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必修五 1.1正弦定理与余弦定理(5课时)山西省优秀课件


高中新课程数学必修⑤ 第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理

第一课时

1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢?

问题提出 1.在直角三角形中,三边a,b,c,及锐 角A,B之间有怎样的数量关系? B a C

c
b

A

2.三角形是最基本的几何图形,许多与 测量有关的实际问题,都要通过解三角 形来解决.如船在航行中测量海上两个岛 屿之间的距离;飞机在飞行中测量一座 山顶的海拔高度;在地面上测量顶部或 底部不可到达的建筑物的高度;测量在 海上航行的轮船的航速和航向等. 3.对于直角三角形,我们可利用上述原 理进行有关计算.对于一般三角形中边和 角的关系,我们需要建立相关理论进行 沟通,这是一个有待探究的课题.

知识探究(一):正弦定理的形成
思考1:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= a,AC=b,AB=c,则sinA,sinB,sinC 分别等于什么? C b a A c B

思考2:将上述关系变式,边长c 有哪几 种表示形式?由此可得什么结论? C

b
A
a sin A =

a

c
b sin B =

B
c sin C

思考3:

a

=

b sin B

sin A

可变形为

a sin B = b sin A , 在锐角△ABC中,该 等式是否成立?为什么?
C b A D a

B

思考4: 若∠C为钝角, sin B = b sin A是否成立? a 若∠A为钝角, sin B = b sin A 是否成立? a 若∠B为钝角, sin B = b sin A 是否成立? a
C

b
A D

a B
C

a
b D A

B

?

思考5:在任意三角形中,同理可得,
b sin B = c sin C

, 因此有
= c sin C

a sin A

=

b sin B

该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理? 在一个三角形中,各边和它所对角的正 弦之比相等.

知识探究(二):正弦定理的向量证明
uuu uuu r r 思考1:在△ABC中,向量A C , B A uuu r ,C B

之间有什么关系?
C b A a B

思考2:若∠A为锐角,过点A作单位向量 uuu r uuu uuu uuu r r r i,使i⊥ A B ,则向量i与 A C ,A B , B C 的 夹角分别是什么?
C i A b a B

uuu r 思考3:由 i ?A C

uuu r i ?(A B
C

uuu r BC )

可得什么结论?
i
A

b

a B

a sin A

=

b sin B

思考4:若∠A为钝角,上述推理过程有 什么变化?所得结论如何?
a
C b A a i B

=

b sin B

sin A

思考5:若证明 sin B 单位向量i?
b A

b

=

c sin C

,应如何作

C

c

B

i

理论迁移

例1 在△ABC中,已知A=32.0°, B=81.8°,a=42.9cm,解三角形.
C=66.2°,b≈80.1cm,c≈74.1 cm.

例2 在△ABC中,已知a=20cm, b=28cm,A=40°,解三角形. sinB≈0.8999,B≈64°,C=76°, c≈30 cm;或B≈116°,C=24°,c≈13 cm. 例3 在△ABC中,已知a=60cm, b=50cm,A=38°,解三角形. sinB≈0.5131,B≈31°,C=111°, c≈91 cm

小结作业 1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素,已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形. 2.正弦定理的外在形式是公式,它由三 个等式组成即
a sin A
sin sin C sin sin C , A , B 每个等式都表示三角形的两个角和它们 的对边的关系.

=

b sin B

b

=

c

a

=

c

3.利用正弦定理可以解决两类解三角形 的问题:一类是已知两角和一边解三角 形;另一类是已知两边和其中一边的对 角解三角形.对于第二类问题,要注意确 定解的个数.

作业:

P4 练习 :1, 2.

1.1

正弦定理和余弦定理

1.1.1

正弦定理

第二课时

问题提出 1.正弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么?
a sin A = b sin B = c sin C

在一个三角形中,各边和它所对角的正 弦之比相等.

2.在解三角形中,利用正弦定理可以解 决哪两类问题? 已知两角和一边解三角形; 已知两边和其中一边的对角解三角形.
a

3.在正弦定理中, A 有什么几何意义? sin 利用正弦定理可以得到哪些相关结论? 这需要我们作进一步了解和探究,加深 对正弦定理的理性认识.

探究(一):正弦定理的几何意义

sin A

思考1:在直角三角形ABC中, 等于 sin A 什么? C b a
3.在正弦定理中,
a

a

A

c

B

思考2:如图,作△ABC的外接圆,你能 构造一个一条直角边长为a,其对角大小 为A的直角三角形吗? B
3.在正弦定理中,
a sin A

a sin A

= 2R

C

a O A D

思考3:设△ABC的外接圆半径为R,则
a sin A

等于什么?

思考4:如图,若∠A为钝角,上述结论 还成立吗? 若∠A为直角呢?
B A

a sin A

O

a

= 2R
C D

探究(二):正弦定理的变式拓展

思考1:在三角形中有“大边对大角”原 理,如何利用正弦定理进行理论解释?
思考2:利用等比定理,正弦定理可作哪 些变形?
a sin A = b sin B = c sin C = a+ b sin A + sin B = a+ c sin A + sin C = b+ c sin B + sin C

=

a + b+ c sin A + sin B + sin C

= 2R

思考3:利用正弦定理如何求三角形的周 长?
a + b + c = 2R sin A + sin B + sin C) (

思考4:设△ABC的外接圆半径为R,则其 面积公式 S
1 4R = 1 2
2

ab sin C

可以作哪些变形?

S =

abc = 2R sin A sin B sin C

思考5:在△ABC中,设∠A的平分线交BC
AB = BD

边于点D,则 A C CD(角平分线定理), 你能用正弦定理证明这个结论吗?
A

B

D

C

理论迁移 例1 在钝角△ABC中,已知AB= AC=1,B=30°,求△ABC的面积.
3 4
3



例2 在△ABC中,已知 ab ? 60 3 , sinB=sinC,且△ABC的面积为 15 3, 求c边的长.
2 15

例3 在△ABC中,已知acosB=bcosA, 试确定△ABC的形状. 等腰三角形

例4 在△ABC中,已知
t an A - t an B t an A + t an B = b+ c c

,求角A的值.

120°

小结作业 1.正弦定理是以三角形为背景的一个基 本定理,它不仅可以用来求三角形的边 角值,而且可以在三角变换中实现边角 转化,是解决三角形问题的一个重要工 具. 2.正弦定理的应用具有一定的灵活性, 在处理三角形的边角关系时,利用 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可达 到化边为角的目的.

3.正弦定理不是万能的,如已知三角形 的三边长,利用正弦定理就不能求出三 个内角,因此我们还需要建立新的理论. 欲知后事如何,且听下回分解.

作业: P10习题1.1 A组:2. B组:2.

1.1

正弦定理和余弦定理

1.1.2

余弦定理

第一课时

问题提出

1.正弦定理的外在形式是什么?其数学 意义如何?
a sin A = b sin B = c sin C = 2R

在一个三角形中,各边和它所对角的正 弦之比相等,且等于外接圆直径.

2.若已知三角形的两边及其夹角或已知 三边,能否用正弦定理解三角形?

3.对于上述问题,需要建立一个新的数 学理论才能解决,这是我们要研究的课 题.

探究(一):余弦定理的推导 思考1:根据平面几何中两个三角形全等 的判定定理,确定一个三角形可以是哪 些条件? 边、角、边 角、边、角

边、边、边

思考2:在△ABC中,已知边a,b和角C, 从向量的角度考虑,可以求出什么?
A
b

c

uuu r uur uur u A B = CB - CA

C

uuu r uuu r 思考3:c边的长即为 | A B |,向量 A B uur uuu r 与 有什么关系? CA CB ,

a

B

思考4:如何将 a,b,C的关系?

uuu r uur uur u A B = CB - CA

转化为c与

思考5:根据上述推导可得, 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC ,此式对任意三角 形都成立吗? A
b

c

C

a

B

uuu r uur uur u A B = CB - CA

思考6:如图所示建立直角坐标系,点A, B的坐标分别是什么? 根据两点间的距离公式可得什么结论?
y A

A(bcosC,bsinC)
x

b
C a B
2

B(a,0)

c = a + b - 2ab cosC

2

2

思考7:通过类比,a2,b2分别等于什么?

c = a + b - 2ab cosC

2

2

2

a = b + c - 2bc cos A

2

2

2

b = a + c - 2ac cos B 思考8:上述三个等式称为余弦定理.如 何用文字语言描述余弦定理? 三角形中任何一边的平方,等于其他 两边的平方和,减去这两边与其夹角的 余弦的积的两倍.

2

2

2

探究(二):余弦定理的变式

思考1:在△ABC中,若已知边a,b和角C, 如何求边c和角A,B?
A
b

c a B

C

思考2:已知三角形的三边a,b,c,求 三内角A,B,C,其计算公式如何?
cos A = b + c - a 2bc
2 2
2 2 2

cos B =

c + a - b 2ca

2

cosC =

a +b - c 2ab

2

2

2

cos A =

b + c - a 2bc
2 2

2

2

2

cos B =

c + a - b 2ca

2

cosC =

a +b - c 2ab

2

2

2

思考3:上述三个公式是余弦定理的推论, 如何通过三边的大小关系判断∠A是锐角、 直角还是钝角?

思考4:若已知边a,b和角A,能直接用 余弦定理求边c吗? A
b

c

C

a

B

思考5:结合正弦定理, 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC 可作什么变形?
sin C = sin A + sin B - 2 sin A sin B cos C
2 2 2

理论迁移 例1 在△ABC中,已知b=60cm, c=34cm,A=41°,解三角形. a2≈1676.82,a≈41cm,sinC≈0.544, C≈33°,B≈106°. 例2 在△ABC中,已知a=134.6cm, b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形. cosA≈0.5543,A≈56°20′, cosB≈0.8398,B≈32°53′, C≈90°47′.

例3 在△ABC中,已知a= 3 ,b= 7 , B=30°,求边长c的值.
4 例4 已知△ABC的周长为20,A=30°, a=7,求这个三角形的面积.
10 3

小结作业

1.余弦定理及其推论,把用“边、角、 边”和“边、边、边”判定三角形全等 的原理,从数量化的角度进行了刻画, 使其变成了可以计算的公式. 2.余弦定理的主要作用是已知两边一角 求边,或已知三边求角,所得结论是唯 一的.同时,利用余弦定理也可以实现边 角转化.

3.余弦定理及其推论共有六个基本公式, 应用时要注意适当选取,有时可结合正 弦定理求解.

作业:P8练习:1,2.

1.1

正弦定理和余弦定理

1.1.2

余弦定理

第二课时

知识整理 1.余弦定理的外在形式和数学意义分别 是什么?

c = a + b - 2ab cosC

2

2

2

a = b + c - 2bc cos A

2

2

2

b = a + c - 2ac cos B
三角形中任何一边的平方,等于其他 两边的平方和,减去这两边与其夹角的 余弦的积的两倍.

2

2

2

2.在三角形的六个基本元素中,已知哪 三个元素可以解三角形? 一边两角,两边一角,三边. 3.针对上述类型,分别用哪个定理求解 为宜? 已知一边两角:正弦定理; 已知两边及夹角:余弦定理; 已知两边及对角:正弦定理; 已知三边:余弦定理.

应用举例 例1 在△ABC中,已知 (sinA+sinC)(sinA-sinC) =sinB(sinB+sinC),求角A的值. 120° 例2 在△ABC中,已知a+c=2b, B=30°,面积为 2 ,求b的值.
3

1+

3

例3 在△ABC中,已知C=30°,求
sin A + sin B 2 2

3 sin A sin B
1 4

的值.

例4 在△ABC中,求证:
c - b cos A b - c cos A = cos B cos C

例5
2

在△ABC中,求证:
2

(a + b) sin

C 2

+ (a - b) cos

2

2

C 2

= c

2

例6
a - b c
2 2 2

在△ABC中,求证:
= sin(A - B ) sin C

正弦定理、余弦定理 及其运用
第5课时

本节课内容目录:

? 一、考纲解读 ? 二、正弦定理及其变形 ? 三、余弦定理及其变形 ? 四、实际应用问题中的基本概念和术语 ? 五、例题讲解 ? 六、高考题再现 ? 七、小结

一、考纲解读:
在课标及《教学要求》中对正弦定理、余 弦定理的要求均为理解(B)。在高考试题中 ,出现的有关试题大多为容易题,主要考 查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进 行恒等变换的技能及运算能力,以化简、 求值或判断三角形形状为主。

二、正弦定理及其变形:
a
A
b c a C

?
a 2R

b sin B

?
b

c sin C

? 2R
, sin C ? c 2R

sin A
sin A ?

, sin B ?

2R

B

a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C

( 其中 R是 ? A B C 外接圆的半径)
a : b : c ? sin A : sin B : sin C
S ?ABC ? 1 2 b c sin A ? 1 2 a c sin B ? 1 2 a b sin C

解决题型:
1、已知两角和任一边,求其他两边和一 角;(三角形形状唯一) 2、已知两边和其中一边的对角,求另一 边的对角。(三角形形状不一定唯一)
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三、余弦定理及其变形:
a ? b ? c ? 2 b c co s A
2 2 2

A
b

b ? a ? c ? 2 a c co s B
2 2 2

c
a C

c ? a ? b ? 2 a b co s C
2 2 2

B

co s A ? co s B ? co s C ?

b ?c ?a
2 2

2

;
2

2bc a ?c ?b
2 2

;
2

2ac a ?b ?c
2 2

.

2ab

解决题型:
1、已知三边,求三个角;(只有一解) 2、已知两边和它们的夹角,求第三边 和其他两个角。(只有一解)
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四、实际应用问题中的基本概念和术语

? 仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内
的水平视线和目标视线的夹角,其中目标视 线在水平线上方时叫仰角;目标视线在水平 线下方时叫俯角。 ? 方位角:一般指北方向线顺时针转到目标方 向线的水平角。

五、例题讲解
例1.在锐角 ? A B C 中,若 C ? 2 B , 则 的范围是
b


c b

解:由
c b
0

?

c sin C

sin B

得到
? 2 co s B
0 0

?

sin C sin B

?

sin 2 B sin B
0

? 0 ? C ? 2 B ? 90 ? 0 < B < 45
则 c b ? 2 co s B ?

?

2,2

?

(某学生的解)

错因分析:

? 因为 ? A B C 是锐角三角形,则要
0 0

0 ? A ? 90 ,
0 0

0 ? B ? 90 , 0 ? C ? 90 . 前面解法忽视了对 A
0

求 0

的讨论。

正确解答
解:由
c b
0

b sin B

?

c sin C

得到
? 2 co s B
0 0

?

sin C sin B

?

sin 2 B sin B
0 0

? 0 ? 2 B ? 90 ? 0 <B <45 又 ? A +B +C =180

? A =180 -B -C =180 -3B <90
0 0

0


则 c b

30 <B <45
? 2 co s B ?

0

0

?

2,

3

?

例2. 在 ? A B C 中 , a ? x , b ? 2, B ? 4 5 ,
0

若这个三角形有两解,求 x 的取值范围。
C

x
b
2 2 x

b

解:如图作 C D
A1

? AB,CD ?

2 2

x

B A2

若合题意 的三角形有两个,

则以C为圆心,2为半径画弧应与射线BD有两

D

个交点,则要求

2 2

x ? 2 ? x,即 2 ? x ? 2 2

解得情况如下: 在 ? A B C中 , 已 知 a , b和 A 时 ,
A为锐角 A为钝角或直 角
C
C a B A B B
1 2

C

C

图形

b A

A

B

A

B

关系 a=bsinA bsinA<a<b 式 解的 个数 一解 两解

a ?b

a>b
a ?b

一解

一解

无解

a 上表中A为锐角时, ? b sin A 时,无解;

a A为直角时, ? b , a ? b 均无解。

例3.在 ? ABC 中,已知
( a ? b ) sin ( A ? B )
2 2

( a ? b ) sin ( A ? B ) ?
2 2

,判定 ? ABC 的形状。

解法一:原式可化为
( a ? b ) sin C ? ( a ? b )(sin A cos B ? cos A sin B )
2 2 2 2

即:
a a ?c ?b b b ?c ?a 2 2 2 2 a ? b ? ( a ? b )( ? ? ? ) c 2ac c 2b c
2 2 2 2 2 2

a ? b ? (a ? b )
2 2 2 2

a ?b
2

2

c

2

,即 ( a ? b ) ( ?
2 2

a ?b
2

2

c

2

? 1) = 0

得: a ? b 或 a 2 ? b 2 ? c 2 即 ? A B C 是等腰三角形或是直角三角形。

解法二:原式可化为
(sin A ? sin B )(sin A ? cos B ? sin B ? cos A ) ?
2 2

(sin A ? sin B )(sin A ? cos B ? cos A ? sin B )
2 2

化简得:
sin A ? cos A ? sin B ? sin A ? sin B ? cos B ? 0
2 2

也即 sin

A ? sin B (sin A ? cos A ? sin B ? cos B ) ? 0

? A ? (0, ? ), B ? (0, ? ) ? sin A ? 0, sin B ? 0

则 sin 2 A ? sin 2 B , 即 A = B , 或 A + B = 9 0

0

即 ? A B C 是等腰三角形或是直角三角形。

点评:
判断三角形形状时,可以将边化到角也可以 将角化到边,或边角同时互化。在转化过程 中,三角形边角具有的基本性质不能忘记。 如内角和为 1 8 0 0 ,每个内角大于 等。
0 小 于 180
0 0

例四:? A B C 内角
2

A, B , C

的对边分别是
B ?

a , b , c 且满足b ? a c . 求证:0 ?
在 证明: ? A B C 中
? co s B ? ? a ?c ?b
2 2 2

?
3

?

a ? c ? ac
2 2

2ac 2ac ? ac 2ac ? 1 2

2ac

又 B ? (0, ? ) ? 0 ? B ?

?
3

点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关 系,再利用三角形的内角具有的范围,得到 结论.

例五、如图所示,某海岛上一观察哨A上午 0 11时测得一轮船在海岛北偏东 6 0 的C处,
12时20分测得船在海岛北偏西 6 0 的B处, 12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海
岛 5km 的E港口, 如果轮船始终匀速直线前
0

进,问船速多少?

分析:
已知从C到B及B到E的时间,要知船速度, 只需知道CB,BE或CE中的任一长度即可。 题中只知AE=5km,那么只要将已知长度的 边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三 角形中,或是通过间接的途径纳入到同一个 三角形中,再通过正弦定理或余弦定理进行 计算即可。

解:轮船从C到B用时80分钟, 从B到E用时20

分钟, 而船始终匀速前进,由此 可见:
B C ? 4 E B,设 E B ? x
0

,则 B c ? 4 x,由已知得
0

? BAE ? 30 , ? EAC ? 150


EC

? AEC
?

中,由正弦定理
AE ? sin C ? A E ? sin ? E A C EC

sin ? E A C

sin C
0

?

5 sin 1 5 0 5x

?

1 2x



?ABC
BC ?

中,由正弦定理得:
AB sin C ? AB ? B C ? sin C sin 1 2 0
0

4x ? ? 2 3

1 2x ? 4 3 3

sin 1 2 0

0


BE

?ABE
2 2

中,由余弦定理得:
2

? AB ? AE
16 3

? 2 A B ? A E ? cos 30
4 3 3
31

0

? 25 ?

? 2?5?

?

3 2

?

31 3

,故 BE ?

31 3

所以船速

v?

BE t

?

3 ? 1 3

93

六、高考题再现:
1.(2008山东理)已知 a , b , c为
?ABC

三个内角

的对边,向量 ?? ? 若 m ? n , 且 a cos B ? b cos A ? c sin C , 则角B=_ 分析:由
_

?? ? m ? ( 3 , ? 1), n ? (co s A , sin A ),

?? ? ?? ? ? m ? n, 得 到 m ? n ? 0.

转化为三角问题。

2.(2009全国Ⅰ理) 在 ? A B C 中,内角 A、B、C的对边 长分别为 a , b , c . 已知
a ? c ? 2 b , 且 sin A cos C ? 3 cos A sin C ,
2 2

求b. 分析:求边长,考虑将角向边转化。

3.(2009浙江理) ? A B C 中,三个内角 A , B , C 在
所对的边分别为 a , b , c . 且满足 c o s
? 2 5 ??? ???? , AB ? AC ? 3. 5

A 2

?

(1)求 ? A B C 的面积; (2)若 b ? c ? 6, 求 a 的值. 分析:利用倍角公式求出A的三角函数值, 通过向量的数量积求出 b c 的积,即可。

4.(2010江苏)在锐角三角形 的对边分别为
tan C tan A ? tan C tan B ?
_

A B C 中 , A、 B 、 C

a , b, c,

b a

?

a b

? 6 co s C ,



_

分析:可将所求结论切化弦,再利用正弦、 余弦定理求解。

小结:
? 处理三角形问题,必须结合三角形全等的判
定定理理解斜三角形的四类基本解型,特别 是“边边角”型可能有两解、一解或无解的 三种情况。 ? 三角形中的三角变换,实质就是有条件的三 角式的计算与证明。

祝同学们暑期愉 快、学习进步!

小结作业

1.以三角形为背景求值或证明三角等式, 是三角变换中的两个基本问题,活用正、 余弦定理,从整体进行变形和运算,是 解题的基本思想.
2.利用正、余弦定理化边为角,或者化 角为边,是处理三角形中三角变换问题 的基本策略,是实现三角运算与代数运 算相互转化的主要手段.

作业:P10习题1.1

A组:3.


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