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2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)


京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

2014 年北京高考数学(理科)试题
一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项) 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {0,1, 2} ,则 A

B?( )

A.{0}

B.{0,1} C.{0, 2}

D.{0,1, 2}

2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( )

A. y ? x ? 1

B. y ? ( x ?1)2

C. y ? 2? x

D. y ? log0.5 ( x ? 1)

3.曲线 ?

? x ? ?1 ? cos ? ( ? 为参数)的对称中心( ) y ? 2 ? sin ? ?
B. 在直线 y ? ?2 x 上 D. 在直线 y ? x ? 1 上

A. 在直线 y ? 2 x 上 C. 在直线 y ? x ? 1 上

4.当 m ? 7, n ? 3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A.7

B.42

C.210

D.840

5.设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列的( )

A. 充分且不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? x? y?2?0 ? 6.若 x , y 满足 ?kx ? y ? 2 ? 0 且 z ? y ? x 的最小值为-4,则 k 的值为( ) ? y?0 ?

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A.2

B. ? 2

C.

1 2

D. ?

1 2

7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A? 2,0,0? , B ? 2, 2,0? , C ? 0, 2,0? , D 1,1, 2 , 若

?

?

S1 , S2 , S3 分别表示三棱锥 D ? ABC 在 xOy , yOz , zOx 坐标平面上的正投影图形的
面积,则( ) (A) S1 ? S2 ? S3 (C) S1 ? S3 且 S3 ? S2 (B) S1 ? S2 且 S3 ? S1 (D) S2 ? S3 且 S1 ? S3

8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若 A 同学每科成绩不 低于 B 同学,且至少有一科成绩比 B 高,则称“ A 同学比 B 同学成绩好 . ”现有若干同 学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

? 1? i ? 9.复数 ? ? ? ________. ? 1? i ?
10.已知向量 a 、 b 满足 a ? 1 , b ? ? 2,1? ,且 ? a ? b ? 0 ? ? ? R ? ,则 11.设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 渐近线方程为________.

2

? ? ________.

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程为________; 4

12.若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ________时 ?an ? 的前 n 项和最大.

13. 把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14. 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [

? ? , ] 上具有单调性,且 6 2

?? ? ? 2? ? ?? ? f? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为________. ?2? ? 3 ? ?6?

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三.解答题(共 6 题,满分 80 分) 15. ( 本 小 题 13 分 ) 如 图 , 在 ?ABC 中 , ?B ?

?
3

, AB ? 8 , 点 D 在 BC 边 上 , 且

CD ? 2, cos ?ADC ?
(1)求 sin ?BAD

1 7

(2)求 BD, AC 的长

16. (本小题 13 分). 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立) :

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一 场不超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明 在这比赛中的命中次数,比较 E ( X ) 与 x 的大小(只需写出结论)

17.(本小题 14 分)

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如 图 , 正 方 形 AMDE 的 边 长 为 2 , B, C 分 别 为 AM , MD 的 中 点 , 在 五 棱 锥

P ? ABCDE
中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并 求线段 PH 的长.

18.(本小题 13 分)

f ( x) ? x cos x ? sin x, x ? [0, ] , 2 (1)求证: f ( x) ? 0 ; ? sin x ? b 在 (0, ) 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. (2)若 a ? 2 x
已知函数 19.(本小题 14 分) 已知椭圆 C : x
2

?

? 2 y2 ? 4 ,

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点

A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y ? 2 上,且 OA ? OB ,求直线

AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

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20.(本小题 13 分) 对于数对序列 P(a1 , b1 ),(a2 , b2 ),

,(an , bn ) ,记 T1 ( P) ? a1 ? b1 , ? ak }(2 ? k ? n) ,其中 ? ak 两个数中最大的数,

Tk ( P) ? bk ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ?

? ak }表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ?

(1)对于数对序列 P(2,5), P(4,1) ,求 T1 ( P), T2 ( P) 的值. (2)记 m 为 a, b, c, d 四个数中最小值,对于由两个数对 (a, b),(c, d ) 组成的数对序列

P(a, b),(c, d ) 和 P '(a, b),(c, d ) ,试分别对 m ? a 和 m ? d 的两种情况比较 T2 ( P) 和

T2 ( P ') 的大小.
(3)在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中,写出一 个数对序列 P 使 T5 ( P) 最小,并写出 T5 ( P) 的值.(只需写出结论).

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2014 北京高考(理科)数学题解析
1.集合 A ? x | x2 ? 2x ? 0 ? ?0 , 2? .故 A

?

?

B ? ?0 , 2? ,选 C.

? ?? 上为增函数,符合题意. 2. A. y ? x ? 1 在 ? ?1,
1) 上为减函数,不合题意. B. y ? ( x ? 1)2 在 (0 ,

C. y ? 2? x 为 (?? ,? ?) 上的减函数,不合题意. D. y ? log0.5 ( x ? 1) 为 (?1,? ?) 上的减函数,不合题意. 故选 A.
? x ? ?1 ? cos ? 3. 参数方程 ? 所表示的曲线为圆心在 (?1 ,2) ,半径为 1 的圆. ? y ? 2 ? sin ?

其对称中心为圆心 (?1 ,2) .逐个代入选项可知, (?1 ,2) 在直线 y ? ?2 x 上,即选项 B. 4. 当 m 输入的 m ? 7 , n ? 3 时,判断框内的判断条件为 k ? 5 .故能进入循环的 k 依次为 7,6,5.顺次执行 S ? S ? k ,则有 S ? 7 ? 6 ? 5 ? 210 , 故选 C. 5. D 对于等比数列 ?an ? ,若 q ? 1 ,则当 a1 ? 0 时有 ?an ? 为递减数列. 故“ q ? 1 ”不能推出“ ?an ? 为递增数列”. 若 ?an ? 为递增数列,则 ?an ? 有可能满足 a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,推不出 q ? 1 . 综上,“ q ? 1 ”为“ ?an ? 为递增数列”的既不充分也不必要条件,即 选 D. 6. D
y 2 kx-y+2=0

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O

x+y-2=0

2 -

2 k

x

京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班 若 k ≥ 0 , z ? y ? x 没有最小值,不合题意. 若 k ? 0 ,则不等式组所表示的平面区域如图所示.
? 2 ? 由图可知, z ? y ? x 在点 ? ? ,0 ? 处取最小值. ? k ?

1 ? 2? 故 0 ? ? ? ? ? ?4 ,解得 k ? ? ,即选项 D 正确. 2 ? k?

7.

D( S2 ? S3 且 S1 ≠ S3 )
D ? ABC 在 xOy 平面上的投影为 △ ABC ,故 S1 ? 2 ,

设 D 在 yOz 和 zOx 平面上的投影分别为 D2 和 D3 ,则 D ? ABC 在 yOz 和 zOx 平面上的
1 , 2 , D3 1 ,0 , 2 . 投影分别为 △OCD2 和 △OAD3 .∵ D2 0 ,

?

?

?

?

z D2 D3 O A x D1 B D C y

故 S2 ? S3 ? 2 . 综上,选项 D 正确. 8. B 用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格。 显然语文成绩得 A 的学生最多只有 1 个,语文成绩得 B 的也最多只有 1 个,得 C 的也 最多只有 1 个,因此学生最多只有 3 个。 显然, (AC) (BB) (CA)满足条件,故学生最多 3 个 9. ?1 复数
1? i (1 ? i) 2 2i ? ? ?i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

1? i 2 2 故( ) ? i ? ?1 1? i

10. 5 由 ? a ? b ? 0 ,有 b ? ?? a ,于是 | b |?| ? | ? | a | 由 b ? (2 , 1) ,可得 b ? 5 ,又 | a |? 1 ,故 | ? |? 5 11.

x2 y 2 ? ? 1 ; y ? ?2 x 3 12

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双曲线 设C :

y2 ? x2 ? 1 的渐近线为 y ? ?2 x ,故 C 的渐近线为 y ? ?2 x 4
y2 ? x2 ? m 并将点 (2 ,2) 代入 C 的方程,解得 m ? ?3 4 y2 x2 y 2 ? x2 ? ?3 ,即 ? ?1 4 3 12

故 C 的方程为

12. 8 由等差数列的性质, a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 , a7 ? a10 ? a8 ? a9 ,于是有 a8 ? 0 , a8 ? a9 ? 0 , 故 a9 ? 0 .故 S8 ? S7 , S9 ? S8 , S 8 为 {an } 的前 n 项和 Sn 中的最大值 13. 36 先只 考虑 A 与产 品 B 相邻.此时 用捆绑法 ,将 A 和 B 作为一 个元素考 虑,共 有
24 ? 2=48 种方法.再排除既满足 A4 4 ? 24 种方法.而 A 和 B 有 2 种摆放顺序,故总计 A 与 B 相邻,又满足 A 与 C 相邻的情况,此时用捆绑法,将 A ,B ,C 作为一个元素考

A ,B , C 有 2 种可能的摆放顺序,故总计 6 ? 2=12 种方 虑,共有 A3 3 ? 6 种方法,而

法.综上,符合题意的摆放共有 48 ? 12 ? 36 种. 14. π
?π π? ?π? ?π? 由 f ? x? 在 区 间 ? ? ? 上 具 有 单 调 性 , 且 f ? ? ? ? f ? ? 知 , f ? x? 有 对 称 中 心 ?6 2? ?2? ?6? ?π ? ? ? 0? , ?3 ? 1?π 2 ? 7 ?π? ?2 ? 由 f ? ? ? f ? π ? 知 f ? x ? 有对称轴 x ? ? ? π ? ? π ,记 T 为最小正周期, 2 ? 2 3 ? 12 ?2? ?3 ?

1 π π 2π 7 π T 则 T ≥ ? ? T ≥ ,从而 π ? ? ? T ? π . 2 2 6 3 12 3 4

15.⑴ sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ?

4 3 7

sin ?BAD ? sin ? ?ADC ? ?B ? ? sin ?ADC ? cos ?B ? sin ?B ? cos ?ADC ? 4 3 1 1 3 3 3 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

⑵ △ABD 中
AB AD BD 8 AD BD .即 ? ? ? ? sin ?ADB sin B sin ?BAD 4 3 3 3 3 7 2 14

解得 BD ? 3 , AD ? 7 在 △ ACD 中,

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AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos ?ADC 1 ? 7 2 ? 22 ? 2 ? 7 ? 2 ? 7 ? 49

所以 AC ? 7 16.⑴ 李明在该场比赛中命中率超过 0.6 的概率有: 主场 2 主场 3 主场 5 客场 2 客场 4 所以李明在该场比赛中投篮命中超过 0.6 的概率 5 1 P? ? 10 2 3 2 ⑵ 李明主场命中率超过 0.6 概率 P ,命中率不超过 0.6 的概率为 1 ? P 1 ? 1 ? 5 5 2 3 客场中命中率超过 0.6 概率 P2 ? ,命中率不超过 0.6 的概率为 1 ? P2 ? . 5 5 3 3 2 2 13 P? ? ? ? ? 5 5 5 5 25 ⑶ E?X ? ? x. 17. ⑴证明:

AM ∥ED , AM ? 面 PED , ED ? 面 PED .

? AM ∥面 PED .

AM ? 面 ABF ,即 AB ? 面 ABF
面 ABF 面 PDE ? FG
P

z

? AB ∥ FG .

⑵如图建立空间直角坐标系 A ? xyz ,各点坐标如下

A ? 0,0,0 ? , E ? 0, 2,0 ? , B ?1,0,0 ? , C ? 2,1,0? , F ? 0,1,1? , P ? 0,0, 2 ?
设面 ABF 的法向量为 n ? ? x0 , y0 , z0 ? , AB ? ?1,0,0? ,
AF ? ? 0,1,1?
A

F E

G H

y

D B C M x

? ?x ? 0 ?n ? AB ? 0 ,即 ? ,令 y ? 1 ,? n ? ? 0,1, ?1? ? ?y ? z ? 0 ? ?n ? AF ? 0



BC ? ?1,1,0? ,? sin BC, n ?

1 2? 2

?

1 2

直线 BC 与平面 ABF 所成的角为

π . 6

设 H ? x1 , y1 , z1 ? ,由 PH ? tPC ,则 ? x1 , y1 , z1 ? 2? ? t ? 2,1, ?2?

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? x1 ? 2t ? ? ? y1 ? t ? H ? 2t , t ,2 ? 2t ? ? z ? 2 ? 2t ? 1



H ?面 ABF , BH ? ? 2t ? 1, t,2 ? 2t ?

? n ? BH ? 0

? t ? 2t ? 2 ? 0 ,? t ?
2 2

2 ?4 2 2? ?4 2 4? ,? H ? , , ? ,? PH ? ? , , ? ? 3 ?3 3 3? ?3 3 3?
2

? 4? ? 2? ? 4? ? PH ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3? ? 3? ? 3? 18. ⑴证明: f ? ? x ? ? cos x ? x ? ? sin x ? ? cos x ? ? x sin x ,
? π? ? π? x ? ?0 ? ? 时, f ? ? x ? ≤ 0 ,从而 f ? x ? 在 ? 0 ? ? 上单调递减, 2 ? ? ? 2? ? π? 所以 f ? x ? 在 ? 0 ? ? 上的最大值为 f ? 0? ? 0 , ? 2?

所以 f ? x ? ≤ f ? 0? ? 0 . ⑵法一: 当 x ? 0 时 ,“

sin x sin x ? a ” 等 价 于 “ sin x ? ax ? 0 ”;“ ?b ” 等 价 于 x x

“ sin x ? bx ? 0 ” , 令 g ? x ? ? sin x ? cx ,则 g ? ? x ? ? cos x ? c .
? π? 当 c ≤ 0 时, g ? x ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立. ? 2? ? π? ? π? 当 c ≥ 1 时,因为对任意 x ? ? 0 ? ? , g ? ? x ? ? cos x ? c ? 0 ,所以 g ? x ? 在区间 ? 0 ? ? 上 ? 2? ? 2? ? π? 单调递减.从而 g ? x ? ? g ? 0 ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立. ? 2? π? ? 当 0 ? c ? 1 时,存在唯一的 x0 ? ? 0 ? ? ,使得 g ? ? x0 ? ? cos x0 ? c ? 0 , 2? ? π? ? 且当 x ? ? 0 ? x0 ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增;当 x ? ? x0 ? ? 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 2? ? 单调递减。所以 g ? x0 ? ? g ? 0? ? 0 。
π ? π? ?π? 进一步, “ g ? x? ? 0 对 任 意 x ? ? 0 ? ? 恒 成 立 ” 当 且 仅 当 g ? ? ? 1 ? c ≥ 0 , 即 2 ?2? ? 2? 2 0 ? c≤ . π 2 ? π? 综上所述,当且仅当 c ≤ 时, g ? x ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立; π ? 2? ? π? 当且仅当 c ≥ 1 时, g ? x ? ? 0 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立. ? 2? sin x 2 ? π? 所以,若 a ? ? b 对任意 x ? ? 0 ? ? 恒成立,则 a 的最大值为 , b 的最小值为 1 . 2 π x ? ? 法二:

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sin x ? π? ? x??0 ? ? , x ? 2? cos x ? x ? sin x 则 g?? x? ? ,由⑴知, g ? ? x ? ≤ 0 , x2 ? π? ?π? 2 故 g ? x ? 在 ? 0 ? ? 上单调递减,从而 g ? x ? 的最小值为 g ? ? ? , ? 2? ?2? π 2 2 故 a ≤ , a 的最大值为 . π π b 的最小值为 1 ,下面进行证明: ? π? h ? x ? ? sin x ? bx , x ? ?0 ? ? ,则 h? ? x ? ? cos x ? b , ? 2? ? π? 当 b ? 1 时, h? ? x ? ≤ 0 , h ? x ? 在 ? 0 ? ? 上单调递减,从而 h ? x ?max ? h ? 0? ? 0 , ? 2? 所以 sin x ? x ≤ 0 ,当且仅当 x ? 0 时取等号. sin x ? π? 从而当 x ? ? 0 ? ? 时, ? 1 .故 b 的最小值小于等于 1 。 2 x ? ?

令 g ? x? ?

? π? 若 b ? 1 ,则 h? ? x ? ? cos x ? b ? 0 在 ? 0 ? ? 上有唯一解 x0 ,且 x ? ? 0 ? x0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , ? 2? 故 h ? x ? 在 ? 0 ? x0 ? 上单调递增,此时 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,

sin x ? b 与恒成立矛盾,故 b ≥ 1 , x 综上知: b 的最小值为 1 . sin x ? bx ? 0 ?

19.⑴椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1, 4 2
c 2 ? ; a 2

a ? 2 , b ? 2 ? 则 c ? 2 ,离心率 e ?

⑵直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切.证明如下: 法一: 设点 A ? B 的坐标分别为 ? x0 ? y0 ? ? ? t ? 2 ? ,其中 x0 ? 0 . 因为 OA ⊥ OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ? 当 x0 ? t 时, y0 ? ?
2 y0 . x0

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 .圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 . 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? 即 ? y0 ? 2? x ? ? x0 ? t ? y ? 2x0 ? ty0 ? 0 . 圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?
y0 ? 2 ?x ? t? , x0 ? t

2 x0 ? ty0

? y0 ? 2?

2

? ? x0 ? t ?

2

.

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2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 4 ,t ? ?

2 y0 ,故 x0
2 4 ? x0 x0 4 2 x0 ? 8 x0 ? 16 2 2 x0

2 x0 ? d?
2 0 2 0

2 2 y0 x0

4 y2 x ? y ? 20 ? 4 x0

?

? 2.

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 法二: 由题意知,直线 OA 的斜率存在,设为 k ,则直线 OA 的方程为 y ? kx , OA ⊥ OB , ① 当 k ? 0 时 , A ? ?2 ? 0 ? , 易 知 B ? 0 ? 2 ? , 此 时 直 线 AB 的 方 程 为 x ? y ? 2 或
?x ? y ? 2 ,

原点到直线 AB 的距离为 2 ,此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;
1 ②当 k ? 0 时,直线 OB 的方程为 y ? ? x , k

? ? y ? kx 2 2k ? ? 2 2k ? 联立 ? 2 得点 A 的坐标 ? ? ?? ? 或?? ?; 2 2 2 2 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k 1 ? 2k 2 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 1 ? 2k

1 ? ?y ? ? x 联立 ? k 得点 B 的坐标 ? ?2k ? 2? , ? ?y ? 2
? 2 2k ? 由点 A 的坐标的对称性知,无妨取点 A ? ? ? 进行计算, 2 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k
2k 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 ?2 ? 2k k ? 1 ? 2k 2 1 ? k 1 ? 2k 2

于是直线 AB 的方程为: y ? 2 ?

? x ? 2k ? ?

? x ? 2k ? ,

即 k ? 1 ? 2k 2 x ? 1 ? k 1 ? 2k 2 y ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,
2k 2 ? 2

?

? ?

?

原点到直线 AB 的距离 d ?

?k ?

1 ? 2k

2

? ? ?1 ? k
2

1 ? 2k

2

?

2

? 2,

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。 综上知,直线 AB 一定与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 法三: ①当 k ? 0 时, A ? ?2 ? 0 ? ,易知 B ? 0 ? 2 ? ,此时 OA ? 2 ? OB ? 2 ,
OA ? OB AB 2? 2 2 2

AB ? 22 ? 22 ? 2 2 ,原点到直线 AB 的距离 d ?
此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;
1 ②当 k ? 0 时,直线 OB 的方程为 y ? ? x , k

?

? 2, 、

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设 A ? x1 ? y1 ? ? B ? x2 ? y2 ? ,则 OA ? 1 ? k 2 x1 , OB ? 1 ? ? ?k ? y2 ? 2 1 ? k 2 ,
2

? ? y ? kx 2 2k ? ? 2 2k ? 联立 ? 2 得点 A 的坐标 ? ? ?? ? 或?? ?; 2 2 2 2 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k 1 ? 2k 2 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 1 ? 2k

于是 OA ? 1 ? k 2 xA ?

2 1? k2 1 ? 2k
2
2

, OB ? 2 1 ? k 2 ,

AB ?

4 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

? 4 ?1 ? k

??
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
? 2 1? k2



2 1? k2

所以 d ?

OA ? OB AB

? 1 ? 2k 2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

? 2 ,直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;

综上知,直线 AB 一定与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切 20.⑴ T1 ? P ? ? 2 ? 5 ? 7 , T2 ? P? ? 1 ? max ?T1 ? P ? ? 2 ? 4? ? 1 ? max ?7 ? 6? ? 8 ; ⑵当 m ? a 时:

T1 ? P ? ? a ? b , T2 ? P ? ? d ? max ?a ? b ? a ? c? ? a ? d ? max ?b ? c? ; T1 ? P?? ? c ? d , T2 ? P?? ? b ? max ?c ? d ? c ? a? ? b ? c ? max ?a ? d ? ? b ? c ? d ;
因为 a 是 a ? b ? c ? d 中最小的数,所以 a ? max ?b ? c? ≤ b ? c ,从而 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? ; 当 m ? d 时,

T1 ? P ? ? a ? b , T2 ? P ? ? d ? max ?a ? b ? a ? c? ? a ? d ? max ?b ? c? ; T1 ? P?? ? c ? d , T2 ? P?? ? b ? max ?c ? d ? c ? a? ? b ? c ? max ?a ? d ? ? a ? b ? c ;
因为 d 是 a ? b ? c ? d 中最小的数,所以 d ? max ?b ? c? ≤ b ? c ,从而 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? 。 综上,这两种情况下都有 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? 。 ⑶数列序列 P : ? 4,6 ? , ?11,11? , ?16,11? , ?11,8 ? , ? 5, 2 ? 的 T5 ? P ? 的值最小;

T1 ? P ? ? 10 , T2 ? P ? ? 26 , T3 ? P ? ? 42 , T4 ? P ? ? 50 , T5 ? P ? ? 52 .

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