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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2章 第2节 函数的单调性与最值课件 理 苏教版


固 基 础 · 自 主 落 实

第二节

函数的单调性与最值

启 智 慧 · 高 考 研 析

提 知 能 · 典 例 探 究

课 后 限 时 自 测

内容 A 考纲传真 函数的 基本性 质

要求 B √ C

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I?A.如果对于区间 I 内的任意两 个值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) 那 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,

么就说函数 f(x)在区间 I 上是单 那么就说函数 f(x)在区间 I 上是单 调增函数 调减函数

(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 I 上是单调增(减)函数 , 则称区间 I 为 y=f(x) 的单调增(减)区间. (3)复合函数的单调性 函数 y=f(u),u=g(x),复合构成 y=f(g(x)),若 y=f(u),u= g(x)具有单调性,则 y=f(g(x))也具有单调性,规律如下表: y=f(u) u=g(x) 增 增 减 减 增 减 增 减

y=f(g(x)) 增 减 减 增

2.函数的最值 前提 条件 设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在 x0∈A 对任意的 x∈A,都 有 f(x)≤f(x0) . 对于任意的 x∈A,都 有 f(x)≥f(x0) .

结论

f(x0)是 y=f(x)的最大值, 记 f(x0)是 y=f(x)的 最小值,记作 作 ymax=f(x0) ymin=f(x0)

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.( )

(2)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区 间是[1,+∞).( ) )

1 (3)函数 y=x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( (4)函数 f(x)=log2(3x+1)的最小值为 0.( )

[ 解析]

(1)正确.(2)[1,+∞)可能是单调递增区间的子集.故

1 (2)错误.(3)单调区间一般不能用∪联结,y= 在(-∞,0)上单调 x 递减,在(0,+∞)也单调递减,但在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上 不是单调函数,故(3)错误.(4)3x+1>1,若最小值为 0 必须有 3x+ 1=1.故(4)错误.
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编题)已知函数 f(x)=-2x2-ax,若对于区间[1,2] f?p?-f?q? 内任意两个不等的实数 p,q,不等式 >0 恒成立,则实数 p-q a 的取值范围是________.
[解析] 由题意 f(x)=-2x2-ax 在[1,2]上是增函数, a ∴-4≥2,∴a≤-8.
[答案] (-∞,-8]

3.函数 y=|x|的单调递增区间是________.
? ?x,x≥0, y=|x|=? ? ?-x,x<0,

[解析]

故单调递增区间是[0,+∞).

[答案]

[0,+∞)

4. 对于函数 f(x), x∈D, 若 x1 , x2∈D 且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 则函数在区间 D 上是单调________函数.
[解析] 由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知(x1-x2)与[f(x1)-f(x2)]

符号相同,即若 x1<x2 则 f(x1)<f(x2),若 x1>x2 则 f(x1)>f(x2).故函数 f(x)为单调递增函数.
[答案] 递增

5. 若函数 f(x)在 R 上是减函数, 则 f(|x|)<f(1)的解集是________.

[解析] ∵f(x)在 R 上是减函数,且 f(|x|)<f(1), ∴|x|>1,因此 x>1 或 x<-1.
[答案] {x|x>1 或 x<-1}

考向 1

函数单调性的判断

【典例 1】 (1)(2014· 无锡模拟)函数 f(x)=log2(x2-1)的单调递 减区间为________. ax (2)试讨论函数 f(x)= 2 ,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0). x -1

[ 解析]

(1)由 x2-1>0 得 x>1 或 x<-1,

∴函数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 令 t=x2-1,因为 y=log2t 在 t∈(0,+∞)上为增函数, t=x2-1 在 x∈(-∞,-1)上是减函数, 所以函数 f(x)递减区间为(-∞,-1).
[答案] (-∞,-1)

(2)法一:设-1<x1<x2<1, a?x2-x1??x1x2+1? ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - = . 2 2 x1- 1 x2 - 1 ? x - 1 ?? x - 1 ? 2 1 2 ∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x2-x1>0,x2 1-1<0,x2-1<0,x1x2+1>0.

?x2-x1??x1x2+1? ∴ 2 >0. ?x1-1??x2 - 1 ? 2 因此,当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.

a?x2-1?-2ax2 -a?x2+1? 法二:f′(x)= = 2 2 2 2 . ?x -1? ?x -1? 当 a>0 时,f′(x)<0;当 a<0 时,f′(x)>0. ∴当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上为减函数. 当 a<0 时,f(x)在(-1,1)上为增函数.

【规律方法】 1.求解第(1)题时,应先求定义域,在定义域内求单调区间. 2.函数单调性的判定方法有:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用 已知函数的单调性;(4)导数法. 3.函数 y=f(g(x))的单调性应根据外层函数 y=f(t)和内层函数 t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.

【变式训练 1】 (1)(2014· 苏州调研)若函数 f(x)=|2x+a|的单 调递增区间是[3,+∞),求 a 的值. a (2)已知函数 f(x)=2x+x的定义域为(0,2](a≥8 的常数), 试判断 f(x)在定义域上的单调性. ? a ?2x+a,x≥-2, [解] (1)f(x)=|2x+a|=? ?-2x-a,x<-a. 2 ?
所以
? a ? f(x)的单调增区间是?-2,+∞?, ? ?

a 从而-2=3,∴a=-6.

(2)任取 x1,x2∈(0,2],且 x1<x2, 则
?1 1? f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+a?x -x ? ? 1 2?

?x1-x2??2x1x2-a? = . x1 x2 ∵0<x1<x2≤2,且 a≥8. ∴x1-x2<0,2x1x2<8, 则 2x1x2-a<0, 则 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), ∴当 a≥8 时,f(x)在(0,2]上是减函数.

考向 2 【典例 2】

利用函数的单调性求最值

求下列函数的最小值
? ?

x2-2x+2? 1? ?0<x≤ ?; (1)f(x)= 4 x (2)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1].

[解]

x2-2x+2 2 1 (1)f(x)= =x+x -2,任取 0<x1<x2≤4, x

? ? ? ? 2 2 f(x1)-f(x2)=?x1+x -2?-?x2+x -2? ? ? ? ? 1 2 ?2 x1x2-2 2? =(x1-x2)+?x -x ?=(x1-x2)· x x , ? 1 2? 1 2

因为 x1-x2<0, x1x2>0, x1x2-2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), 所以函数
? 1? ? f(x)在 0,4?上为单调递减函数.所以 ? ? ?1? 25 f(x)≥f?4?= 4 . ? ?

x2-2x+2? 1? 25 ? ? 0<x≤4 的最小值为 . 即函数 f(x)= x 4 ? ?

(2)函数 f(x)的图象的对称轴为 x=a,且开口向上. 当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上单调递减, 故 f(x)min=f(1)=3-2a. 当-1≤a≤1 时,f(x)在[-1,1]上先减后增, 故 f(x)min=f(a)=2-a2 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上单调递增, 故 f(x)min=f(-1)=3+2a ?3-2a,?a>1?, ? 2 综上可知,f(x)min=?2-a ,?-1≤a≤1?, ?3+2a,?a<-1?. ?

【规律方法】 求函数最值的常用方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点, 求出最值; (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备 “一正二定三 相等”的条件后用基本不等式求出最值;

(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结 合端点值,求出最值; (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数, 再用相应的方法求最值.

【变式训练 2】 已知函数 f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在[1,3] 上有最大值 5 和最小值 2,求 a 和 b 的值.
[解 ] f(x)=ax2-2ax+3-b=a(x-1)2-a-b+3(a>0)函数图
? ?f?3?=5, f(x)的单调递增区间.所以? ? ?f?1?=2,

象的对称轴为 x=1,[1,3]是

3 ? ? ?a=4, ?3a-b+3=5, 即? , 解得? ? ?-a-b+3=2. ?b=1. 4 ? 3 1 所以 a 的值为4,b 的值为4.

考向 3 命题视角

函数单调性的综合应用(高频考点)

函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和

热点内容.归纳起来常见的命题角度有: (1)求函数的值域或最值; (2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式.

【典例 3】 (2014· 镇江调研)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中 常数 a,b 满足 ab>0. (1)判断函数 f(x)的单调性; (2)解不等式 f(3x-2)>f(2x+1).
【思路点拨】 (1)讨论 a、b 的符号,利用指数函数的性质判 定 f(x)的单调性;(2)利用第(1)问的结论,脱去对应法则“f”,转化 为关于 x 的不等式求解.

[解] (1)当 ab>0 时,a、b 同号. ①若 a>0,b>0,则 a· 2x 与 b· 3x 均单调递增; ∴f(x)=a· 2x+b· 3x 在 R 上是增函数. ②若 a<0,b<0 时,则 a· 2x 与 b· 3x 是减函数, ∴f(x)=a· 2x+b· 3x 在 R 上是减函数.

(2)由 f(3x-2)>f(2x+1),得 若 a>0,b>0.f(x)在 R 上是增函数, ∴3x-2>2x+1,则 x>3, 若 a<0,b<0,由第(1)问,得 3x-2<2x+1,∴x<3. 综上知,当 a>0,b>0,原不等式的解集为(3,+∞); 当 a<0,b<0 时,原不等式的解集为(-∞,3).

【通关锦囊】 1.函数 f(x)的单调性取决于系数 a、b 的符号,因此根据题设 条件,分类考查. 2 . (1) 熟练掌握基本初等函数的单调性是求解这类问题的关 键.(2)重视化归思想与分类讨论数学思想的应用.

【变式训练 3】

已知 f(x)的定义域是(0,+∞),f(xy)=f(x)

+f(y)且当 x>1 时,f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)求证 f(x)在定义域上是单调增函数;
? 1 ? ?1? ? (3)如果 f?3?=-1, 求满足不等式-f? ≥2 的 x 的取值范围. ? ? x - 2 ? ? ? ?

[解] (1)令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),即 f(1)=0.
?1? 1 (2)证明:令 y=x ,得 f(1)=f(x)+f?x ?=0, ? ?

所以

?1? f?x ?=-f(x) ? ? ?1? f(x2)-f(x1)=f(x2)+f?x ?= ? 1?

任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则
?x2? f?x ?. ? 1? ?x2? x2 因为 0<x1<x2,所以x >1,故 f?x ?>0. ? 1? 1

从而 f(x2)>f(x1),所以 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.

(3)因为

?1? ?1? ? ? ? f?3?=-1,f? ?3?=-f(3),所以 ? ? ? ?

f(3)=1,

在 f(xy)=f(x)+f(y)中,令 x=y=3, 得 f(9)=f(3)+f(3)=2.
? 1 ? ? 又-f? ?x-2?=f(x-2),故所给不等式可化为 ? ? ? ?x-2>0, 以? ? ?x-2≥9,

f(x-2)≥f(9),所

即 x≥11.

所以 x 的取值范围是[11,+∞).

掌握 2 个结论

1.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小

值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. 2.开区间上 的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

勿忘 3 点注意 义域优先.

1.单调区间是定义域的子区间,求单调区间定

2.函数的单调区间要分开写,两个(或两个以上)同一

1 类单调区间之间用“, ”隔开, 不能用“∪”连接, 如函数 y=x 单 调减区间为:(-∞,0),(0,+∞). 3.两函数 f(x),g(x)在 x∈(a, 1 b)上都是增(减)函数, 则 f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但 f(x)· g(x), f ? x? 等的单调性与其正负有关,是不能一概而论来确定的.

熟记 4 种方法 函数单调性的判断 1.定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. 2.利用函

数的性质:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不 同时为减函数. 3.导数法:利用导数研究函数的单调性. 4.图

象法:利用图象研究函数的单调性.

易错辨析之 1 已知函数

分段函数单调性不注意端点值的比较
2 ? ?2x -8ax+3,x<1, f ( x) = ? ? ?logax,x≥1

在 R 上单调递

减,求实数 a 的取值范围.

【错解】 当 x<1 时,要使函数 f(x)单调递减,则有 2a≥1, 1 即 a≥2. 当 x≥1 时,要使函数 f(x)单调递减,则有 0<a<1. 综上知,f(x)在 R 上是减函数,a
?1 ? 的范围是?2,+∞?. ? ?

【正解】 1 即 a≥2.

当 x<1 时,要使函数 f(x)单调递减,则有 2a≥1,

当 x≥1 时,要使函数 f(x)单调递减,则有 0<a<1, 要使 f(x)在 R 上单调递减, 则有 2×12-8a+3≥loga1, 解之得 5 a≤8. 1 5 综上知,f(x)在 R 上是减函数,应有2≤a≤8.

【智慧心语】 错因分析:由于函数在 R 上单调递减,所以当 x<1 时的函数 值应大于 x≥1 时的函数值.错解中只保证了 x<1 和 x≥1 时,分别 是减函数,但没能保证在 R 上单调递减.

防范措施:对于分段函数的单调性,有两种基本的判断方法: 一保证各段上同增(减)时, 要注意上、 下段间端点值间的大小关系; 二是画出这个分段函数的图象, 结合函数图象、 性质进行直观的判 断. 研究函数问题离不开函数图象, 函数图象反映了函数的所有性 质, 在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象, 学会从函数图 象上去分析问题、寻找解决问题的方法.

【类题通关】

x a ? ? ,x>1 f(x)=?? 是 R 上的单调递增 a? ?4- ?x+2 x≤1 ? 2? ??

函数,求实数 a 的取值范围.

?a>1, ? ?4-a>0, [解] f(x)在 R 上单调递增,则有? 2 ?? a? ??4- ?+2≤a, ?? 2? 解得 4≤a<8, 所以 a 的取值范围是[4,8).



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