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【2014】希望杯竞赛数学试题详解(51-60题)


题 51 Let point M move along the ellipse x2 y2 ? ? 1 ,and point F be its right focus, then for fixed 9 8 ,where the coordinate of M is . point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is (ellipse 椭圆;focus 焦点;coordinate 坐标) (第十四届高二第二试第 18 题 ) x2 y2 译文:点 M 是椭圆 ? ? 1 上一点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P(6,2),那么 3|MF|-|MP|的最 9 8 大值是 解 在椭圆 2 2 ,此时点 M 的坐标是 . y M M Q P F D G 9 l x x2 y2 ? ? 1 中, 9 8 2 a ? 9, b ? 8 ,则 c ? 1, c ? 1 , 所以椭圆的右焦点 F 的坐标 c 1 为(1,0),离心率 e ? ? , a 3 右准线 l : x ? -3 O 1 3 6 a ? 9 ,显然点 P c x2 y2 ? ? 1 的外部.过点 P、M 分别作 PG⊥ l 于 G,MD⊥ l 于 D,过点 P 作 PQ⊥MD 于 Q, 9 8 2 (6, 2) 在椭圆 由椭圆的定义知,3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3,当且仅当点 P 位于线段 MD 上,即 点 P 与 Q 点重合时取等号.由点 P 位于线段 MD 上,MD⊥ l 及点 P(6,2),知点 M 的纵坐标为 2 ,设 M 2 x0 4 3 2 ? ? 1 ,解得 x0 ? ? 的横坐标为 x 0 ,即 M( x 0 ,2),则有 ,因此 3|MF|-|MP|的最大值是 3,此 2 9 8 时点 M 的坐标是( ? 3 2 ,2). 2 评析 若设点 M 的坐标为(x,y),则可将 3|MF |-|MP|表示成 x、y 的二元无理函数,然后再求其最大值, 可想而知,这是一件相当麻烦的事,运用椭圆的定义,将 3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|,就把无理运算转化 为有理运算,从而大大简化了解题过程. 拓展 将此题引伸拓广,可得 x2 y2 定理 M 是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的动点,F 是椭圆 E 的一个焦点,c 为椭圆 E 的半焦距, a b P(m,n)为定点. 1、 若点 P 在椭圆 E 内,则当 F 是右焦点时, a2 1 ? m ;当 F 是左焦 |MF|+|MP|的最小值是 c e 点时, a2 1 ? m. |MF|+|MP|的最小值是 c e 2、 若点 P 在椭圆 E 外,则 F 是右焦点,且 0≤m≤ a2 a2 1 ,|n|≤b 时, |MF|-|MP|的最大值是 ? m. c c e F 是右焦点,且 m> a2 a2 1 ,|n|≤b 时,|MP|- |MF|的最小值是 m ? . c c e F 是左焦点,且 ? a2 a2 1 ≤m≤0,|n|≤b 时, |MF|-|MP|的最大值是 ? m. c c e a2 a2 1 ,|n|≤b 时,|MP|- |MF|的最小值是 ? m ? . c c e F 是左焦点,且 m≤ ? 简证 1、如图 1,作 MN⊥右准线 l 于 N,PQ⊥l 于 Q,由椭圆定义,|MN|= 1 |MF|. e a

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