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二次函数图像和性质三


?回顾与思考
函数 图像 开口方向 对 称 轴 增减性 顶点 坐标 Y的最值 在对称 轴左侧 在对称 轴右侧

y=ax2

a>0 向上 Y轴 (0,0)最小值是0 Y随x的增 Y随x的增 大而减小 大而增大 a<0 向下 Y轴 (0,0) 最大值是0 Y随x的增 大而增大
Y随x的增 a>0 向上 Y轴 (0,c) 最小值是C 大而减小 向下 Y轴 (0,c) 最大值是C Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小 Y随x的增 大而增大 Y 随 x的 增大而减 小

y=ax2+c

a<0

在同一直角坐标系内画出下列函数的图象.

y=-x2

y=-(x+1)2 x=-1
y
1

y=-(x-1)2

x=1
1 2 3 4 5x

-4

-3

-2

-1

o
-1 -2

y=-(x-1)2

y=-(x+1)2

-3

-4

y=-x2

-5

抛物线

2 y=-(x+1) 是由抛物线

2 怎样移动得到 y=-x

的?抛物线 y=-(x-1)2 呢? y
1 -4 -3 -2 -1

o
-1 -2 -3

1

2

3

4

5x

y=-(x-1)2

y=-(x+1)2

-4 -5

y=-x2

图象平移规律: 函数y=ax2 (a≠0)和函数 y=a(x+h)2(a≠0)的图

象形状

,只是位置不同;当h>0时,函数 相同 y=a(x+h)2的图象可由y=ax2的图象向 平移 . 左 h 个单位得到,当 h<0时,函数y=a(x+h)2的图象可
由y=ax2的图象向 平移 右 个单位得到 |h| .

平移规律:左加右减.

二次函数y=a(x+h)2(a≠0) 的性质
根据图形填表: 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 y=a(x+h)2 (a>0) (-h,0) 直线x=-h 在x轴的上方(除顶点外) 向上 y=a(x+h)2 (a<0) (-h,0) 直线x=-h 在x轴的下方( 除顶点外) 向下

开口方向
增减性 最值 开口大小

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

当x=-h时,y最小值=0.
a 越大,开口越小, a

当x=-h时,y最大值=0. 越小,开口越大.

函数

顶点 开口方向 对称轴 Y的最值 在对称 坐标
a>0 向上 a<0 向下 a>0 向上

增减性
在对称 轴右侧

轴左侧

y=ax2

Y 随 x的 Y 随 x 的增 Y轴 (0,0) 最小值是0 大而减小 增大而增 大 Y 随 x 的增 Y 随x的增 Y轴 (0,0) 最大值是0 大而增大 大而减小

y=ax2+c

Y轴 (0,c) 最小值是C Y随x的增Y随x的增 Y轴

a<0 向下

大而减小 大而增大 (0,c) 最大值是C Y随x的增Y随x的增 大而增大 大而减小
Y随x的增 Y随x的增

(-h,0) a>0 向上 直线x=-h 最小值是0 大而减小 大而增大 2 y=a(x+h) 最大值是0 Y随x的增 Y随x的增 (-h,0) a<0 向下 直线x=-h
大而增大 大而减小

(1)二次函数y=2(x+5)2的图像是 是 ,当x= 时,y有最 值,是

.

,开口

,对称轴

(2)二次函数y=-3(x-4)2的图像是由抛物线y=-3x2向 平移 个单位长度得到的;开口 ,对称轴是 ,当x= ,y有最 值, 是 . (3)将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位长度后得 到函数 的图像,其对称轴是 ,顶点是 , 当x 时,y随x的增大而增大;当x________ 时,y随 x的增大而减小.

(4)将二次函数y= -3(x-2)2的图像向左平移3个单位后得 到函数 的图像,其顶点坐标是 ,对称轴是 , 当x= 时,y有最 值,是 .

(5)将函数y=3(x-4)2的图象沿x轴翻折180°后得到的函数解 析式是 ;将函数y=3(x-4)2的图象沿y轴翻折180° 后得到的函数解析式是 . (6)把抛物线y=a(x-4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线 y=- 3(x+h)2的图象,则a= ,h= .

(7)将抛物线y=2x2-3先向上平移3单位长度,就得到函数 _______ 的图象,再向 平移 个单位得到函数y= 2(x-3)2 的图象. (8)函数y=(x+6)2的图象是由函数 的图象向左平移5个单 位得到的,其图象开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而增大,当x= 时,y有最 值是 .

函数

顶点 开口方向 对称轴 Y的最值 在对称 坐标
轴左侧

增减性
在对称 轴右侧

y=ax2
(a≠0)

a>0 向上
a<0 向下 a>0 向上

Y 随 x的 Y 随 x 的增 Y轴 (0,0) 最小值是0 大而减小 增大而增 大 Y 随 x 的增 Y 随x的增 Y轴 (0,0) 最大值是0 大而增大 大而减小

y=ax2+c
(a≠0)

Y轴 (0,c) 最小值是C Y随x的增Y随x的增 Y轴

a<0 向下

大而减小 大而增大 (0,c) 最大值是C Y随x的增Y随x的增 大而增大 大而减小

y=a(x+h)2
(a≠0)

Y随x的增 Y随x的增 直线 x=-h ( -h,0 ) a>0 向上 最小值是0 大而减小 大而增大

最大值是0 Y随x的增 Y随x的增 (-h,0) a<0 向下 直线x=-h 大而减小
大而增大


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