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高考数学答题模板:第6讲 圆锥曲线中的定点、定值问题


第6讲 圆锥曲线中的定点、定值问题 x2 y2 例 7 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为 A,且|AF|=1. a b (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问:是否存 在一个定点 M(t,0),使得 MP · MQ =0.若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. ???? ???? ? 审题破题 (1)利用待定系数法求 C 的方程; (2)探求定点可以先根据特殊情况找出点, 再对一般 情况进行证明. 解:(1)由 c=1,a-c=1,得 a=2,∴b= 3, x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 ?y=kx+m, ? (2)由? 2 2 ?3x +4y =12, ? 消去 y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ∴Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即 m2=3+4k2. 4km 4k 设 P(xp,yp),则 xp=- =- , m 3+4k2 4k 3 ? 4k2 3 yp=kxp+m=- +m= ,即 P? ?- m ,m?. m m ∵M(t,0),Q(4,4k+m), ???? ???? ? 4k 3 - -t, ?, MQ =(4-t,4k+m), ∴ MP =? m? ? m ???? ???? ? 4k ? 3 4k ∴ MP ·MQ = ? (4 - t) + · (4k + m) = t2 - 4t + 3 + (t - 1) = 0 恒 成 立 , 故 ?- m -t? · m m ?t=1, ? ?2 即 t=1. ? ?t -4t+3=0, ∴存在点 M(1,0)符合题意. 构建答题模板 第一步: 引进参数.从目标对应的关系式出发, 引进相关参数.一般地, 引进的参数是直线的夹角、 直线的斜率或直线的截距等; 第二步:列出关系式.根据题设条件,表达出对应的动态直线或曲线方程; 第三步:探求直线过定点.若是动态的直线方程,将动态的直线方程转化成 y-y0=k?x-x0?的形 式,则 k∈R 时直线恒过定点?x0,y0?;若是动态的曲线方程,将动态的曲线方程转化成 f?x,y? +λg?x,y?=0 的形式,则 λ∈R 时曲线恒过的定点即是 f?x,y?=0 与 g?x,y?=0 的交点; 第四步:下结论; 第五步:回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时,引进参数的目的是以这个参数 为中介,通过证明目标关系式与参数无关,达到解决问题的目的. y2 x2 对点训练 7 已知直线 l:y=x+ 6,圆 O:x2+y2=5,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e a b = 3 ,直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等. 3 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定 值. 解:(1)设椭圆半焦距为 c, 圆心 O 到 l 的距离 d= 6 = 3, 1+1 则 l 被圆 O 截得的弦长为 2 2,所以 b= 2. ? ?c= 3, 由题意得?a 3 ? ?a2=b2+c2, 又 b= 2,∴a2=3,b2=2. y2 x2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 3 2 (2)证明:设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 y-y0=k(x-x0), 整理得 y=kx


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