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2015届高考数学大一轮复习 课时训练25 平面向量的概念及其线性运算 理 苏教版


课时跟踪检测(二十五) 平面向量的概念及其线性运算
第Ⅰ组:全员必做题 1.设 a、b 是两个非零向量,下列结论正确的有________.(填写序号) ①若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b ②若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| ③若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa ④若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 2.(2013· 徐州期中)设 O 是△ABC 内部一点,且 OA + OC =-2 OB ,则△AOB 与△ AOC 的面积之比为________. 1 3. 在△ABC 中, N 是 AC 边上一点, 且 AN = NC , P 是 BN 上的一点, 若 AP =m AB 2 2 + AC ,则实数 m 的值为________. 9 1 4. (2013· 南通期中)设 D, P 为△ABC 内的两点, 且满足 AD = ( AB + AC ),AP = AD 4 S△APD 1 + BC ,则 =________. 5 S△ABC 5. (2014· 南通期末)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 且 3a BC +4b CA +5c AB =0,则 a∶b∶c=________. 6.(2014· 淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得

AB + AC =m AM 成立,则 m=________.
π a b 7.(2014· 苏北四市质检)已知 a,b 是非零向量,且 a,b 的夹角为 ,若向量 p= + , 3 |a| |b| 则|p|=________. 8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出 1 1 1 1 下列命题:① AD = a-b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0. 2 2 2 2 其中正确命题的个数为________. 9.(2013· 苏北四市三调)如图,在边长为 1 的正三角形 ABC 中,E,F

AF =n AC , 分别是边 AB, AC 上的点, 若 AE =m AB , 其中 m, n∈(0,1). 设
EF 的中点为 M,BC 的中点为 N. (1)若 A,M,N 三点共线,求证:m=n; (2)若 m+n=1,求| MN |的最小值.

10.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, AE = 2 AD , AB =a, AC =b. 3 (1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线.

第Ⅱ组:重点选做题 1.A,B,O 是平面内不共线的三个定点,且 OA =a, OB =b,点 P 关于点 A 的对称 点为 Q,点 Q 关于点 B 的对称点为 R,用 a、b 表示 PR ,则 PR =________. 2. 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点, 且向量 OA ,OB ,OC ,OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD 的形状为________.

答 第Ⅰ组:全员必做题 1.解析:对于①,可得



a,b =-1,因此 a⊥b 不成立;对于②,满足 a⊥b 时|a a,b =-1,因此成立,而④显然不一定成立.

+b|=|a|-|b|不成立;对于③,可得 答案:③

2.解析:设 M 为边 AC 的中点.因为 OA + OC =-2 OB ,所以点 O 是△ABC 的中线 BM 的中点,从而所求面积之比为 1∶2. 答案:1∶2 1 3.解析:如图,因为 AN = NC , 2 1 所以 AN = AC , 3 2 2 AP =m AB + AC =m AB + AN ,因为 B、P、N 三点共线, 9 3 2 1 所以 m+ =1,所以 m= . 3 3 1 答案: 3 4.解析:设 E 为边 BC 的中点.

1 由 AD = ( AB + AC )可知, 4 1 点 D 在△ABC 的中线 AE 上,且 AD= AE, 2 1 1 由 AP = AD + BC ,得 DP = BC , 5 5 S△APD 1 1 1 利用平面几何知识知 = × = . S△ABC 2 5 10 答案: 1 10

5.解析:在△ABC 中有 BC + CA + AB =0, 又 3a BC +4b CA +5c AB =0,消去 AB 得 (3a-5c) BC +(4b-5c) CA =0, 从而 3a-5c=0,4b-5c=0, 故 a∶b∶c=20∶15∶12. 答案:20∶15∶12 6.解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心, 连结 AM 并延长交 BC 于 D, 2 则 AM = AD , 3 因为 AD 为中线, 则 AB + AC =2 AD =3 AM , 所以 m=3. 答案:3 a b 7.解析: 和 分别表示与 a,b 同向的单位向量, |a| |b| π 所以长度均为 1.又二者的夹角为 , 3 故|p|= 答案: 3 1 8.解析: BC =a, CA =b, AD = CB + AC 2 1 =- a-b,故①错; 2 1 1 BE = BC + CA =a+ b,故②错; 2 2 1 1 CF = ( CB + CA )= (-a+b) 2 2 π 1+1+2×1×1×cos = 3. 3

1 1 =- a+ b,故③正确; 2 2 1 1 1 1 ∴ AD + BE + CF =-b- a+a+ b+ b- a=0. 2 2 2 2 ∴正确命题为②③④. 答案:3 9.解:(1)证明:由 A,M,N 三点共线, 得 AM ∥ AN . 设 AM =λ AN (λ∈R), 1 1 即 ( AE + AF )= λ( AB + AC ), 2 2 所以 m AB +n AC =λ( AB + AC ). 因为 AB 与 AC 不共线,所以 m=n. (2)因为 MN = AN - AM 1 1 = ( AB + AC )- ( AE + AF ) 2 2 1 1 = (1-m) AB + (1-n) AC , 2 2 又 m+n=1, 1 1 所以 MN = (1-m) AB + m AC , 2 2 1 所以| MN |2= (1-m)2 AB 2 + 4 1 2 1 2 AB · AC m + (1-m)m· 4 AC 2 1 1 1 = (1-m)2+ m2+ (1-m)m 4 4 4 1 1 3 m- ?2+ , = ? 2? 16 4? 1 3 故当 m= 时,| MN |min= . 2 4 10.解:(1)延长 AD 到 G, 1 使 AD = AG , 2 连接 BG,CG,得到?ABGC, 所以 AG =a+b, 1 1 AD = AG = (a+b), 2 2

2 1 AE = AD = (a+b), 3 3 1 1 AF = AC = b, 2 2 1 BE = AE - AB = (a+b)-a 3 1 = (b-2a), 3 1 1 BF = AF - AB = b-a= (b-2a). 2 2 2 (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,又因为 3

BE , BF 有公共点 B,
所以 B,E,F 三点共线. 第Ⅱ组:重点选做题 1.解析: PR = OR - OP =( OR + OQ )-( OP + OQ ) =2 OB -2 OA =2(b-a). 答案:2(b-a) 2.解析:由 OA + OC = OB + OD 得

OA - OB = OD - OC ,
∴ BA = CD .所以四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形


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