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2.2 第一课时 等差数列 课件(人教A版必修5)


1.在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每 隔5数一次,可以得到数列:0,5,________,________, ________,________,…

2.鞋的尺码,按照国家规定,有:
22,22.5,23,23.5,24,24.5,…

3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生 活环境,需定期放水清理水库中的杂鱼.如果一个水库 的水位为18 cm,自然放水每天水位降低2.5 m,最低降

至5 m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的
那天,水库每天的水位组成数列(单位:m): 18,15.5,13,10.5,8,5.5

问题:观察下面的这三个数列:

0,5,10,15,20,…①
22,22.5,23,23.5,24,24.5,…② 18,15.5,13,10.5,8,5.5③ 这些数列有什么共同特点呢? 提示:以上三个数列从第2项起,每一项与前一项的差都 等于同一个常数(即:每个数列都具有相邻两项差为同一 个常数的特点).

如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一 项的差等于 同一个 常数,那么这个数列就叫做等差 数列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示.

问题:如果在a与b中间抽入一个数,使a,A,b成等差
数列,那么A应满足什么条件?
提示:因为 a,A,b 成等差数列,所以 A-a=b-A,所以 a+b 就有 A= 2 .

1.等差中项:如果a,A,b成 等差 数列,那么A 叫做a与b的等差中项.

2.等差中项的性质
a+ b A是a与b的等差中项? A= (或 2A=a+b ). 2

问题:若一等差数列{an}的首项为a1,公差是d,则
根据其定义可得: a2-a1=________,即a2=a1+________; a3-a2=________,即a3=a2+d=a1+________; a4-a3=________,即a4=a3+d=a1+________; …

由此可归纳等差数列的通项公式an=________.

提示:a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=d,
a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,… 由此归纳:an=a1+(n-1)d.

已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 递推公式 通项公式

an-an-1 =d(n≥2) a = a1+(n-1)d n

1.对等差数列定义的理解
(1)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“ 相邻且后项减去前项”强调了:①作差的顺序;②这两项 必须相邻. (2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项 都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.

(3)等差数列的定义可用符号语言表述为:

在数列{an}中,若an+1-an=d(常数)(n∈N*),则称数列
{an}为等差数列. 2.在等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中有4个 变量an、a1、n、d,在这4个变量中可以“知三求一”.其 作用为

(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项; (2)已知等差数列的任意两项,就可以求出首项和 公差从而可求等差数列中的任一项; (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一 项,也可判断某数是否为数列中的项及是第几项.

例1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项? 如果是,是第几项? 解:(1)由a1=8,d=5-8=-3,n=20, 得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. (2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4, 得这个数列的通项公式为

an=-5-4(n-1)=-4n-1,
由题意知,-401=-4n-1. 得n=100,即-401是这个数列的第100项.

例2、在等差数列

{an} 中


已知

a1 ? 2, d ? 3, n ? 10
a1 ? 3, an ? 21, d ? 2

an
n

已知



已知

a1 ? 12, a6 ? 27



d

已知 d

? ?1 / 3, a7 ? 8 求 a1

[例3] 已知数列{an}的通项公式an=pn+q

(p、q∈R,

且p、q为常数).那么这个数列一定是等差数列吗?

[思路点拨]

利用等差数列的定义作答.

(1)考察an+1-an,寻求使之为常数时p、q应满足的条件; (2)证 an ? an ?1 是一个常数.

[精解详析]

an+1-an

=[p(n+1)+q]-(pn+q)
=p. 所以,数列{an}是等差数列.

[一点通]

定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数

列的基本方法,其步骤为 (1)作差an+1-an;

(2)对差式进行变形;
(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是 等差数列.

1.在等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中, 共有四个量.已知任意三个量可求得第四个量,其中

首项和公差称之为基本量.涉及等差数列的基本概念
的问题,常用基本量a1,d来处理.在解题中,善于选 择公式,即尽量减少运算量,可达到快速、准确解题 的目的.

2.判断一个数列是否为等差数列的常用方法 方法 定义法 等差中 项法 通项公 符号语言 结论

an-an-1=d(常数)
(n≥2且n∈N*) 2an=an-1+an+1 (n≥2且n∈N*) an=kn+b {an}是等 差数列

式法

(k,b为常数,n∈N*)


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