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第40讲 含参数不等式的解法


2013 年高考第一轮复习资—理科数学

第 40 讲
【考点解读】

含参数的不等式

解含参数的不等式的基本途径——分类讨论思想的应用;(应注意寻找讨论点,以讨论点划分区 间进行讨论求解.能避免讨论的应设法避免讨论)。

【知识扫描】
含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去,在解不等式时随时可见含参数的不等式.而这类含参 数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点.解含参数的不等式往往需要分类讨论求解,寻找讨 论点(常见的如零点,等值点等),正确划分区间,是分类讨论解决这类问题的关键.在分类讨论过程 中要做到不重,不漏.

【考计点拔】
牛刀小试: 1.设 0<a<1,给出下面四个不等式: ① log a ③(
( a 2 ?1)

< log a

( a 3 ?1)

② a >(
2

a 2

a a ) 2

a a a ) >a 2

④a > a a

a

其中不成立的有( A.0 个 B.1 个

) C.2 个

D.3 个 )

【答案】B 2 2.已知方程 mx -2(m+2)x+(m+5)=0 有两个不同的正根,则 m 的取值范围是( A.m<4 B.0<m<4 C.m<-5 或 0<m<4 D.m<-2 或 0<m<4 【答案】B 3.关于 x 的不等式(k -2k+ A.{x|x<
2

1 } 2

5 x 2 5 1-x ) <(k -2k+ ) 的解集为( 2 2 1 B.{x|x> } 2

)

C.{x|x>2}

D.{x|x<2} )

【答案】A 2 2 4.若 ax +bx+c>0 的解集为{x|x<-2 或 x>4} ,那么对于函数 f(x)=ax +bx+c 会有( A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5) 【答案】D

?log 2 x, x ? 0, ? ?log 1 (? x), x ? 0 ? 2 5.若函数 f(x)= ? ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是
(A)(-1,0)∪(0,1) (C)(-1,0)∪(1,+∞) 【答案】C (B)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)

1

2013 年高考第一轮复习资—理科数学 【解析】当 a ? 0 时,由 f(a)>f(-a)得:

log 2 a ? log 1 a
2

,即

log 2 a ? log 2

1 1 a? a ,即 a,

解得 a ? 1 ;当 a ? 0 时,由 f(a)>f(-a)得:

log 1 (?a) ?
2

1 log 2 ( ? ) ? log2 (?a) ,即 log2 (?a) , a

1 ? 即 a ?a ,解得 ?1 ? a ? 0 ,故选 C。 ?

【典例解析】
考点一:根据不等式的解集求变量的范围 例 1. 已知 A={x| 2ax2+(2-ab)x-b>0},B={x| x<-2 或 x>3},其中 b>0,若 A ? B,求 a、b 的取 值范围. 解:a≥ 且 0<b≤6 【变式训练 1】:不等式 解:a=
1 2 1 2

ax ? 1 的解集是{x| x<1 或 x>2},则 a= x ?1



考点二:函数与不等式 例 2. 已知关于 x 的不等式 实数 a 的取值范围. 解: (1)M={x|x<-2 或 (2)a∈[1, )∪(9,25 ] 【变式训练 2】:已知函数 f (x)= =4.(1)求函数 f (x)的解析式; (2)设 k>1,解关于 x 的不等式 f (x)<
( k ? 1) x ? k . 2? x
5 3

ax ? 5 x2 ? a

<0 的解集为 M,(1) 当 a=4 时,求集合 M;(2) 若 3∈M 且 5 ? M,求

5 <x<2} 4

x2 (a、b 为常数),且方程 f (x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2 ax ? b

? a ? 3a ? b ? ?9 ? x2 解:(1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程 -x+12=0 得: ? ax ? b ? 16 ? ?8 ? 4a ? b ?
解得 a ? ?1, b ? 2 所以 f(x)=
x2 (x≠2) 2? x

2

2013 年高考第一轮复习资—理科数学 (2)不等式即为 可代为
x2 (k ? 1) x ? k ? 2? x 2? x

x 2 ? (k ? 1) x ? k ?0 2? x

即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0 ①当 1<k<2 时,解集为 x∈(1,k)∪(2,+ ? ) ②当 k=2 时,不等式为(x-2)2(x-1)>0,解集为 x∈(1,2)∪(2,+ ? ) ③当 k>2 时,解集为 x∈(1,2)∪(k,+ ? ) 考点三:分类讨论 例 3. 解关于 x 的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解:a=0 时,x≤-1;a>0 时,x≤-1 或 x≥ , -2<a<0 时, ≤x≤-1;a=-2 时,x=-1;a<-2 时,-1≤x≤ . 【规律小结】解含参数的不等式的基本途径是分类讨论,应注意寻找讨论点,以讨论点划分区间进行讨 论求解.能避免讨论的应设法避免讨论. 【变式训练 3】:解关于 x 的不等式
1 2
2 a 2 a 2 a

x 2 ? 2ax ? 24a 2 ? 0. 2a ? 1

解:(1)当 2a+1>0,即 a>- 时,原不等式为(x+4a)(x-6a)>0 ①当 a>0 时,x∈(- ? ,-4a)∪(6a,+ ? ) ②当- <a<0 时,x∈ ③当 a=0 时,x∈(- ? ,0)∪(0,+ ? ) (2)当 2a+1<0,即 a<- 时,原不等式为(x+4a)(x-6a) 综合以上,原不等式的解集为: 当 a≥0 时,解集为(- ? ,-4a)∪(6a,+ ? ) 当- <a<0 时,解集为(- ? ,6a)∪(-4a,+ ? ) 当 a<- 时,解集为(6a,-4a)
1 2 1 2 1 2 1 2

∴x∈(6a,-4a)

3


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