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2014重庆高考压轴卷 理科数学 Word版含答案


2014 重庆高考压轴卷 数学(理)
一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.设复数错误!未找到引用源。满足关系错误!未找到引用源。,那么错误!未找到引用 源。等于 ( ) A.错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 C. 错误! 未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 2.直线 ax ? by ? a ? b ? 0与圆x2 ? y 2 ? 2 的位置关系为 A.相交 3. ( x ?
2

( D.相交或相切 (



B.相切

C.相离

1 6 ) 中x 3的系数为 x
20 B. 30 C. 25 D.



A.

40 ( )

a b 4. 已知 a, b ? R ,则“ log3 a ? log3 b ”是 “ ( ) ? ( ) ”的

1 2

1 2

A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数 y ? 2cos x 的一个单调增区间是
2

( C. ? , ?



A. ? ,π ?

?π ?2

? ?

B. ? 0, ?

? ?

π? 2?

? π 3π ? ?4 4 ?

D. ? ? , ? ( )

? π π? ? 4 4?

6.已知向量 a ? (1,2),b ? ( x,?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于 A. ? 7 B. 9 C. 4 D. ? 4

? x?2 ? 7.实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 4 则该目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ( ) ?? 2 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.12 C.14 D.15

?2 x?2 ? , 8.已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根, ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
则数 k 的取值范围是 A. ?0,1? B. ( )

?0,2?

C. ?0,1?

D. ?0,2? ( )

9.数列 {a n } 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ?

2 (n ? N ? ), 则 a10 ? n(n ? 1)

A.

17 5

B.

18 5

C.

19 5

D.4 则 f ' (0) = ( x ? a8 ) , ( )

10.等比数列 ?an ? 中, 函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) a1 ? 2 ,a8 =4,
6 9 12 15

A. 2

B. 2

C. 2

D. 2

二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.过点 M ( ?3,? ) 且被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得弦长为 8 的直线的方程为 1 1 k 12.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于 a b a+b ;

3 2

13.用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,2 与 4 相邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有 个.(用数字作答)

考生注意: (14) (15) (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两 题给分. 14.若曲线的极坐标方程为 p= 2sin ? ? 4 cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直 角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 。

15.设圆 O 的直径 AB=2,弦 AC=1,D 为 AC 的中点,BD 的延长线与圆 O 交于点 E,则弦 AE= 16.不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? sin y 对一切非零实数 x, y 均成立,则实数 a 的范围为 x



三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分) 17.(本小题满分 13 分)
2 2 2 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足 b ? c ? a ?

6 bc , 5

AB ? AC ? 3 .
(1)求 ?ABC 的面积; (2)若 c ? 1 ,求 cos( B ?

?
6

) 的值。

18. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

3 3an , an ?1 ? , n ? 1, 2, 5 2an ? 1



(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ?
1 ,若 Sn ? 100 ,求最大的正整数 n . an

(2) 记 Sn ?

1 1 ? ? a1 a2

19. (本小题满分 13 分) 若 a=( 3cosωx,sinωx),b=(sinωx,0),其中 ω>0,记函数 f(x)=(a+b)· b+k. π (1)若 f(x)图象中相邻两条对称轴间的距离不小于 ,求 ω 的取值范围. 2 π π? 1 (2)若 f(x)的最小正周期为 π,且当 x∈? ?-6,6?时,f(x)的最大值是2,求 f(x)的解析式。

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:

y 2 ? 2 px( p ? 0) ,F 为抛物线的焦点,点 M ( , p) 。

p 2

(1)设过 F 且斜率为 1 的直线 L 交抛物线 C 于 A、B 两点,且|AB|=8,求抛物线的方程。 (2)过点 M (

p , p) 作倾斜角互补的两条直线,分别交抛物线 C 于除 M 之外的 D、E 两点。 2

求证:直线 DE 的斜率为定值。

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ? (a ? 1) x ? a , a ? R 。 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间。 (2) 设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数, 证明: 当 a ? 2 时, 在 (0,??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 。

22.(本小题满分 12 分) 设椭圆 E 中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 4,点 Q(2, 2 )在椭圆上。 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点,且 OA ? OB ,求△OAB 的面积的取值范围。 (3)过 M( x1 , y1 )的直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 与过 N( x2 , y2 )的直线 l 2 :

x2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 的交点 P( x0 , y0 )在椭圆 E 上,直线 MN 与椭圆 E 的两准线分别交于 G,
H 两点,求 OG ? OH 的值。
? ?? ? ??

数学(理)参考答案

一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1 A 2 D 3 A 4A 5 A 6B 7A 8A 9C 10C 二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11 3x ? 4 y ? 15 ? 0和x ? ?3 14 12 —4 15 16 ?1,3? 13 288

x ?y
2
2 2

2

? 4x ? 2 y ? 0

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分) 17? b ? c ? a ?
2

6 6 b2 ? c2 ? a2 3 bc ,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , cos A ? ? 5 5 2bc 5
2

又 A ? (0, ? ) ,? sin A ? 1 ? cos A ? 而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? 所以 ?ABC 的面积为:

4 , 5

3 bc ? 3 所以 bc ? 5 , 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(2)由(1)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

a 2 ? c 2 ? b2 5 2 5 , sin B ? ?? 2ac 5 5 ? 3 1 3 5 1 2 5 15 ? 2 5 ? cos( B ? ) ? cos B ? sin B ? ? (? ) ? ? ?? 6 2 2 2 5 2 5 10 ? cos B ?
18. (1)∵

1 2 1 1 1 1 ,∴ ? ? ?1 ? ? , an ?1 3 3an an ?1 3an 3 1 1 ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 ? 0(n ? N* ) , a1 an

且∵

∴数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列. ? an ?

(2)由(1)可求得

1 2 1 1 1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ,∴ ? 2 ? ( ) n ? 1 . an 3 3 an 3

1 1 Sn ? ? ? a1 a2

1 1 1 ? ? n ? 2( ? 2 ? an 3 3

1 1 ? n ?1 1 1 ? n ) ? n ? 2 ? 3 3 ? n ?1? n 1 3 3 1? 3

若 Sn ? 100 ,则 n ? 1 ?

1 ? 100 ,∴ nmax ? 99 . 3n

19[解析] ∵a=( 3cosωx,sinωx),b=(sinωx,0) ∴a+b=( 3cosωx+sinωx,sinωx). 故 f(x)=(a+b)· b+k= 3sinωxcosωx+sin2ωx+k = = 1-cos2ωx 3 sin2ωx+ +k 2 2 3 1 1 sin2ωx- cos2ωx+ +k 2 2 2

π 1 2ωx- ?+k+ . =sin? 6? ? 2 T π π (1)由题意可知 = ≥ ,∴ω≤1. 2 2ω 2 又 ω>0,∴0<ω≤1. π (2)∵T= =π,∴ω=1. ω π? 1 ∴f(x)=sin? ?2x-6?+k+2. π π? π ? π π? ∵x∈? ?-6,6?,∴2x-6∈?-2,6?. π π π 从而当 2x- = ,即 x= 时, 6 6 6 π? π 1 1 fmax(x)=f? ?6?=sin6+k+2=k+1=2, π 1 ∴k=- ,故 f(x)=sin?2x- 6 ?. ? ? 2 20

解(1)设过F的直线为y ? x ? 消y得: x 2 ? 3 px ? p2 ? 0, 4

p , 将它与y 2 ? 2 px联立 2 1分 p2 4 3分 5分 6分

设A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),由韦达定理得:x1 ? x2 =3p, x1 ? x2 =

由弦长公式得|AB|= 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 4 p ? 8, 所以p ? 2. 故所求抛物线方程为y ? 4 x.
2

(2)不妨设D(

y32 y 2 , y3 ), E ( 4 , y4 )由k MD =-k ME 得: 2p 2p p ? y3 p ? y4 ?? ,化简得y3 ? y4 ? ?2 p, 2 p y4 2 p y3 ? ? 2 2p 2 2p y4 ? y3 ? k DE ? ? ?1 y32 y4 2 ? 2p 2p
21 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ?1)e ? 1, f '( x) ? xe x x

10分

12分

当 f '( x) ? 0 时, x ? 0 ;当 f '( x) ? 0 时, x ? 0 所以函数 f ( x ) 的减区间是 ( ??, 0) ;增区间是 (0, ??) (2) (ⅰ) g ( x) ? f '( x) ? e ( x ? a ? 1) ? (a ?1), g '( x) ? e ( x ? a ? 2)
x x

当 g '( x) ? 0 时, x ? a ? 2 ;当 g '( x) ? 0 时, x ? a ? 2 因为 a ? 2 ,所以函数 g ( x) 在 (0, a ? 2) 上递减;在 (a ? 2, ??) 上递增 又因为 g (0) ? 0, g (a) ? e ? a ?1 ? 0 ,
a

所以在 (0, ??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 . 22 解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)过 M(2, 2 ) ,2b=4 a 2 b2
椭圆 E 的方程为

故可求得 b=2,a=2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

(2)设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) ,当直线 L 斜率存在时设方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 解方程组 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 4 ?8
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 , 即 8k ? m ? 4 ? 0 (*)
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 2

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 , 即 m ?
2 2

2

8k 2 ? 8 3

将它代入(*)式可得 k ?[0, ??)
2

P 到 L 的距离为 d ?

|m| 1? k 2

?S ?


1 1 |m| | AB | d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2

?

1 m 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 2
8k 2 ? 8 8 k2 及韦达定理代入可得 S ? 1? 4 3 3 4k ? 4k 2 ? 1

m2 ?


8 k2 8 1 1? 4 ? 1? ① 当k ? 0时S ? 2 1 3 4k ? 4k ? 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

由 4k ?
2

1 ? [4, ??) k2
8 3

故S ?

8 1 8 1? ? ( , 2 2] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 3 k

② 当 k ? 0 时, S ?

③ 当 AB 的斜率不存在时, S ?

8 ?8 ,综上 S ? ? , 2 2 ? ? 3 ?3

(3)点 P( x0 , y0 )在直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 和 l 2 : x2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 上,

x1 x0 ? 2 y1 y0 ? 8 2 , x2 x0 ? 2 y2 y0 ? 8 2
故点 M( x1 , y1 )N( x2 , y2 )在直线 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 故直线 MN 的方程, x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 设 G,H 分别是直线 MN 与椭圆准线, x ? ?4 的交点 由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? ?4 得 G(-4,

4 2 ? 2 x0 ) y0

由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? 4 得 H(4,
? ?? ? ??

4 2 ? 2 x0 ) y0

故 OG ? OH =-16+

32 ? 4 x 0 y0
2

2

又 P( x0 , y0 )在椭圆 E:
2 2

x2 y2 ? ?1 8 4



x0 y 2 2 ? 0 ? 1 故 4x0 ? 32 ? 8 y0 8 4
? ??

OG ? OH =-16+

? ??

32 ? (32 ? 8 y 0 ) y0
2

2

=-8


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