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导数及其应用测试题(有详细答案)


《导数及其应用》
一、选择题 1. f ?( x0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x0 处取极值的: A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2、设曲线 y ? x 2 ? 1 在点 ( x , f ( x )) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x)cos x 的部分图象可以为 y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

B. π 2 3.在曲线 y=x 上切线的倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0)
2

A.

C. )

D.

B.(2,4)

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?

?1 1? D.? , ? ?2 4?
) D.a=-1,b=-1 ) C.a=1,b=-1

4.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1
3 2

B.a=-1,b=1

5.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5

1 3 2 2 6. 已知三次函数 f(x)= x -(4m-1)x +(15m -2m-7)x+2 在 x∈(-∞,+∞)是增函数,则 m 的取值 3 范围是( ) B.-4<m<-2 C.2<m<4 D.以上皆不正确

A.m<2 或 m>4

7. 直线 y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为 A. ? 1 B. e
3

C. ln 2

D. 1 )

8. 若函数 f ( x) ? x ? 12x在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围( A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

9. 10.函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图像如图所示, 则函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 内有极小值点 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2 10. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x ) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为 f '(0)
第 1 页(共 8 页)

A. 3

B.

5 2

C. 2

D.

3 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y ?

sin x 的导数为_________________ x

12、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)等于____________. 13.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值是

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 15. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,

xf ?( x) ? f ( x) ?0 (x x2

,则不等式 ? 0)

x 2 f ( x) ? 0 的解集是
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 设函数 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数 f(x)的单调区间与极值.

17. 已知函数 f ( x) ? x ? 3x .
3

(Ⅰ)求 f ?( 2) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

18. 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R .
3

第 2 页(共 8 页)

(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

19. 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x 2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R , m ? 0 (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间;

(3)当 x ? [?1,1] ,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范围。

20. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? bx.
2

第 3 页(共 8 页)

(I)当 a ? ?1 时,若函数 f ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; ( II )若 f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 , 0), B (x2 , 0)(x1 ? x2 )两点,且 AB 的中点 为 C ( x0 ,0) ,求证:

f '( x0 ) ? 0.

x2 , g ( x) ? 2a ln x(e 为自然对数的底数) 21. 已知函数 f ( x) ? e
(1)求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间,若 F ( x ) 有最值,请求出最值; (2) 是否存在正常数 a , 使 f (x) 与 且在该公共点处有共同的切线? g (x) 的图象有且只有一个公共点, 若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。

《导数及其应用》参考答案
一、选择题: 题号 1 2 3 4 5
第 4 页(共 8 页)

6

7

8

9

10

答案

B

A

D

A

D

D

D

B

A

C

二、填空题: 11. y ' ?

x cos x ? sin x ;12. 18 x2

13.

?
6

? 3;

14. {a | a ? 0} ;

15. ( ?1,0) ? (1,??)

三、解答题 π 16. [解析] f′(x)=cosx+sinx+1= 2sin(x+ )+1 4 π 2 令 f′(x)=0,即 sin(x+ )=- , 4 2 3 解之得 x=π 或 x= π. 2 x,f′(x)以及 f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,π) + 递增 π 0 π+2 (0<x<2π)

3 (π, π) 2 - 递减

3 π 2 0 3π 2

3 ( π,2π) 2 + 递增

3 3 ∴f(x)的单调增区间为(0,π)和( π,2π)单调减区间为(π, π). 2 2 3 3π f 极大(x)=f(π)=π+2,f 极小(x)=f( π)= . 2 2 17. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,所以 f ?(2) ? 9 . (Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 , 解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 解 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . 所以 (??, ?1) , (1, ??) 为函数 f ( x ) 的单调增区间, (?1,1) 为函数 f ( x ) 的单调减区间. 18. 解:(1) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2, x2 ?

2 ???????1 分

∴当 x ? ? 2或x ? 2时,f ?( x) ? 0;当? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,???????2 分 ∴ f ( x) 的单调递增区间是 (??, ? 2)和( 2, ??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) ??3 分 当 x ? ? 2, f ( x)有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ?

2, f ( x)有极小值 5 ? 4 2 .????4 分

(2)由(1)可知 y ? f ( x) 图象的大致形状及走向(图略) ∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点,??6 分 即当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 时方程 f ( x) ? ? 有三解. ?????????????7 分 (3) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x ? x ? 5) ? k ( x ? 1)
2

∵ x ? 1,? k ? x ? x ? 5在(1,??) 上恒成立. ????????????????9 分
2

第 5 页(共 8 页)

令 g ( x) ? x 2 ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数, ∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3 ??????????????12 分

19. 解: (1) f '( x) ? 3mx 2 ? 6(m ? 1) x ? n. 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一 个极值点.所以 f '(1) ? 0 即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3m ? 6 2 (2)由(1)知, f '( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 3m( x ? 1)[ x ? (1 ? )] m 2 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ? ,当 x 为化时, f ( x) 与 f '( x) 的变化如下表: m 2 2 2 (1 ? ,1) x (1, ? ?) 1 1? (? ?,1 ? ) m m m
f '( x) f ( x)
单调递减 0 极小值 + 单调递增 0 极大值 单调递减

故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 (? ?,1 ? 递减.

2 2 ) 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ? ?) 上单调 m m 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 ,即 m m

(3)由已知得 f '( x) ? 3m ,即 mx 2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 又 m ? 0 ,所以 x 2 ?

1 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0, x ?[?1,1] 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数图象开口向上,由题意知①式恒成立,所以 m m m m 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 4 解之得 ? ? m又m ? 0 所以 ? ? m ? 0 即 m 的取值范围为 (? ,0) ?? m m ? g (1) ? 0 3 3 3 ? ? ??1 ? 0

x2 ?

20. ( 1 ) 由 题 意 : f ( x) ? ln x ? x 2 ? bx , ? f ( x) 在 (0,??) 上 递 增 , ? f ?( x) ?

1 ? 2x ? b ? 0 对 x

x ? (0,??) 恒成立,即 b ?
? x ? 0 ,?

1 1 ? 2 x 对 x ? (0,??) 恒成立,? 只需 b ? ( ? 2 x) min , x x

1 2 ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时取“=” ,? b ? 2 2 ,? b 的取值范围为 (??,2 2 ) x 2

(2)由已知得, ?

? f ( x1 ) ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? 0 ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ,两式相减,得: ? ? 2 2 ? f ( x2 ) ? ln x2 ? ax2 ? bx2 ? 0 ?ln x2 ? ax2 ? bx2

ln

x1 x ? a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] , x2 x2
1 ? 2ax ? b 及 2x0 ? x1 ? x2 ,得: x

由 f ?( x ) ?

f ?( x0 ) ?

x 1 2 2 1 ? 2ax0 ? b ? ? [a( x1 ? x 2 ) ? b] ? ? ln 1 x0 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x2

第 6 页(共 8 页)

x1 ? 1) 2( x1 ? x 2 ) x2 x x x1 1 1 [ ? ln 1 ] ,令 t ? 1 ? (0,1) , ? [ ? ln ] ? x x1 ? x 2 x2 x2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x2 ( 1 ? 1) x2 2(
2t ? 2 (t ? 1) 2 ? ? ln t (0 ? t ? 1) ,? ? (t ) ? ? 且 ? (t ) ? ? 0 ,? ? (t ) 在 (0,1) 上为减函数, t ?1 t (t ? 1) 2

? ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,又 x1 ? x 2 ,? f ?( x0 ) ? 0
21. 解: (1) F ?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? ①当 a ? 0时, F ?( x) ? 0 恒成立 ,没有最值??3 分 F ( x)在(0, ??) 上是增函数, F ( x) F 只有一个单调递增区间(0,-∞) ②当 a ? 0 时, F ( x) ? 若0 ? x ? 若x?

2 x 2a 2( x3 ? ea) ? ? ( x ? 0) e x ex

2( x ? ea ( x ? ea ) ( x ? 0) , ex

ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在(0, ea ) 上单调递减;

ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在( ea , ??) 上单调递增,

?当x ? ea 时, F ( x) 有极小值,也是最小值,
即 F ( x)min ? F ( ea ) ? a ? 2a ln ea ? ?a ln a ????6 分 所以当 a ? 0 时, F ( x ) 的单调递减区间为 (0, ea ) 单调递增区间为 ( ea , ??) ,最小值为 ? a ln a ,无最大值????7 分 (2)方法一,若 f ( x) 与 g ( x) 的图 象有且只有一个公共点, 则方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有且只有一解,所以函数 F ( x ) 有且只有一个零点????8 分[来源:学_科_ 网] 由(1)的结论可知 F ( x)min ? ?a ln a ? 0得a ? 1 ????10 分 此时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

x2 ? 2ln x ? 0 e

F ( x) ) m i n? F ( e?

0

? f ( e ) ? g ( e ) ? 1,? f ( x)与g ( x) 的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1)
又? f ?( e ) ? g ?( e ) ?

2 e

? f ( x)与g ( x) 的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,
第 7 页(共 8 页)

其方程为 y ? 1 ?

2 e

( x ? e ) ,即 y ?

2 e

x ? 1 ????13 分

综上所述,存在 a ? 1,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点处的公切线方 程为 y ?

2 e

x ? 1. ????14 分

方法二:设 f ( x)与g(x)图象的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) ,
2 ? x0 ? ? 2a ln x0 ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ?e 根据题意得 ? ' 即? ' ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? 2 x0 ? 2a ? x0 ? e
2 x0 1 ,代入①得 ln x0 ? ,? x2 ? e 2 e

由②得 a ?

从而 a ? 1 ????10 分

此时由(1)可知 F ( x)min ? F ( e ) ? 0 ?当x ? 0且x ? 因此除 x0 ?

e 时, F ( x) ? 0,即f ( x) ? g ( x)

e 外,再没有其它 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ????13 分

故存在 a ? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共 点处有共同的切线,易求得 公共点坐标为 ( e ,1) ,公切线方程为 y ?

2 e

x ? 1 ????14 分

第 8 页(共 8 页)


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