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两角和与差二倍角公式几种常见题型(超给力)


两角和与差及二倍角几种典型题型
理解并记忆:
两角和与差公式(6 个) :二倍角公式(5 个) :六四二一公式(13 个) :

题型一:特殊角求值
例一:cos15 ? sin15

sin 75 ? sin15
习题: 1 ? cot15 (1) 1 ? tan 75

题型二:根据两角关系求值
例一:设α 、β 均为锐角,cosα =

3 12 ,cos(α +β )= ,求 cosβ 5 13

例二:已知 sin(2? ? ? ) ? 2 sin ? ? 0 求证 tan?=3tan(?+?)

例三:求 tan20°+4sin20°的值

例四: )已知 5 sin 2? ? sin 2 ,求
0

tan( ? ? 10 ) 的值 tan( ? ? 10 )

习题:

sin 70 ? cos150 sin 80 cos 70 ? sin150 sin 80 (3)已知 3 sin ? ? sin ?2? ? ? ? , 求证: tan?? ? ? ? ? 2 tan? 。

(2)求值:

(4)已知 ? ? ? ? 3? , 0 ? ? ? ? , cos( ? ? ? ) ? 3 ,sin( 3? ? ? ) ? 5

4 4 求 sin(? ? ? )的值

4

4

5

4

13

(5)求

2 cos10? ? sin 20? 的值。 cos 20?

题型:含

3 的求值与化简 1 3 例一, ? sin10 cos10

例二,

2 sin 500 ? sin 800 (1 ? 3 tan100 ) 1 ? cos100

例三, (2008 广西竞赛)求值:

3 1 ? ? 64sin 2 20 2 sin 20 cos 20
2

习题: ?2sin 50 ? sin10 (1 ? 3 tan10 ) ? ? 2sin 2 80 . (6)求值:

?

?

(7)求值:

3 tan120 ? 3 sin 120 4 cos2 120 ? 2

?

?

?

?

题型:连乘式求值
例一:求值: cos

?
17

cos

2? 4? 8? cos cos 17 17 17

例二:求值: (1)sin18
o

cos36o

(2) (2000 全国竞赛模拟) cos

2? 4? ? cos 5 5

(3) cos 36

0

习题: (8)求值: sin100 sin 300 sin 500 sin 700
n (9) (2004 湖北竞赛模拟)化简 (1 ? sin ? )(1 ? sin 2 ? )(1 ? sin 4 ? )?(1 ? sin 2 ? ) 3 3 3 3

(10)计算:

3 tan 48? ? 1 ? cos 36?. 2 sec 48?

题型:对偶式求值
1 1 若 sin ? ? sin ? ? ? ,cos ? ? cos ? ? , 求 cos(? ? ? ) 例一: 3 2

例二: 若 cos(? ? ? ) ?

1 1 , cos(? ? ? ) ? , 求 tan ? tan ? 3 5

例三: (2006 全国竞赛模拟)cos

2

20o+cos250o- 3 cos20ocos50o

习题: (11) 已知角?、?、? 足 sin ? ? sin ? ? sin ? ,

cos ? ? cos ? ? cos ? , 求? ? ?的值. 1 (12) 若 sin α cos β ? ,求 cos α sin β的取值范围. 2
(13)求值:sin217o+cos247o+cos47osin17o

题型:含 tan ? ? tan ? 与 tan ? tan ? 的处理策略
例一:求值

tan17 ? tan 43 ? 3 tan17 tan 43

例二:(1) 已知?、? 满足? ? ? ? ,求 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ?的值. 4 (2)利用上题结论 求值 1 ? tan1 1 ? tan 2 1 ? tan 3 ????? 1 ? tan 45 .

?

?

??

??

?

?

?

例三: (1) 求证: tan 3? ? tan 2? ? tan ? ? tan 3? tan 2? tan ? . (2) (2002 全国竞赛训练)利用上题思想,求证:

tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan( n ? 1)? tan n? ?

tan n? ?n. tan ?

例四:已知 tan?和 tan( ? ? ) 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根,证明:p?q+1=0
4

?

习题: (14)求证: 3 tan18? ? tan18? tan12? ? 3 tan12? ? 1.

(15)已知 tan?,tan?是关于 x 的一元二次方程 x2+px+2=0 的两实根, 求
sin( ? ? ?) cos( ? ? ?)

的值。 且???= ,求 x 的值。
? 6

(16)若 tan?=3x,tan?=3?x,

习题综合题:
**(17)已知 sinα+sinβ= 3 (cosβ-cosα),α,β∈(0, **(18)求值:sin(θ +75°)+cos(θ +45°)- 3 cos(θ +15°) **(19)已知 tan(α+β)= **(20)已知 cotβ= 5 ,

? ),求 sin3α+sin3β的值 2

2 ? 1 ? ? ,tan(β- ) ? ,求 sin(α+ )·sin( -α)的值 5 4 4 4 4

sin ? =sin(α+β),求 cot(α+β)的值. sin ?

***(21)已知△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,且

1 1 2 ? ?? , cos A cosC cos B

求 cos

A?C 的值. 2

***(22)是否存在锐角α 和β ,使得(1)α +2β =

2 ? π ;(2)tan tanβ =2- 3 同时成立? 3 2

若存在,则求出α 和β 的值;若不存在,说明理由.


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