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2009年全国高考理科数学试题及答案-宁夏卷


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数学(理工农医类)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1)已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N= (A) {x|-5<x<5} (C) {x|-5<x≤5} (B) {x|-3<x<5} (D) {x|-3<x≤5}

【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B (2)已知复数 z ? 1 ? 2i ,那么

1 = z
(B)

(A )

5 2 5 ? i 5 5

5 2 5 ? i 5 5

(C)

1 2 ? i 5 5

(D)

1 2 ? i 5 5

【解析】

1 1 1 ? 2i 1 ? 2i 1 2 ? ? ? = ? i z 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 1 ? 22 5 5

【答案】D (3)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ?
0

(A) 3

(B) 2 3

(C) 4

(D)12

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 【答案】B (4)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

(B) ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等 于半径 2即可. 【答案】B (5)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生 都有,则不同的组队方案共有
1

(A)70 种

(B) 80 种

(C) 100 种

(D)140 种

【解析】直接法:一男两女,有 C51C42=5×6=30 种,两男一女,有 C52C41=10×4=40 种,共计 70 种 间接法:任意选取 C93=84 种,其中都是男医生有 C53=10 种,都是女医生有 C41=4 种,于是符合条件的有 84-10-4=70 种. 【答案】A (6)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S =3 ,则 9 = S3 S6
8 3
(D)3

(A) 2

(B)

7 3

(C)

S6 (1 ? q3 ) S3 【解析】设公比为 q ,则 =1+q3=3 ? q3=2 ? S3 S3
于是 【答案】B (7)曲线 y=

S9 1 ? q3 ? q6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

x 在点(1,-1)处的切线方程为 x?2
(B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1

(A)y=x-2 【解析】y ’= 【答案】D

x?2? x ?2 ? ,当 x=1 时切线斜率为 k=-2 2 ( x ? 2) ( x ? 2) 2

(8)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3

2 (A) ? 3

2 (B) 3

1 (C)- 2

1 (D) 2

2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( 3 ),注意到 3 与2关于12对称 2π π 2 所以 f( 3 )=-f(2)=

3 1 3

【答案】B (9)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是

2

(A) (

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|< 【答案】A (10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 , a2 , 。 。 。 aN ,其中收入记为 正数,支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净 盈利 V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个 选项中的 (A)A>0,V=S-T (B) (C) A<0,V=S-T A>0, V=S+T

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

(D)A<0, V=S+T 【解析】月总收入为 S,因此 A>0 时归入 S,判断框内填 A>0 支出 T 为负数,因此月盈利 V=S+T 【答案】C (11)正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为 (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2

【解析】由于 G 是 PB 的中点,故 P-GAC 的体积等于 B-GAC 的体积 在底面正六边形 ABCDER 中 BH=ABtan30°= 而 BD= 3 AB 故 DH=2BH 于是 VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC 【答案】C (12)若 x1 满足 2x+ 2 =5, x2 满足 2x+2 log2 (x-1)=5, x1 + x2 =
x

E F H A

D C B

3 AB 3

3

(A)

5 2

(B)3
1

(C)

7 2

(D)4 ① ②

【解析】由题意 2 x1

? 2x ? 5

2 x2 ? 2log 2 ( x2 ? 1) ? 5
所以 2
x1

? 5 ? 2 x1 , x1 ? log 2 (5 ? 2 x1 )

即 2 x1 ? 2log 2 (5 ? 2 x1 ) 令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1) ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7-2x2 【答案】C (13)某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为 1:2:1, 用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用 寿命的平均值分别为 980h,1020h,1032h,则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均 值为 【解析】 x ? h.
980 ?1+1020 ? 2+1032 ?1 =1013 4

【答案】1013 (14)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 【答案】
1 3

(15)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

4

则该几何体的体积为

m3

【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3,
1 体积等于 ×2×4×3=4 6

【答案】4 ( 16 )以知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 4 12


PF ? PA 的最小值为
【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5

两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 (17) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ,30 , 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角 均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点 间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,
0 0 0

2 ? 1.414, 6 ? 2.449)

5

(17)解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? 3 2? 6 , 即 AB= sin 15? ? 20

……5 分

AB

AC

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。

……12 分

(18) (本小题满分 12 分) 如图,已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点。 (I)若平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。

(18) (I)解法一: 取 CD 的中点 G,连接 MG,NG。 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2, 则 MG⊥CD,MG=2,NG=
2

.

因为平面 ABCD⊥平面 DCED, 所以 MG⊥平面 DCEF, 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= DCEF 所成角的正弦值
6

,所以 sin∠MNG=

6 3

为 MN 与平面

……6 分
6

解法二: 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2,以 D 为坐标原点,分别以射线 DC,DF,DA 为 x,y,z 轴 正半轴建立空间直角坐标系如图.

???? ? 则 M(1,0,2),N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2).
又 DA =(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量,

??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? MN ? DA 6 ? ??? ? ?? 可得 cos( MN , DA) ? ???? 3 | MN || DA |
所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
MN , DA ? 6 3

cos

·

……6 分 ……8 分

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF。 又 AB//CD,所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB//EN。 又 AB//CD//EF, 所以 EN//EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线.

……12 分

(19) (本小题满分 12 分)

1 某人向一目射击 4 次,每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、 3
三部分面积之比为 1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。 (Ⅰ)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (Ⅱ)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” , 求 P(A) (19)解: (Ⅰ)依题意 X 的分列为 0 1 2 3 4

7

P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

………………6 分

(Ⅱ)设 A1 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,

A ? A1 B1 ? A1 B1 ? A1 B1 ? A2 B2 ,
所求的概率为

P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P (A1 B1) ? P( A2 B2 ) P( A1 B1 ) ? P( A1 )P(B1 ) ? P (A1 )P(B1 ) ? P( A2 ) P( B2 )
0.1 ? 0 .? 9 0? .9 ? 0 . 1 ? 0 . 1? 0 . ? 1 0. ?3 0 . 3 0 . 2 ……… 8 12 分

(20) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 2

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3
3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2

8

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有 (21)解:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) f ( x) ? x ? a ? ? ? 2分 x x x
'

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 x

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加。
' (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ;

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。

9

(iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

由 于 1<a<5, 故 g ?( x) ? 0 , 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 x1 ? x2 ? 0 时 有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x 2) ?x 1 ?x 2 ? 0 ,故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x2 x1 ? x2

时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) · · · · · · · ·12 分 ? ? ?1· x1 ? x2 x2 ? x1

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 已知 ? ABC 延长 BD 至 E。 (1) 求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2) 若 ? BAC=30, ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求 中,AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 ? , AC 上的点(不与点 A,C 重合)

? ABC 外接圆的面积。
(22)解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC 又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,

10

对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE. (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ACB=75 , ∴∠OCH=60 . 设圆半径为 r,则 r+
3 r=2+ 3 ,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 ? 。 2
0 0 0

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极 点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? 为 C 与 x 轴,y 轴的交点。 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 (23)解:

?
3

)=1,M,N 分别

? (Ⅰ)由 ? cos( ? ? ) ? 1得 3

? ( cos? ?

1 2

3 sin? ) ? 1 2

从而 C 的直角坐标方程为
1 3 x? y ?1 2 2 即 x ? 3y ? 2

? ? 0时,? ? 2,所以M (2,0) ?? ?
2 时,? ? 2 3 2 3 ? ,所以N ( , ) 3 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 (0,
2 3 ) 3
(1. 3 2 3 ? ), 则P点的极坐标为( , ), 3 3 6

所以 P 点的直角坐标为

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? (??,??) ?

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
11

设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | 。 (1)若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。 (24)解: (Ⅰ)当 a=-1 时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3 不等式组 ?

?x ? 1 3 的解集为[ ,+∞), 2 ? f ( x) ? 3
3 2 3 2
??5 分

综上得, f ( x) ? 3 的解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??) (Ⅱ)若 a ? 1, f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件

??2 x ? a ? 1, x ? a ? 若 a ? 1, f ( x) ? ?1 ? a, a ? x ? 1, , f ( x ) 的最小值为 1 ? a ?2 x ? (a ? 1), x ? 1 ? ??2 x ? a ? 1, x ? 1 ? 若 a ? 1, f ( x) ? ?1 ? 1,1 ? x ? a, , f ( x ) 的最小值为 a ? 1 ?2 x ? (a ? 1), x ? a ?
, f( x )? 2 所 以 ?x ? R 的 充 要 条 件 是 | a -1| ≥ 2 , 从 而 a 的 取 值 范 围 为 (??, ?1] ? [3, ??)

12


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