 (本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.3, 3.2 ; 12. 2 3 ? 1 ; 13.5 , 1; 14.1;

1 15. 2 ,2 ; a?2 17. 原式= a ? 2 ?

16. 7 ? 1 .

三、全面答一答(本题有 7 个小题,共 66 分) 当 a ? 0 时,原式= 1

18. (1)如图,⊙P 为所作; (2)连结 PQ,如图, 在 Rt△ABC 中,AC= =5,

设半径为 r,BP=PQ=r,PC=4﹣r ∵AB 与⊙P 相切于 Q, ∴PQ⊥AC, ∵∠PCQ=∠ACP, ∴Rt△CPQ∽Rt△CAB,



=

,即 =

,解得 r= ,

(3)∵AB、AQ 为⊙P 的切线, ∴AB=AQ, ∵PB=PQ, ∴AP 为 BQ 的垂直平分线, ∴∠BAP+∠ABQ=90°, ∵∠CBQ+∠ABQ=90°, ∴∠CBQ=∠BAP, 在 Rt△ABP 中,AP= = ,

∴sin∠BAP= ∴sin∠CBQ=

= .

=



19. (1)连结 OQ,如图 1, ∵PQ∥AB,OP⊥PQ, ∴OP⊥AB,

6

在 Rt△OBP 中,∵tan∠B= ∴OP=3tan30°= ,



在 Rt△OPQ 中,∵OP= ∴PQ= =

,OQ=3, ;

(2)连结 OQ,如图 2, 在 Rt△OPQ 中,PQ= = ,

当 OP 的长最小时,PQ 的长最大, 此时 OP⊥BC,则 OP= OB= , ∴PQ 长的最大值为 = .

20. (1)因为 1 ? 3 ? 9 ? x ? 3 ? 7 ? 0 ? y ? 5 ? 8 ? 0 ? x ? y ? 36 ? 20n n为正整数 又因为 0 ? x ? 9 , 0 ? y ? 9 ,所以 0 ? x ? y ? 18 。所以 36 ? x ? y ? 36 ? 54 即 36 ? 20 n ? 54 所以 n ? 2 , x ? y ? 4

?

?

( 2 )因为 x ? y ? 4 , 所以① x ? 0, y ? 4 ; ② x ? 1, y ? 3 ; ③ x ? 2, y ? 2 ;④ x ? 3, y ? 1 ; ⑤

x ? 4, y ? 0

1 所以概率为 5

21. (1)证明:①当 k=0 时,方程为 x+2=0,所以 x=﹣2,方程有实数根, ②当 k≠0 时,∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0,即△≥0, ∴无论 k 取任何实数时,方程总有实数根; (2)解:令 y=0,则 kx2+(2k+1)x+2=0, 解关于 x 的一元二次方程,得 x1=﹣2,x2=﹣ , ∵二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数,且 k 为正整数, ∴k=1. ∴该抛物线解析式为 y=x2+3x+2,

7

. 由图象得到:当 y1>y2 时,a>1 或 a<﹣4. (3)依题意得, k x ? 2x ? x ? y ? 2 ? 0 恒成立
2

?

?

?x 2 ? 2x ? 0 ? x? y?2?0 则?

? x ? 0 ? x ? ?2 ? ? y ? 2 或 ?y ? 0 解得 ?

所以恒过定点(0,2)、(-2,0) 22.(1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90° ∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°, 又∵∠CBO=∠ABP, ∴∠BOC=∠ABP, ∵∠BOC=∠AOP, ∴∠AOP=∠ABP, ∴AP=AO; (2)证明:如图,过点 O 作 OD⊥AB 于 D, ∵∠CBO=∠ABP, ∴CO=DO, ∵AE=OC, ∴AE=OD, ∵∠AOD+∠OAD=90°,∠PAE+∠OAD=90°, ∴∠AOD=∠PAE, 在△AOD 和△PAE 中,

, ∴△AOD≌△PAE(SAS), ∴∠AEP=∠ADO=90° ∴PE⊥AO; (3)解:设 AE=OC=3k, ∵AE=AC,∴AC=8k, ∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k, ∴OA=OE+AE=5k. 由(1)可知,AP=AO=5k. 如图,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D, ∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k. 在 Rt△AOD 中,AD= = =4k.
8

∴BD=AB﹣AD=10﹣4k. ∵OD∥AP,



,即

解得 k=1. ∴BD=10﹣4k=6,OD=3k=3, 在 Rt△BDO 中,由勾股定理得: BO= = =3 .

23. (1)过点 A 作 AH⊥OB 于 H, ∵∠AOB=60°,OA=10, ∴AH=5 ,OH=5, ),

∴A 点坐标为(5,5

根据题意得:5 解得:k=25 ,

= ,

故反比例函数解析式:y=

(x>0);

(2)设 OA=a(a>0),过点 F 作 FM⊥x 轴于 M, ∵∠AOB=60°, ∴AH= a,OH= a, a? a= , , a2,

∴S△AOH= ? ∵

∴S 平行四边形 AOBC=48 ∵F 为 BC 的中点, ∴S△OBF=12 ,

∵BF= a,∠FBM=∠AOB, ∴FM= ,BM= a,
9

∴S△BMF= BM?FM= ×

× a= +

a2, a2,

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=12 ∵点 A,F 都在 y= 的图象上, ∴S△AOH= k, ∴ a2=12 , , ,AH= OH= ×4 + a2,

∴a=8 ∴OA=8 ∴OH=4

=4 ,



∵S 平行四边形 AOBC=OB?AH=48 ∴OB=AC=6 ∴C(10 , ,4 );

(3)存在两种情况: 当∠APO=90°时,在 OA 的两侧各有一点 P,分别为:P1(6 P2(﹣2 ,2 ); ,2 ,2 ); ). ,2 ),

当∠PAO=90°时,P3(10 当∠POA=90°时,P4(﹣6

10


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