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第一篇 集合与常用逻辑用语第1讲 集合的概念与运算


第 1 讲 集合的概念与运算 【高考会这样考】1.考查集合中元素的互异性.2.求几个集合的交、并、补集. 3.通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力. 【复习指导】1.主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算,立足基础,抓好 双基.2.练习题的难度多数控制在低中档即可,适当增加一些情境新颖的实际应用问题或 新定义题目,但数量不宜过多. 基础梳理 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. (4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集. 2.集合间的基本关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A B(或 B A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A,? B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 3.集合的基本运算 (1)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x?A}. (4)集合的运算性质 ①A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B; ③A∪A=A,A∪?=A; 一个性质 要注意应用 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性. 两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数 ②A∩A=A,A∩?=?; (2)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}.

④A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A.

轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. 三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注 对空集的讨论,防止漏解. (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形). (3)在解决含参数的集合问题时, 要检验集合中元素的互异性, 否则很可能会因为不满足“互 异性”而导致结论错误.

1

双基自测 1.设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于 .

解析 B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},∴结合数轴得:A∪B={x|x≥2}. 2.(2011· 浙江)若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q??RP 解析 ∵?RP={x|x≥1}∴?RP?Q. 答案 C 3.(2011· 福建)i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( 2 A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D. ∈S i ). ).

解析 ∵i2=-1,∴-1∈S,故选 B. .

4. (2011· 北京)已知集合 P={x|x2≤1}, M={a}. 若 P∪M=P, 则 a 的取值范围是

解析 因为 P∪M=P,所以 M?P,即 a∈P,得 a2≤1,解得-1≤a≤1,所以 a 的取值范 围是[-1,1]. 5.已知集合 A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则 m=________. 解析 A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4},∴2∈{1,3,m},∴m=2.答案 2 考向一 集合的概念 【例 1】?已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. [审题视点] 分 m+2=3 或 2m2+m=3 两种情况讨论. 解析 因为 3∈A,所以 m+2=3 或 2m2+m=3.当 m+2=3,即 m=1 时,2m2+m=3,此 3 时集合 A 中有重复元素 3, 所以 m=1 不合乎题意,舍去; 当 2m2+m=3 时,解得 m=- 或 2 3 1 3 3 m=1(舍去),此时当 m=- 时,m+2= ≠3 合乎题意.所以 m=- .答案 - 2 2 2 2 集合中元素的互异性,一可以作为解题的依据和突破口;二可以检验所求结果是 否正确. 【训练 1】 设集合 A={-1,1,3}, B={a+2, a2+2}, A∩B={3}, 则实数 a 的值为________. 解析 若 a+2=3,a=1,检验此时 A={-1,1,3},B={3,5},A∩B={3},满足题意.若 a2+2=3,则 a=± 1.当 a=-1 时,B={1,3}此时 A∩B={1,3}不合题意,故 a=1. 考向二 集合的基本运算 【 例 2 】 ? (2011·天 津 ) 已 知 集 合 A = {x ∈ R||x + 3| + |x - 4|≤9} , B = 1 ? ? ?x∈R|x=4t+ -6,t∈?0,+∞??,则集合 A∩B=________. t ? ? [审题视点] 先化简集合 A,B,再求 A∩B. 解析
? ?x≥4, 不 等 式 |x + 3| + |x - 4|≤9 等 价 于 ? ?x+3+x-4≤9 ? ? ?-3<x<4, 或? ?x+3+4-x≤9 ?



? ?x≤-3, ? 解不等式组得 A=[-4,5],又由基本不等式得 B=[-2,+∞),所以 ?-x-3+4-x≤9, ? 2

A∩B= [-2,5].答案

{x|-2≤x≤5}

集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合,然后用数轴图示法求 解. 【训练 2】 (2011· 江西)若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?x?
? ? ? ? ?,则 A∩B= ? x ≤0 ? ?

x-2

? ?



解析 ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},∴A∩B={x|0<x≤1}. 考向三 集合间的基本关系 【例 3】?已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求实数 m 的取 值范围. [审题视点] 若 B?A,则 B=?或 B≠?,故分两种情况讨论. 解 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,得 m≤2, m+1≥-2, ? ? 当 B≠?时,有?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.综上:m≤4.

已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而 转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且经常 要对参数进行讨论.
? m 2 2 2 【训练 3】 (2011· 江苏)设集合 A=??x,y?? ? 2 ≤?x-2? +y ≤m , ?

x,yXR}, B={(x, y)|2m≤x

+y≤2m+1,x,y∈R}.若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________. 解析 ①若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y=2m+1 与圆(x-2)2+y2=m2 有交点,从 |2-2m-1| 2- 2 2+ 2 而 ≤|m|,解得 ≤m≤ ,与 m<0 矛盾;②若 m=0,代入验证,可知不 2 2 2 m 1 符合题意;③若 m>0,则当 ≤m2,即 m≥ 时,集合 A 表示一个环形区域,集合 B 表示一 2 2 个带形区域,从而当直线 x+y=2m+1 与 x+y=2m 中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2 有交 点,即符合题意,从而有 |2-2m| |2-2m-1| 2- 2 ≤|m| 或 ≤|m| ,解得 ≤m≤2 + 2 ,由于 2 2 2

1 2- 2 1 1 > ,所以 ≤m≤2+ 2.综上所述,m 的取值范围是 ≤m≤2+ 2. 2 2 2 2 难点突破 1——集合问题的命题及求解策略 在新课标高考中,可以看出,集合成为高考的必考内容之一,考查的形式是一道选择题或填 空题,考查的分值约占 5 分,难度不大.纵观近两年新课标高考,集合考题考查的主要特点 是:一是注重基础知识的考查,如 2011 年安徽高考的第 8 题;二是与函数、方程、不等式、 三角等知识相结合,在知识的交汇点处命题,如 2011 年山东高考的第 1 题,与不等式相结

3

合;三是在集合的定义运算方面进行了新的命题,如 2011 年浙江高考的第 10 题. 一、集合与排列组合 【示例】? (2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的 集合 S 的个数是 .56

二、集合与不等式的解题策略 【示例】? 设集合 M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N 等于 三、集合问题中的创新问题 【示例】? (2011· 浙江)设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx +1).记集合 S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集合 S,T 的 元素个数,则下列结论不可能的是( A.|S|=1 且|T|=0 C.|S|=2 且|T|=2 ). B.|S|=1 且|T|=1 D.|S|=2 且|T|=3 .[1,2)

A 级 基础达标演练(时间:40 分钟 满分:60 分) 1.(2011· 广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 是实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 是实数, 且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 .

解析 集合 A 表示圆 x2+y2=1 上的点构成的集合,集合 B 表示直线 y=x 上的点构成的集 合,可判定直线和圆相交,故 A∩B 的元素个数为 2. 2.(2011· 辽宁)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩?IM=?,则 M

4

∪N 等于

.解析 ∵N∩?IM=?,∴N?M,∴M∪N=M. 条件.

3.(2011· 湖南)设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的

解析 若 N?M,则需满足 a2=1 或 a2=2,解得 a=± 1 或 a=± 2.故“a=1”是“N?M” 的充分不必要条件. 4.(2011· 北京海淀二模)已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴 影部分所表示的集合为 .

解因为 A∩B={2 ,3,4,5}, 而图中阴影部分为 A 去掉 A∩B, 所以阴影部分所表示的集合为{1}. 5.(★)(2012· 南宁五校联考)设集合 M={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},N={( x,y)|x2-y =0,x∈R},y∈R,则集合 M∩N 中元素的个数为 .

解析 (数形结合法)x2+y2=1 表示单位圆,y=x2 表示开口方向向上的抛物线,画出二者的 图形,可以看出有 2 个交点. 【点评】 本题画出方程的曲线,立即得到正确的答案,避免了计算求解,提高了解题速度. 6.(2011· 江苏)已知集合 A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则 A∩B=________. 解析 A∩B={-1,1,2,4}∩{-1,0,2}={-1,2}.答案 {-1,2}

7. (2011· 上海)若全集 U=R, 集合 A={x|x≥1}, 则?UA=________.解析 ?UA={x|x<1}. [来 8. 已知集合 A={(0,1), (1,1), (-1,2)}, B={(x, y)|x+y-1=0, x, y∈Z}, 则 A∩B=________. 解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合,代 入验证即可.答案 {(0,1),(-1,2)}

9.(11 分)若集合 A={-1,3},集合 B={x|x2+ax+b=0}且 A=B,求实数 a,b.
?-a=-1+3=2, ? ∵A=B,∴B={x|x2+ax+b=0}={-1,3}.∴? ∴a=-2,b=-3 . ? ?b=?-1?×3=-3,

10.设集合 A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若 A∩B={9},求 A∪B. 解 由 9∈A,可得 x2=9 或 2x-1=9,解得 x=± 3 或 x=5. 当 x=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B 中元素重复,故舍去;当 x=-3 时,A ={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,故 A∪B={-7,-4,-8,4,9}; 当 x=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时 A∩B={-4,9}与 A∩B={9}矛盾,故 舍去.综上所述,A∪B={-8,-4,4,-7,9}. B 级 综合创新备选(时间:30 分钟 满分:40 分) 1.若 A={2,3,4},B={x|x=n· m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 中的元素个数是 解析 B={x|x=n· m,m,n ∈A,m≠n}={6,8,12}.答案 3 .

5

2.已知集合 A={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i 是虚数单位),若 A?R,则 a= 解析 ∵A?R,∴A 中的元素为实数,所以 a2-1=0,即 a=± 1.

.± 1

3. (★ )已知集合 A={x|x≤1}, B={x|x≥a}, 且 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是________.

解析(数形结合法)A=(-∞,1],B=[a,+∞),要使 A∪B=R,只需 a≤1.如图.(-∞, 1] 【点评】 本题采用数形结合法,含参数的集合运算中求参数的范围时,常常结合数轴来解 决,同时注意“等号”的取舍. 4.(2012· 福州模拟)设 A,B 是非空集合,定义 A*B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A= {x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则 A* B=____________________. 解析 由题意知,A∪B=[0,+∞),A∩B=[1,3],∴A*B=[0,1)∪(3,+∞). 5.(10 分)A={x|-2<x<-1 或 x >1},B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1 <x<3},求实数 a,b 的值. 解 ∵A∩B={x|1<x<3},∴b=3,又 A∪B={x|x>-2},∴-2<a≤-1, 又 A∩B={x|1<x<3},∴-1≤a<1,∴a =-1. 6.(★)(12 分)设集合 A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈ R},若 B?A, 求实数 a 的取值范围. 思路分析 本题体现了分类讨论思想,应对集合 B 中所含元素个数分类讨论.[来源:学.科.] 解 ∵A={0,-4},∴B?A 分以下三种情况: (1)当 B=A 时,B={0,-4},由此知 0 和-4 是方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 的两个根,由 Δ=4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? 根与系数之间的关系,得?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0,
2 2

解得 a=1.

(2)当?≠B A 时,B={0}或 B={-4},并且 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得 a=-1,此 时 B={0}满足题意.[ (3)当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1.

综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 【点评】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方 法,是历年来高考考查的重点,其基本思 路是将一个复杂的数学问 题分解或分割成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来 实现解决原问题的思想策略.

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