2014重庆高考压轴卷 理科数学 Word版含答案

2014 重庆高考压轴卷 数学（理）
一、选择题（每小题 5 分，10 小题，共 50 分，每小题只有一个选项符合要求） 1．设复数错误！未找到引用源。满足关系错误！未找到引用源。，那么错误！未找到引用 源。等于 （ ） A．错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！ 未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 2．直线 ax ? by ? a ? b ? 0与圆x2 ? y 2 ? 2 的位置关系为 A．相交 3． ( x ?
2

（ D．相交或相切 （

）

B．相切

C．相离

1 6 ) 中x 3的系数为 x
20 B. 30 C． 25 D．

）

A．

40 （ ）

a b 4. 已知 a, b ? R ，则“ log3 a ? log3 b ”是 “ ( ) ? ( ) ”的

1 2

1 2

A．充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5． 函数 y ? 2cos x 的一个单调增区间是
2

（ C． ? ， ?

）

A． ? ，π ?

?π ?2

? ?

B． ? 0， ?

? ?

π? 2?

? π 3π ? ?4 4 ?

D． ? ? ， ? （ ）

? π π? ? 4 4?

6．已知向量 a ? (1,2),b ? ( x,?2) ，且 a ? (a ? b) ，则实数 x 等于 A. ? 7 B. 9 C. 4 D. ? 4

? x?2 ? 7．实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 4 则该目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ( ) ?? 2 x ? y ? 5 ? 0 ?
A．10 B．12 C．14 D．15

?2 x?2 ? , 8．已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根， ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
则数 k 的取值范围是 A． ?0,1? B． （ ）

?0,2?

C． ?0,1?

D． ?0,2? ( )

9.数列 {a n } 中， a1 ? 2, an ?1 ? an ?

2 (n ? N ? ), 则 a10 ? n(n ? 1)

A.

17 5

B.

18 5

C.

19 5

D.4 则 f ' (0) = ( x ? a8 ) ， （ ）

10.等比数列 ?an ? 中， 函数 f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) a1 ? 2 ，a8 =4，
6 9 12 15

A． 2

B. 2

C. 2

D. 2

二、填空题： （本大题 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．过点 M ( ?3,? ) 且被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得弦长为 8 的直线的方程为 1 1 k 12．设 a＞0，b＞0，且不等式 ＋ ＋ ≥0 恒成立，则实数 k 的最小值等于 a b a＋b ；

3 2

13．用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻，2 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有 个．(用数字作答)

考生注意： （14） （15） （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两 题给分. 14．若曲线的极坐标方程为 p= 2sin ? ? 4 cos ? ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直 角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 。

15.设圆 O 的直径 AB=2，弦 AC=1，D 为 AC 的中点，BD 的延长线与圆 O 交于点 E，则弦 AE= 16．不等式 x ?

1 ? a ? 2 ? sin y 对一切非零实数 x, y 均成立，则实数 a 的范围为 x

．

三、解答题： （本大题 6 个小题，共 75 分） 17．(本小题满分 13 分)
2 2 2 在 ?ABC 中 ， 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ， 且 满 足 b ? c ? a ?

6 bc ， 5

AB ? AC ? 3 ．
（1）求 ?ABC 的面积； （2）若 c ? 1 ，求 cos( B ?

?
6

) 的值。

18． （本小题满分 13 分） 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

3 3an ， an ?1 ? , n ? 1, 2, 5 2an ? 1

．

（1）求证：数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列； ? an ?
1 ，若 Sn ? 100 ，求最大的正整数 n ． an

（2） 记 Sn ?

1 1 ? ? a1 a2

19． （本小题满分 13 分） 若 a＝( 3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，其中 ω>0，记函数 f(x)＝(a＋b)· b+k. π (1)若 f(x)图象中相邻两条对称轴间的距离不小于 ，求 ω 的取值范围． 2 π π? 1 (2)若 f(x)的最小正周期为 π，且当 x∈? ?－6，6?时，f(x)的最大值是2，求 f(x)的解析式。

20．(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:

y 2 ? 2 px( p ? 0) ，F 为抛物线的焦点，点 M ( , p) 。

p 2

（1）设过 F 且斜率为 1 的直线 L 交抛物线 C 于 A、B 两点，且|AB|=8，求抛物线的方程。 （2）过点 M (

p , p) 作倾斜角互补的两条直线,分别交抛物线 C 于除 M 之外的 D、E 两点。 2

求证：直线 DE 的斜率为定值。

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ? (a ? 1) x ? a ， a ? R 。 （1）当 a ? 1 时，求 f ( x) 的单调区间。 （2） 设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数， 证明： 当 a ? 2 时， 在 (0,??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 。

22．(本小题满分 12 分) 设椭圆 E 中心在原点，焦点在 x 轴上，短轴长为 4,点 Q（2， 2 ）在椭圆上。 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点，且 OA ? OB ，求△OAB 的面积的取值范围。 （3）过 M（ x1 , y1 ）的直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 与过 N（ x2 , y2 ）的直线 l 2 :

x2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 的交点 P（ x0 , y0 ）在椭圆 E 上，直线 MN 与椭圆 E 的两准线分别交于 G，
H 两点，求 OG ? OH 的值。
? ?? ? ??

数学（理）参考答案

一、选择题（每小题 5 分，10 小题，共 50 分，每小题只有一个选项符合要求） 1 A 2 D 3 A 4A 5 A 6B 7A 8A 9C 10C 二、填空题： （本大题 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分） 11 3x ? 4 y ? 15 ? 0和x ? ?3 14 12 —4 15 16 ?1,3? 13 288

x ?y
2
2 2

2

? 4x ? 2 y ? 0

三、解答题： （本大题 6 个小题，共 75 分） 17? b ? c ? a ?
2

6 6 b2 ? c2 ? a2 3 bc ,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , cos A ? ? 5 5 2bc 5
2

又 A ? (0, ? ) ，? sin A ? 1 ? cos A ? 而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? 所以 ?ABC 的面积为：

4 ， 5

3 bc ? 3 所以 bc ? 5 ， 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

（2）由（1）知 bc ? 5 ，而 c ? 1 ，所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

a 2 ? c 2 ? b2 5 2 5 , sin B ? ?? 2ac 5 5 ? 3 1 3 5 1 2 5 15 ? 2 5 ? cos( B ? ) ? cos B ? sin B ? ? (? ) ? ? ?? 6 2 2 2 5 2 5 10 ? cos B ?
18． （1）∵

1 2 1 1 1 1 ，∴ ? ? ?1 ? ? ， an ?1 3 3an an ?1 3an 3 1 1 ? 1 ? 0 ，∴ ? 1 ? 0(n ? N* ) ， a1 an

且∵

∴数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列． ? an ?

（2）由（1）可求得

1 2 1 1 1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ，∴ ? 2 ? ( ) n ? 1 ． an 3 3 an 3

1 1 Sn ? ? ? a1 a2

1 1 1 ? ? n ? 2( ? 2 ? an 3 3

1 1 ? n ?1 1 1 ? n ) ? n ? 2 ? 3 3 ? n ?1? n 1 3 3 1? 3

若 Sn ? 100 ，则 n ? 1 ?

1 ? 100 ，∴ nmax ? 99 ． 3n

19[解析] ∵a＝( 3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0) ∴a＋b＝( 3cosωx＋sinωx，sinωx)． 故 f(x)＝(a＋b)· b＋k＝ 3sinωxcosωx＋sin2ωx＋k ＝ ＝ 1－cos2ωx 3 sin2ωx＋ ＋k 2 2 3 1 1 sin2ωx－ cos2ωx＋ ＋k 2 2 2

π 1 2ωx－ ?＋k＋ . ＝sin? 6? ? 2 T π π (1)由题意可知 ＝ ≥ ，∴ω≤1. 2 2ω 2 又 ω>0，∴0<ω≤1. π (2)∵T＝ ＝π，∴ω＝1. ω π? 1 ∴f(x)＝sin? ?2x－6?＋k＋2. π π? π ? π π? ∵x∈? ?－6，6?，∴2x－6∈?－2，6?. π π π 从而当 2x－ ＝ ，即 x＝ 时， 6 6 6 π? π 1 1 fmax(x)＝f? ?6?＝sin6＋k＋2＝k＋1＝2， π 1 ∴k＝－ ，故 f(x)＝sin?2x－ 6 ?. ? ? 2 20

解(1)设过F的直线为y ? x ? 消y得: x 2 ? 3 px ? p2 ? 0, 4

p , 将它与y 2 ? 2 px联立 2 1分 p2 4 3分 5分 6分

设A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),由韦达定理得:x1 ? x2 =3p, x1 ? x2 =

由弦长公式得|AB|= 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 4 p ? 8, 所以p ? 2. 故所求抛物线方程为y ? 4 x.
2

(2)不妨设D(

y32 y 2 , y3 ), E ( 4 , y4 )由k MD =-k ME 得: 2p 2p p ? y3 p ? y4 ?? ,化简得y3 ? y4 ? ?2 p, 2 p y4 2 p y3 ? ? 2 2p 2 2p y4 ? y3 ? k DE ? ? ?1 y32 y4 2 ? 2p 2p
21 解： （1）当 a ? 1 时， f ( x) ? ( x ?1)e ? 1, f '( x) ? xe x x

10分

12分

当 f '( x) ? 0 时， x ? 0 ；当 f '( x) ? 0 时， x ? 0 所以函数 f ( x ) 的减区间是 ( ??, 0) ；增区间是 (0, ??) （2） （ⅰ） g ( x) ? f '( x) ? e ( x ? a ? 1) ? (a ?1), g '( x) ? e ( x ? a ? 2)
x x

当 g '( x) ? 0 时， x ? a ? 2 ；当 g '( x) ? 0 时， x ? a ? 2 因为 a ? 2 ，所以函数 g ( x) 在 (0, a ? 2) 上递减；在 (a ? 2, ??) 上递增 又因为 g (0) ? 0, g (a) ? e ? a ?1 ? 0 ，
a

所以在 (0, ??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 . 22 解:（1）因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 （a>b>0）过 M（2， 2 ） ，2b=4 a 2 b2
椭圆 E 的方程为

故可求得 b=2,a=2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

（2）设 P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2） ，当直线 L 斜率存在时设方程为 y ? kx ? m ，

? y ? kx ? m ? 解方程组 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 4 ?8
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 , 即 8k ? m ? 4 ? 0 （*）
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 2

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0, 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
①

所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 , 即 m ?
2 2

2

8k 2 ? 8 3

将它代入（*）式可得 k ?[0, ??)
2

P 到 L 的距离为 d ?

|m| 1? k 2

?S ?
又

1 1 |m| | AB | d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2

?

1 m 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 2
8k 2 ? 8 8 k2 及韦达定理代入可得 S ? 1? 4 3 3 4k ? 4k 2 ? 1

m2 ?
将

8 k2 8 1 1? 4 ? 1? ① 当k ? 0时S ? 2 1 3 4k ? 4k ? 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

由 4k ?
2

1 ? [4, ??) k2
8 3

故S ?

8 1 8 1? ? ( , 2 2] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 3 k

② 当 k ? 0 时, S ?

③ 当 AB 的斜率不存在时, S ?

8 ?8 ,综上 S ? ? , 2 2 ? ? 3 ?3

（3）点 P（ x0 , y0 ）在直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 和 l 2 ： x2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 上，

x1 x0 ? 2 y1 y0 ? 8 2 ， x2 x0 ? 2 y2 y0 ? 8 2
故点 M（ x1 , y1 ）N（ x2 , y2 ）在直线 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 故直线 MN 的方程， x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 设 G，H 分别是直线 MN 与椭圆准线， x ? ?4 的交点 由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? ?4 得 G（-4，

4 2 ? 2 x0 ） y0

由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? 4 得 H（4，
? ?? ? ??

4 2 ? 2 x0 ） y0

故 OG ? OH =-16+

32 ? 4 x 0 y0
2

2

又 P（ x0 , y0 ）在椭圆 E：
2 2

x2 y2 ? ?1 8 4

有

x0 y 2 2 ? 0 ? 1 故 4x0 ? 32 ? 8 y0 8 4
? ??

OG ? OH =-16+

? ??

32 ? (32 ? 8 y 0 ) y0
2

2

=-8