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辽宁省沈阳市东北育才学校2016届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


东北育才学校高中部 2016 届高三第三次模拟数学试题(理科) 时间:120 分钟 试卷满分:150 分命题:高三数学备课组 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 16 ? 0} , B ? {?5, 0,1} ,则 A. A ? B ? ? B. B ? A C. A ? B ? {0,1} D. A ? B
2 2 2.命题“若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题

2 2 A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0
2 2 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0
2 2 D.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

3.复数 z ?| A. 2 ? i

3 ?i | ?i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为 i
B. 2+i C. 4 ? i D. 4 ? i

4. ? (3x 2 ? sin x)dx 等于
?1

1

A.0

B. 2sin1
2

C. 2cos1
?

D.2

5.数列 an 的前 n 项和为 Sn ? 2n ? 3n(n ? N ) ,若 p ? q ? 5 ,则 a p ? aq ? A.20 B.15 C.10 D.-5 6.函数 f ( x) ? a ? a x (a ? 0, a ? 0) 的定义域和值域都是 ?0, 1? ,则 log a A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5 48 ? log a ? 6 5

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 部分图象如图所示,若 x1 , x2 ? (?

?
2

)的

? ?

, ) ,且 6 3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ?
A. 1 B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2
x 交于 M、N 点,则 x ?1

8.在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 Q(1,1) 的直线 l 与曲线 y ?

ON ? OQ ? MO ? OQ ?
A.2 B.4 C.6 D.8

?x ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 9.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,向量 a ? ( y ? 2 x, m), b ? (1, ?1) ,且 a // b ,则 m 2 ? ? ?2 x ? y ? 10

-1-

的最小值为 A.-2 B.2 C.6 D.-6 10.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且

2S ? (a ? b)2 ? c2 , 则 tan C 等于 4 3 3 4 A. B. C. ? D. ? 3 4 4 3 1 11.已知关于 x 的不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 (ab ? 1) 的解集为空集,则 a 1 a (b ? 2c) 的最小值为 T? ? 2(ab ? 1) ab ? 1
12.已知 f ( x) ?| x ? e | ,方程 f ( x) ? tf ( x) ?1 ? 0 ?t ? R ? 有四个实数根,则 t 的取值范
x

A. 3

B.2

C. 2 3

D.4

2

围为 A. (

e2 ? 1 , ??) e

B. ? ??, ?

? ?

e2 ? 1 ? ? e ?

C. ? ?

? e2 ? 1 ? , ?2 ? e ? ?

D. ? 2,

? ?

e2 ? 1 ? ? e ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知圆 O : x ? y ? 4 ,直线 l 与圆 O 相交于点 P、Q ,且 OP ? OQ ? ?2 ,则弦 PQ
2 2

的长度为



14.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( ? x) ? f ( x ? ), f (2014) ? 2, 则

3 2

f (?1) =



15.设 f ? x ? 是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x, y ? R ,都有

f ? x? ? f? ?y ?
的取值范围是

?f

? x ? ,若 y a1 ? , an ? f ? n ? ? n ? N ? ? ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n


1 2

16.已知函数 f ( x) ? e ________.

(sin x ? cos x )

1 ? sin 2 x, x ? R ,则函数 f ( x) 的最大值与最小值的差是 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? loga (4 ? x),(0 ? a ? 1) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [0,3] 的最小值为 ?2 ,求实数 a 的值.

-2-

18.(本小题满分12分) 已知 a ? (1, a), b ? (sin x,cos x) .函数 f ( x) ? a ? b 的图象经过点 ? ? , 0? . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 的最小正周期与单调递增区间.

?

?

? ?

? π ? 3

? ?

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前n项和是Sn ,且 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 (1 ? Sn?1 )(n ? N * ) ,求适合方程 数 n 的值.

1 an ? 1(n ? N * ). 2

1 1 1 25 的正整 ? ?? ? ? b1 b2 b2 b3 bn bn ?1 51

20.(本小题满分 12 分) 定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A, B 分别在 x 轴, y 轴上滑动,动点 P 满足 BP ? 2 PA . (Ⅰ)求点 P 的轨迹曲线 C 的方程;

??? ?

??? ?

(Ⅱ)若过点 ?1,0 ? 的直线与曲线 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的最大值.

???? ? ????

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 x . ? ln 2 1? x

(Ⅰ)求证: f ( x) 图象关于点 ( , ) 中心对称;

1 1 2 2

-3-

(Ⅱ)定义 Sn ?

? f ( n) ? f ( n) ? f ( n) ?? ? f (
i ?1

n ?1

i

1

2

n ?1 ) ,其中 n ? N * 且 n ≥ 2 ,求 Sn ; n

* (III)对于(Ⅱ)中的 S n ,求证:对于任意 n ? N 都有 ln S n ? 2 ? ln S n ?1 ?

1 1 ? 3. 2 n n

22.(本小题满分 12 分)
x x 已知函数 f ? x ? ? e sin x ? cos x, g ? x ? ? x cos x ? 2e ,其中 e 是自然对数的底数.

π (Ⅰ)判断函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 内的零点的个数,并说明理由; 2 ? π? ? π? (Ⅱ) ?x1 ? ?0, ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,试求实数 m 的取值 2 ? ? ? 2? 范围;
(Ⅲ)若 x ? ?1 ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 0

东北育才高中部第三次模拟数学(理科)答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 13. 2 3 15. [ ,1) 7.D 8.D 9.D 10.C 11.D 12.B 16. e
2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 14.-2

1 2

? e?

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (Ⅰ)由 ?

?x ? 2 ? 0 ?4 ? x ? 0

得? 2 ? x ? 4

? f ( x) 的定义域为 (?2,4)
(Ⅱ) f ( x) ? loga ( x ? 2)(4 ? x) ( x ? ?0,3?) 令 t ? ( x ? 2)(4 ? x) ? ?( x ? 1) ? 9
2

?????4 分

当 0 ? x ? 3?5 ? t ? 9 当0 ? a ?1 则 loga 9 ? loga t ? loga 5

????7 分

? f ( x) min ? loga 9 ? ?2
a2 ? 1 9
又0 ? a ?1

?a ?

1 3
-4-

综上得 a ?

1 3

??????10 分

18.解: (1)因为函数 f ( x) ? a ? b ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0? ,

? ?

? π ? 3

? ?

所以 f ? ?

? ?? ? π? ? π? ? ? 0 .即 sin ? ? ? ? a cos ? ? ? ? 0 . ? 3? ? 3? ? 3?

即?

3 a ? ?0. 2 2
???????????4 分

解得 a ? 3 . (2)由(1)得,

?1 ? 3 sin x ? cos x f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? ?

? ?? ? ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ?
π? ? ? 2sin ? x ? ? . 3? ?
所以函数 f ?x ? 的最小正周期为 2 ? . 因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ? ?????????6 分

????????8 分

? ?

? ?? , 2k ? ? ? ? k ? Z? , 2 2?

π π π ? x ? ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 f ?x ? 单调递增, 2 3 2 5π π ? x ? 2kπ ? ? k ? Z? 时,函数 f ?x ? 单调递增. 即 2kπ ? 6 6
所以函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ? 2kπ ? 19.(Ⅰ) n ? 1 时, a1 ?

? ?

5π π? , 2kπ ? ? ? k ? Z? . ???12 分 6 6?

1 2 a1 ? 1,a1 ? 2 3

1 ? Sn ? 1 ? an ? 1 1 ? 2 n ? 2 时, ? ,Sn ? Sn ?1 ? (an ?1 ? an ) ,? an ? an ?1 (n ? 2) 3 2 ?S ? 1 ? 1 a n ?1 n ?1 ? ? 2

?an ? 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列, an ? 3 ? ( 3 )n?1 ? 2( 3 )n
-5-

2

1

2

1

1

????6 分

(Ⅱ) 1 ? Sn ?

1 ( )n?1 1 1 an ? n ,bn ? log3 (1 ? Sn ?1 ) ? log3 3 ? ?(n ? 1) 2 3

???8 分

1 1 1 ? ? bn bn ?1 n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? b1 b2 b2 b3 bn bn?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2
????10 分

1 1 25 ? ? ,n ? 100 2 n ? 2 51
??? ? ??? ?

????12 分

20.解: (Ⅰ) 设A ( x0 , 0) , B (0,y0 ) , P ( x, y ) , 由 BP ? 2 PA 得,( x, y ? y0 ) ? 2( x0 ? x, ? y) ,

3 ? ? x ? 2( x0 ? x) ? x0 ? x 即? ?? 2 ,————————————————————2 分 ? y ? y0 ? ?2 y ? y ? 3 y ? 0
2 2 又因为 x02 ? y02 ? 9 ,所以 ( x ) ? (3 y ) ? 9 ,化简得:

3 2

x2 ? y 2 ? 1 ,这就是点 P 的轨迹方 4

程。

——————————————————4 分

(Ⅱ)当过点(1,0)的直线为 y ? 0 时, OM ? ON ? (2,0)? (-2,0) ? ?4 当过点(1,0)的直线不为 y ? 0 时可设为 x ? ty ? 1 ,A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y2 )联立

???? ? ????

? x2 2t ? ? y2 ? 1 2 2 并 化 简 得 : (t ? 4) y ? 2ty ? 3 ? 0 , 由 韦 达 定 理 得 : y1 ? y2 ? ? 2 , ?4 t ?4 ? x ? ty ? 1 ?
y1 y2 ? ? 3 ,———————6 分 t ?4 ???? ? ???? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1
2

所以

? (t 2 ? 1)

?3 ?2t ?4t 2 ? 1 ?4(t 2 ? 4) ? 17 17 ? t ? 1 ? ? ? ?4 ? 2 2 2 2 2 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4

—10 分

2 又 由 ? ? 4t ?12( t 2 ? 4) ? 16 t 2 ? 48? 恒 0成 立 , 所 以 t ? R , 对 于 上 式 , 当 t ? 0 时 ,

-6-

1 max 4 ???? ? ???? 1 ON 的最大值为 综上所述 OM ? …………………………………………12 分 4 ?
21. (Ⅰ)解: f ( x) ? f (1 ? x) ?

? OM ?ON ?

???? ? ????

1 x 1 1? x ? ln ? ? ln ?1 2 1? x 2 x

所以 f ( x) 图象关于点 ( , ) 中心对称
1 2 n?2 n ?1 (Ⅱ) ∵ Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f ( ) n n n n 1 2 2 1 ∴ Sn ? f (1 ? ) ? f (1 ? ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) n n n n

1 1 2 2

??2 分 ??① ??② ??6 分
Sn ? 2 1 ? ln(1 ? ) , S n ?1 n

①+②,得 2 S n ? n ? 1 ,∴ Sn ?

n ?1 (n ≥ 2, n ? N* ) 2

(III)当 n ? N * 时,由(2)知 ln S n ? 2 ? ln S n ?1 ? ln 于是 ln Sn ? 2 ? ln Sn ?1 ?

1 1 1 1 1 ? 3 等价于 ln(1 ? ) ? 2 ? 3 . 2 n n n n n

?7 分

3x3 ? ( x ? 1)2 , x ?1 ∴当 x ? [0, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,即函数 g ( x ) 在 [0, ?? ) 上单调递增,又 g(0)=0.

令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? ln(1 ? x) ,则 g ?( x) ?

于是,当 x ? (0, ?? ) 时,恒有 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x3 ? x 2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立.
1 故当 x ? (0, ?? ) 时,有 ln(1 ? x) ? x 2 ? x3 成立,取 x ? ? (0, ??) , n 1 1 1 则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 成立. n n n

??12 分

π 22.解: (Ⅰ)函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1 2 理由如下: 因为 f ? x ? ? ex sin x ? cos x ,所以 f ? ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x .

π ,所以 f ?( x) ? 0 , 2 π 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上是单调递增函数 2 π π 因为 f (0) ? ?1 ? 0 , f ( ) ? e 2 ? 0 , 2 根据函数零点存在性定理得 π 函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 (Ⅱ)因为不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 等价于 f ( x1 ) ≥ m ? g ( x2 ) , π π 所以 ?x1 ?[0, ], ?x2 ?[0, ] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,等价于 2 2 f ( x1 )min ≥ ? m ? g ( x2 ) ?min ,即 f ( x1 )min ≥ m ? g ( x2 )max .
因为 0 ? x ?

-7-

π π 当 x ?[0, ] 时,f ? ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x ? 0 , 故 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递增, 所以 x ? 0 2 2 时, f ? x ? 取得最小值 ?1 .
又 g ? ? x ? ? cos x ? x sin x ? 2ex ,由于 0 ≤ cos x ≤1, x sin x ≥ 0, 2ex ≥ 2 ,

π 所以 g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在区间 [0, ] 上单调递减, 2 因此, x ? 0 时, g ? x ? 取得最大值 ? 2 .
? 2 ?1 . 所以 ?1≥ m ? ? 2 ,所以 m ≤-

?

?

所以实数 m 的取值范围是 ??, ?1 ? 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? .· (Ⅲ)当 x ? ?1 时,要证 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,只要证 f ? x ? ? g ? x ? , 只要证 e x sin x ? cos x ? x cos x ? 2e x , 只要证 e x sin x ? 2 ? ? x ? 1? cos x ,
ex cos x ? x ? 1 sin x ? 2 x e cos x ? 下面证明 x ? ?1 时,不等式 成立. x ? 1 sin x ? 2

?

?

?

由于 sin x ? 2 ? 0, x ? 1 ? 0 ,只要证

令 h ? x? ?

e x ? x ? 1? ? e x xe x ex , ? ? x ? ?1? ,则 h? ? x ? ? 2 2 x ?1 ? x ? 1? ? x ? 1?

当 x ? ? ?1,0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 0, ??? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以当且仅当 x ? 0 时, h ? x ? 取得极小值也就是最小值为 1. 令k ?
cos x sin x ? 2

,其可看作点 A ? sin x,cos x ? 与点 B ? 2,0 连线的斜率,

?

?

所以直线 AB 的方程为: y ? k x ? 2 , 由于点 A 在圆 x ? y ? 1 上,所以直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交或相切,
2 2

?

?

当直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切且切点在第二象限时, 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1 2 ? 1 ? h ? 0 ? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k 故 x ? 0 时, k ? 2 综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

-8-

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-9-


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