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2015-2016学年高中数学 2.2第2课时 等差数列的性质课件 新人教A版必修5


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 数列

第二章
2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

1.推导并记住等差数列的一些常见性质. 2.会用等差数列的性质解答一些简单的问题.

2010 年 5 月 1 日至 10 月 31 日,第 41 届世 博会在中国上海举办,展会期间,人流如织,总 参观人数超过 7000 万,根据有关部门统计,某 展馆 7 月上旬每天平均参观人数为 20 万人,在 后面 70 天内,前 40 天每天增加 0.5 万人,后 30 天每天减少 1 万人,问在这时间内,有多少天参观人数能达到 30 万人?这是与等差数列单调性有关的问题,让我们进一步认 识等差数列的有关性质吧!

1 .等差数列 {an} ,对于任意正整数 n ,都有 an + 1 - an = d ________.

2 .等差数列 {an} ,对于任意正整数 n 、 m ,都有 an - am =
(n-m)d __________.

1 . (1) 想一想:在等差数列 {an} 中,若已知任意两项 am ,

an,怎样求公差?
(2)观察下列数列: ①-5,-3,-1,1,3,5,7; ②120,117,114,111,108,105.

思考:在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项
之和有何特点? (3)设数列{an}的通项为 an= 3n-2 ,计算 a1+a5, a2 +a4 , a11+a23,a15+a19,a17,你发现了什么?

2.等差数列{an}的一些简单性质 (1)对于任意正整数 n、m 都有 an-am=(n-m)d. (2)对任意正整数 p、q、r、s,若 p+q=r+s,则 ap+aq=ar+as. 特别地对任意正整数 p、q、r 若 p+q=2r,则 ap+aq=2ar.

(3)对于任意非零常数 b,若数列{an}成等差,公差为 d,则 {ban}也成等差数列,且公差为 bd. (4)若{an}与{bn}都是等差数列,cn=an+bn,dn=an-bn 则 {cn},{dn}都是等差数列. (5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等 差数列.如 a1,a4,a7,?,a3n-2,?成等差数列.

(1)等差数列{an}中,a2=3,a8=6,则a10=________;

(2)已知等差数列{an}中,a2=4,a4+a6=26,则a8的值是
________. [答案] (1)7 (2)22

[解析] (1)设公差为 d,∴a8-a2=6d=3, 1 ∴d=2.∴a10=a8+2d=6+1=7, (2)∵a2+a8=a4+a6=26, ∴a8=26-a2=26-4=22.

3.等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d,则当d=0时,等差数列{an}是常 数列,当d<0时,等差数列{an}是单调递减数列;当d>0时,等 差数列{an}是单调递增数列.

等差数列{an}是递增数列,若a2+a4=16,a1·a5=28,则 通项an=________. [答案] 3n-1

[解析] 设公差为 d, ∵a2+a4=a1+a5=16,
? ?a1+a5=16 ∴由? ? a5=28 ?a1· ? ?a1=2 ,解得? ? ?a5=14 ? ?a1=14 或? ? ?a5=2

.

∵等差数列{an}是递增数列, ∴a1=2,a5=14. a5-a1 12 ∴d= = 4 =3, 5- 1 ∴an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.

课堂探究学案

等差数列的性质 若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
[解析] 解法一:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a15=a1+14d,a60=a1+59d, 64 ? ? ?a1=15, ?a1+14d=8, ∴? 解得? ? ?a1+59d=20, ?d= 4 . ? 15 64 4 ∴a75=a1+74d=15+74×15=24.

解法二:∵{an}为等差数列, ∴a15,a30,a45,a60,a75 也为等差数列. 设其公差为 d,则 a15 为首项,a60 为第 4 项, ∴a60=a15+3d,即 20=8+3d, 解得 d=4. ∴a75=a60+d=20+4=24. 解法三:∵a60=a15+(60-15)d, a60-a15 4 ∴d= = . 60-15 15 4 ∴a75=a60+(75-60)d=20+15×15=24.

[点评] 1.因为 a15 和 a60 都可用 a1 和 d 表示,故可列方程 组解出 a1 和 d,进而求出 a75. 2.因为{an}为等差数列,又序号 15,30,45,60,75 成等差数 列,所以根据等差数列的性质,a15,a30,a45,a60,a75 也成等 差数列. 3.解法二中公差 d 指的是数列 a15,a30,a45,a60,a75 的 公差,与解法一和解法三中的公差不同,注意区分.

(2015· 江 西 质 量 监 测 )(1) 设 数 列 {an} , {bn} 都 是 等 差 数
列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________. (2)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+? +a7=( A.14 C.28 [答案] (1)35 (2)C ) B.21 D.35

[ 解析 ]

(1) 解法 1 :设数列 {an} , {bn} 的公差分别为 d1 ,

d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7 +2(d1+d2)=21,所以d1+d2= 7,所以a5 +b5=(a3+b3)+2(d1 +d2)=21+2×7=35. 解法2:∵数列{an},{bn}都是等差数列, ∴数列{an+bn}也构成等差数列, ∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5) ∴2×21=7+a5+b5

∴a5+b5=35.

(2)∵a3+a4+a5=12,
∴3a4=12,则a4=4, 又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故a1+a2+?+a7=7a4=28.故选C.

等差数列{an}中,a4+a5+a6+a7=56,a4·a7=

187,求a1和d.
[分析] 由等差数列的性质及 4+7 =5 +6可将条件式 a4 + a5+a6+a7=56化为a4与a7的关系式.

[解析] ∵a4+a5+a6+a7=2(a4+a7)=56,∴a4+a7=28, 又
? ?a4=11 a4· a7=187,∴? ? ?a7=17 ? ?a1=5 ∴? ? ?d=2 ? ?a1=23 或? ? ?d=-2 ? ?a4=17 或? ? ?a7=11



.

[方法规律总结 ]

解决本类问题一般有两种方法:一是运

用等差数列{an}的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+ aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数);二是利用通项公式转化 为数列的首项与公差建立方程(组)求解.

在等差数列{an}中,已知a7+a8=16,则a2+a13=(
A.12 C.20 [答案] B [ 解析 ] B. B.16 D.24

)

在等差数列 {an} 中, a2 + a13 = a7 + a8 = 16 ,故选

由递推关系构造等差数列求通项

1 已知数列{an}满足 a1=5,且当 n>1,n∈N*时, an-1 2an-1+1 1 有 a = ,设 bn=a ,n∈N*. 1-2an n n (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)试问 a1a2 是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项; 如果不是,请说明理由.

[ 解析 ]

(1) 证明

an-1 2an-1+1 当 n>1 , n ∈ N 时, a = ? 1-2an n
*

1-2an 2an-1+1 1 1 1 1 an = an-1 ? an - 2 = 2 + an-1? an - an-1 = 4 ? bn - bn -1= 1 4,又 b1=a =5. 1 ∴{bn}是等差数列,且公差为 4,首项为 5.

(2)由(1)知 bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1. 1 1 ∴an=b = ,n∈N*. 4n+1 n 1 1 1 ∴a1=5,a2=9,∴a1a2=45. 1 1 令 an= = ,∴n=11. 4n+1 45 即 a1a2=a11,∴a1a2 是数列{an}的中项,是第 11 项.

[方法规律总结 ]

已知数列的递推公式求数列的通项时,

要对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项,需掌握

常见的几种变形形式.

在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1. (1)求证:数列{an-2n}为等差数列; (2) 设数列 {bn} 满足 bn = 2log2(an + 1 - n) ,求 {bn} 的通项公 式. [解析] (1)证明:(an+1-2n+1)-(an-2n)=an+1-an-2n=

1(与n无关),
故数列{an-2n}为等差数列,且公差d=1. (2)由(1)可知,an-2n=(a1-2)+(n-1)d=n-1,故an=2n +n-1,所以bn=2log2(an+1-n)=2n.

等差数列的综合应用 在△ ABC 中,若 lg(sinA) , lg(sinB) , lg(sinC) 成 等差数列,并且三个内角A,B,C也成等差数列,试判断该三

角形的形状.
[分析] 利用等差中项先求角 B,再确定A、 C的关系,判 断出三角形的形状.

[解析] 由 A,B,C 成等差数列,得 2B=A+C,又 A+B +C=π, π ∴3B=π,∴B=3.

∵lg(sinA),lg(sinB),lg(sinC)成等差数列, ∴2lg(sinB)=lg(sinA)+lg(sinC), 即 sin2B=sinAsinC, 3 ∴sinAsinC=4. 又∵cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC, cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC, 1 ∴sinAsinC=-2[cos(A+C)-cos(A-C)].

1 2π 3 ∴-2[cos 3 -cos(A-C)]=4. 1 1 3 ∴4+2cos(A-C)=4. ∴cos(A-C)=1. ∵A-C∈(-π,π), π ∴A-C=0,即 A=C=3, ∴A=B=C. 故△ABC 为等边三角形.

[方法规律总结 ]

审清题意,将文字语言翻译转化为数学

语言是一项重要的基本功.要注意有意识的加强训练.

若关于 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0(a≠b)的 4 个 1 根可组成首项为4的等差数列,则 a+b 的值为( 3 A.8 13 C.24 11 B.24 31 D.72 )

[答案] D

[解析]

判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两

1 3 个根的和都为 1,故必有一个方程的根为4和4,不妨设方程 x2 1 31 3 -x+a=0 的根为4和4.4为等差数列的首项,4为等差数列 4 项 中的某一项,由 x2-x+b=0 的两根和为 1,且两根为等差数列 3 中的后 3 项中的两项, 知只有4为第 4 项, 才能满足中间两项之 1 5 7 3 和为 1 的条件,所以四根的排列顺序为4,12,12,4,∴a+b 1 3 5 7 31 =4×4+12×12=72.

不等价转化致误 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,且a11 =-26,a51=54,该数列从第几项开始为正数.

[错解] ∵a51=a11+40d, 54+26 ∴d= 40 =2.

∴an=a11+(n-11)d=-26+2(n-11)
=2n-48. 由an≥0,得2n-48≥0, ∴n≥24. 即从第24项开始,各项为正数. [辨析] 错解的原因是忽略了对 “从第几项开始为正数” 的理解,而当n=24时,此时a24=0.

[正解] ∵a51=a11+40d, 54+26 ∴d= 40 =2. ∴an=a11+(n-11)d=-26+2(n-11)=2n-48. 由 an≥0,得 2n-48≥0, ∴n≥24. 显然当 n≥25 时,an>0. 即从第 25 项开始,各项为正数.

[警示]

解题时要加强对题中关键词的理解,提高审题能

力;二是加强等价转化思想的训练.

?若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 等 ?a ,a + ,a + ,?成等差数列 k 2m ? k k m 差? 数 ?{λan+b}成等差数列 列 ?若{an},{bn}成等差数列,则{an± bn}成等差数列 的 ?d>0,{a }为递增数列, n 性? 质 ?d<0,{an}为递减数列, ?d=0,{a }为常数列 ? n


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