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《正弦函数、余弦函数的性质-周期性》教学设计


《正弦函数、余弦函数的性质-周期性》教学设计
教学目标: 一、知识与技能: 1.理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性. 2.会求一些简单三角函数的周期. 二、过程与方法: 从学生生活实际的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景的分析与 y=sinx 图象的 比较,概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合的方法研究正弦函数的周期性,通过类比研究余弦函数 的周期性. 三、情感、态度与价值观: 让学生体会数学来源于生活,体会从感性到理性的思维过程,体会数形结合思想;让学生亲身经 历数学研究的过程,体验创造的激情,享受成功的喜悦,感受数学的魅力. 教学重点: 1.周期函数的定义。 2.正弦余弦函数的周期性。 教学难点:1.周期函数定义。 2.运用定义求函数的周期。 教学过程:

一、复习回顾,引入新知: 1.如何画出正余弦函数在[0,2?]上的图象? 2.如何画出正余弦函数在 R 上的图象? 3.如何画出余弦函数图象,并思考正弦、余弦函数的图象联系?(关键:形状相同,位 置不同) 二、讲授新课: 1. 创设问题,情景引入: (1) 、观察正、余弦曲线,想一想与之前学习的函数相比最显著的特点是什么? 学生根据常识会回答:周期性 (2) 、生活中有哪些周而复始现象?你能说出几个? 【设计意图】 :激发学习兴趣,让学生感受数学离生活很近。 如: (演示动画) 1 昼夜更替、四季轮回、日出日落、宇宙星空运行。 2 今天周四,14 天前周几?98 天后周几? 3 有一首古诗:离离原上草,一岁一枯荣,夜火烧不尽,春风吹又生。(勾 起高一学生对小学一年级学习情景的回忆和感慨,进而陶冶学生情操,激发学习积极性) ?? 2、演示三个动画让学生从三角度观察进而归纳总结周期函数的定义。 这三个动画分别是: (1) 演示[0,2π ]上的图象不断重复

(2)演示 R 上任意长度为 2π 的区间上的图象重复

(3)演示任意一点加减 2π 后的函数值重复

3、通过这三个动画使学生由直观到抽象,由感性到理性地思考: ① 正弦函数值具有 “周而复始” 的变化规律, 这一点可以从正弦线的变化规律中看出, 还可以从诱导公式 sin( x ? 2k? ) ? sin x(k ? Z ) 中得到反映,即当自变量 x 的值增加 2? 的整数倍 时,函数值重复出现. ②周期函数的定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内 的每一个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个 函数的周期. (周期函数 f ( x) 的周期不唯一, kT , k ? Z 都是它的周期,所有周期中最小的正数就叫 做它的最小正周期) ③由刚才的讨论可知正弦函数是周期函数,它的周期性为 2k? (k ? Z 且k ? 0) ,最小正周 期是 2? 。 ④余弦函数也是周期函数吗, 为什么? (找正余弦曲线的) , 它的周期 2k? (k ? Z 且k ? 0) , 最小正周期是 2? 。 4、巩周期性概念,辩论研讨: 判断下列说法是否正确: ? ? ? ? (1) 因为 sin( ? ) ? sin ,所以 是 y ? sin x 的周期。 () 4 2 4 2 (2) 周期函数的周期是唯一的。 () (3) 常函数 f(x ) ? 5 是周期函数。 ()
体会: (1)周期的定义是对定义域中的每一个 X 值来说的,只有个别的 X 值满足 f ( x ? T ) ? f ( x) ,不能说

T 是函数的周期。
(2)周期函数的周期不唯一,非零整数倍也是周期。 (3)常函数是周期函数,但不存在最小正周期。

5、例题: 例 1:求下列函数的周期: (1) y ? 3sin x, x ? R ; (2) y ? cos 2 x, x ? R ; 1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R .
2 6

(师生共析→教师板书→学生观察→总结规律:这些函数的周期与解析式中哪些量有 关?)
方法:

① 周期函数定义

②由函数图象观察得到周期

? x ? ? ),x? R(或 y ? Acos( ? x ? ? ),x? R)的函数的最小正周期 ④结论:形如 y ? Asin( 2? . T? ? 1 例 2、求满足不等式 sin x ? 的 X 的集合。 2

三、练习: 1、求下列函数的周期:

(1)y ? sin

3 x ,x ? R 4

(2) y ? cos4 x, x ? R
(3) y ? 1 cos x, x ? R 2 1 ? (4) y ? sin( x ? ), x ? R 3 4

2、求函数 y ? sin x , x ? R 的周期。 设计意图:知道利用函数图象也可以快速求出周期。 解:由正弦函数 y ? sin x ,x ? R 的图象可变换出 y ? sin x , x ? R 的图象,即把正弦曲线 X 轴下方的翻折到 X 轴上方,此时会出现周期为 ? 。

0]上的解析式为 f(x ) ? ?x , 3、 已知偶函数 f (x )在[?1, 且满足 f(x ? 2) ? f(x ), 求 f(
[设计意图]考察周期性的符号表示及周期函数的应用。也可培养学生数形结合的能力。
解: f(

17 )的值。 2

17 17 1 1 1 ) ? f( ? 8) ? f( ) ? f(? ) ? 2 2 2 2 2

四、小结归纳: 1、复习了五点作图法及正余弦曲线的区别。 2、重点掌握周期函数的定义。

3、理解正余弦函数的周期性及会求形如: y ? A sin(?x ? ? )(或 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期。 4、掌握求周期的一般方法并会利用周期性解决问题。

五、作业布置: 课本 P46 T3、7、9



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