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2014年高考真题——2014文科数学(新课标卷Ⅰ)解析版 Word版含答案


2014 年高招全国卷(课标 1)
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? x ?1 ? x ? 3 , N ? x ?2 ? x ? 1 ,则 M A. (?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) B. cos ? ? 0 B. D. (?2,3) C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0 D. 2

?

?

?

?

N ?(



(2)若 tan ? ? 0 ,则 ()sin ? ? 0 (3)设 z ?

1 1 ? i ,则 | z |? ()A. 1? i 2

2 2

C.

3 2
B.

(4)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? ()A. 2 a2 3

6 2

C.

5 D. 1 2

(5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正 确的是() A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

(6)设 D, E , F 分别为 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点,则

EB ? FC ? ()

AD

B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

(7)在函数①y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③y ? cos(2 x ?

?

正周期为 ? 的所有函数为()A.① ② ③ B. ① ③ ④ C. ② ④ D. ① ③ 8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( )A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

) ,④y ? tan(2 x ? ) 中,最小 6 4

?

第 -1- 页

9.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.
2

7 2

D.

15 8

10.已知抛物线 C: y ? x 的焦点为 F , A A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

?x , y ?是 C 上一点, AF ? 5 ,则 x 4x
0 0
0

0

?(



11.设 x ,y 满足约束条件 ?

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7, ? x ? y ? ?1,
(D)5 或-3
3 2

则 a ? () (A)-5(B)3(C)-5 或 3

(12)已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点

x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是()? 2, ?? ? (B)?1, ?? ? (C)? ??, ?2 ? (D)? ??, ?1?
第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率 为________. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? (15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? ? x , x ? 1,
(16) 如图, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点 的 仰 角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
第 -2- 页

(17)(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得 如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?

19(本题满分12分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平 面 BB1C1C .(I)证明: B1C ? AB;
(II)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1,
?

求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高.

第 -3- 页

20.(本小题满分 12 分) 已知点 P (2,2) , 圆C : x ? y ? 8y ? 0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, 线段 AB 的
2 2

中点为 M , O 为坐标原点. (I)求 M 的轨迹方程; (II)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积 21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ?

1? a 2 曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线斜率为 0 x ? bx ? a ? 1? , 2 a (I)求 b;(II)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ? ,求 a 的取值范围。 a ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时 请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB 的延长 线与 DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE . (I)证明: ?D ? ?E ; (II) 设 AD 不是

O 的直径,AD 的中点为 M , 且 MB ? MC ,

证明: ?ABC 为等边三角形. (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ( t 为参数) ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小 值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a 3 ? b 3 的最小值; (II)是否存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

第 -4- 页

参考答案
一.选择题 二.填空题 三.解答题 17【解析】 : (I)方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 ,设数列 ?an ? 的 公差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d= BCBDC AABDA BC 14.A 15.

2 13. 3

? ??,8?

16.150

3 1 a1 ? , ,从而 2 2
????6 分

所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

1 n ?1 2

a n?2 ? an ? 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n ? n ?1 , n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? 2 4 ?2 2
所以 S n ? 2 ?

?

1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 n ?1 ? 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
???12 分

n?4 2n ?1

18【解析】 : (I)

第 -5- 页

????4分 (II)质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .
质量指标值的样本方差为

s 2 ? ? ?20 ? ? 0.06 ? ? ?10 ? ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? ?10 ? ? 0.22 ? ? 20 ? ? 0.08 ? 104 …10 分
2 2 2 2

( Ⅲ )质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计 值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部 产品80%”的规定. …………….12 分

19【解析】 : (I)连结 BC1 ,则 O 为 BC1 与 B1C 的交点,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1

,又 AO ? 平面 BB1C1C ,故 B1C ? AO

B1C ? 平面 ABO ,由于 AB ? 平面
???6 分

ABO ,故 B1C ? AB
(II) 作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC. 因为 ?CBB1 ? 60 , , 所以△ BC ? 1, CBB1 为等边三角形,又
?

BC=1,可得OD=

3 ,由于 AC ? AB1 ,所以 4

OA ?

7 21 1 1 ,得OH= B1C ? ,由 OH·AD=OD·OA,且 AD ? OD 2 ? OA2 ? 4 14 2 2

第 -6- 页

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为

21 21 ,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 7 7
……………………….12 分

20【解析】 : (I)圆C的方程可化为 x ? ? y ? 4 ? ? 16 ,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
2 2

设M(x,y),则 CM ? ( x, y ? 4) , MP ? (2 ? x, 2 ? y ) ,,由题设知 CM MP ? 0 ,故

x ? 2 ? x ? ? ? y ? 4 ?? 2 ? y ? ? 0 ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2
2 2

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是

? x ? 1? ? ? y ? 3?
2

2

? 2 ???? 6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从 而ON⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以 l 的斜率为 ? ,直线 l 的方程为: y ? ? 又 OM ? OP ? 2 2 , O 到 l 的距离为 所以 ?POM 的面积为:

1 3

1 8 x? 3 3

4 10 4 10 , PM ? , 5 5

16 . ?????12 分 5 a 21【解析】 : (I) f ?( x) ? ? (1 ? a ) x ? b ,由题设知 f ?(1) ? 0 ,解得 b ?1. ……………4 分 x 1? a 2 (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,??),由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ? x ?x, 2

f ?( x) ?

a 1? a ? a ? ? (1 ? a ) x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? x x ? 1? a ?

1 a ,则 ? 1 ,故当x?(1,??)时, f '(x) ??0 , f (x)在(1,??)上单调递增. 2 1? a a a 1? a a 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f (1) ? ,即 ?1 ? 1? a 1? a 2 1? a

(i)若 a ?

所以? 2 ?1 ??a ?? 2 ?1;

1 a a a )时, f '(x) <?0 , x?( ? a ? 1 ,则 ? 1 ,故当x?(1, , ?? ) 2 1? a 1? a 1? a a a 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)在(1, )上单调递减,f (x)在 , ?? 单调递增. 1? a 1? a a a a 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f ( ,而 )? 1? a 1? a 1? a
(ii)若

第 -7- 页

a a a2 a a ,所以不和题意. f( ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a
(ⅲ) 若 a ? 1 ,则 f (1) ?

综上,a 的取值范围为: ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? ?1, ?? ? 22【解析】 :.(Ⅰ) 由题设知得 A、B、C、D 四点共圆,所以

?

1? a ?1 ? a a 。 ?1 ? ? 2 2 a ?1

?

? D= ? CBE,由已知得, ? CBE= ? E ,
所以 ? D= ? ?????5 分 知 MN⊥ 所
N

(Ⅱ) 设 BCN 中点为, 连接 MN,则由 MB=

以 O 在 MN 上,又 AD 不是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM ⊥AD, 即 MN⊥AD,所以 AD//BC,故 ? A= ? CBE, 又 ? CBE= ? E,故 ? A= ? 知 ? D= ? E, 所以△ADE 为等边三角形. 23【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为 ?????10 分 ( ? 为参数) , 由(Ⅰ)(1)

? x ? 2 cos ? ? y ? 3sin ?

???5 分

d?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 0 sin 30 5
,其中 ? 为锐角.且 tan ? ?

则 | PA |?

4 . 3

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
????10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

24【解析】 :(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ? ? a b ab

故 a ?b ? 3 a b ? 4 2 , 且 当 a ? b ?
3 3 3 3

2 时 等 号 成 立 , ∴ a 3 ? b3 的 最 小 值 为
3 ,又由(Ⅰ)知 ab ? 2 ,二者 2
?????10 分

4 2.

???5 分(Ⅱ)由 6 ? 2a ? 3b ? 2 6 ab ,得 ab ?

矛盾,所以不存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 成立.
第 -8- 页


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