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浙江省湖州中学2016届高三数学上学期期中试题 文


浙江省湖州中学 2015 学年第一学期高三期中考试 数学(文)试 卷

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.设集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ? {x | x ? 2} ,则所有实数 a 组成的集合 为 A. {a | a ? 2} B. {a | a ? 2} C. {a | ?1 ? a ? 2} ( ▲ ) D. {a | ?1 ? a ? 2} ( ▲ )

2. 若函数 f ( x) ? cos 2 x , g ( x) ? sin 2 x ,则“ A. 充分不必要条件 A. 24 B. 25 B. 必要不充分条件 C. 26

?
8

?x?

?
4

”是“ f ( x) ? g ( x) ”的

C.充要条件 D. 27

D. 既不充分也不必要条件

3.设等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 首项都是 1,公差和公比都是 2,则 ab2 ? ab3 ? ab4 ? ( ▲ ) 4.已知某锥体的正视图和侧视图如右图,其体积为 2 3 ,则该锥体 3 的俯视图可以是 ( ▲ )
2 2

2 2

2

2 2
侧视图

2

2
2 2 C.

2 2 D.

2

正视图

A. 5.设函数 f ( x) ? ? A. (?1,0]

B.

?4 ? x, x ? 0 ,
2 ? x , x ? 0,

,若 f [ f (a)] ? f [ f (a) ? 1] ,则实数 a 的取值范围为( ▲ ) C. (?5,?4] D. [?5,?4] ( ▲ )

B. [ ?1,0]

6.若关于 x 的不等式 3? | x ? a |? x 2 至少有一个负数解,则实数 a 的取值范围是 A. ?3 ? a ? 7.已知双曲线

13 4

B. ?

13 13 ?a? 4 4

C. ?3 ? a ? 3

D. ?

13 ?a?3 4

x2 y 2 2 且两曲线的一个交点为 P , ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8 x 有一个公共的焦点 F , a 2 b2
( ▲ )

若 PF ? 5 ,则双曲线的离心率为

A. 5

B. 3

C.

2 3 3

D.2

8.设点 P ( x, y ) 是曲线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的动点,均有 x2 ? y2 ? 2 y ? 1 ?

x2 ? y2 ? 2 y ?1 ? 2 2 ,则 a ? 2b 的取值范围为

( ▲ )

A.

? 2, ?? ?

B. ?1, 2?

C. ?1, ?? ?

D.

? 0, 2?
1

二、填空题(本题共有 7 小题,其中第 9 题每空 2 分,第 10、11、12 题每空 3 分,第 13、14、15 题每空 4 分,共 36 分)

? ? 1 9. 已知 x ? [ , ? ] ,且 sin(2 x ? ) ? ,则 cos2x ? 2 2 3

▲ , sin x ?

▲ , tan x ?

▲ . ▲ .

10. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 ? 5 ? 2a4 , a10 ? ?3 ,则 a1 ?
2 2

▲ , S8 ?

11.已知直线 Ax ? By ? C ? 0( A2 ? B2 ? C 2 ) 与圆 x ? y ? 4 交于 M , N 两点, O 为坐标原点,则 MN 等于 ▲ , OM ? ON 等于

???? ? ????





12.已知向量 a , b 的夹角为

? ?

?
3

, a ?b ? a ? 5, 向量 c ? a ,c ? b 的夹角为 ,c ?

?

?

?

?

?

? ?

? ? 与 c ? b 的夹角正弦值为



?

? ? 2? ? ? ,c ? a ? 2 3 , 则a ?b 3





? 0? x?2 ? 13. 已知关于 x, y 的不等式组 ?ax ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域的面积为 4,则 a 的值为▲. ? x? y?2?0 ?
2 14 . 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ? x? ? x , 若 对 任 意 x ??a, a ? 2? , 不 等 式

f ? x ? a ? ? f ? 3x ? 1? 恒成立,则实数 a 的取值范围是
15. 已知点 A( ?





1 1 , ) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线上,点 M,N 在抛物线 C 上,且位于 x 轴的两 2 2 ???? ? ???? ON ? 3 ,则点 A 到动直线 MN 的最大距离为 ▲ . 侧,O 是坐标原点,若 OM ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? sin(2x ?

?

) ? cos(2x ? ) . 6 3

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 f (C ) ? 1 , c ? 2 3 , sin A ? 2sin B ,求 ?ABC 的 面积.

2

17.(本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?BAD=60?,侧棱 PA⊥ 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EBD; (Ⅱ)若直线 PC 与平面 EBD 所成角的大小为 60°,求 PA 的长.
P

E

D A B

C

18.(本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 2,且a2 , a4 , a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ? ? ?1? an 是等比数列,且 b2 ? 7, b5 ? 71 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

?

?

19.(本题满分 15 分)如图,中心在坐标原点,焦点分别在 x 轴和 y 轴上的椭圆 T1 ,T2 都过点 M (0, ? 2) , 且椭圆 T1 与 T2 的离心率均为 2 . 2 (Ⅰ)求椭圆 T1 与椭圆 T2 的标准方程; (Ⅱ)过点 M 引两条斜率分别为 k , k ? 的直线分别交 T1 , T2 于点 P,Q,当
O P M y

Q

x

k ? ? 4 k 时,问直线 PQ 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定
点,请说明理由.

3

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ?1 , g ( x) ? a x ?1 . (Ⅰ)若 f ( x) ? g ( x) 有且仅有两个不同的解,求 a 的值; (Ⅱ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? 0 时,求 G ? x ? ? f ( x) ? g ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

4

浙江省湖州中学 2014 学年第二学期高三期中考试 数学(文)答卷 一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 B C 4 C 5 D 6 D 7 A 8

二、填空题(本题共有 7 小题,其中第 9 题每空 2 分,第 10、11、12 题每空 3 分,第 13、14、15 题每空 4 分,共 36 分) 9. 10. 12.

?

1 3
15

, , ,

6 3
64



? 2

11.

2 3



-2

3 5
1

4? 3
14.

13.

a ? ?5

15.

5 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? sin(2x ?

?

) ? cos(2x ? ) . 6 3

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 f (C ) ? 1 , c ? 2 3 , sin A ? 2sin B ,求 ?ABC 的 面积. 解: (Ⅰ)化简原函数得 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ)由 f (C ) ? 1 得 C ?

?
6

) ,当 x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) 时, f ( x)max ? 2 .

?

a ? 4, b ? 2 ,得 S?ABC

3 1 ? ab sin C ? 2 3 . 2

,因为 sin A ? 2sin B 得 a ? 2b ,代入 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C 得

17.(本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,?BAD=60?,侧棱 PA⊥ 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EBD; (Ⅱ)若直线 PC 与平面 EBD 所成角的大小为 60°,求 PA 的长.
P

解: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE,
5 E

∵O、E 分别是 AC、PC 的中点, ∴EO∥PA. ????????????? 5 分 ∵PA 不在平面 FBD 内, ∴PA∥平面 FBD. ?????????? 7 分 (Ⅱ) ∵PA⊥平面 ABCD,∴ PA⊥AC, 又∵EO∥ PA,∴EO⊥AC,又 AC⊥BD, ∴AC⊥平面 EBD, ∴ ? CEO 就是直线 PC 与平面 EDB 所成角 .? 11 分 在菱形 ABCD 中,容易求得 OC ? 又∵EO⊥OC,所以 EO ?

3 . 2
15 分

1 ,故 PA=1.??????????????? 2

18.(本小题满分 15 分)已知数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 2,且a2 , a4 , a8 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ? ? ?1? an 是等比数列,且 b2 ? 7, b5 ? 71 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

?

?

解: (I)设数列 ?a n ? 的公差为 d (d ? 0)

? a1 ? 2 ,且 a 2 , a 4 , a 8 成等比数列

? (3d ? 2) 2 ? (d ? 2)(7d ? 2) ????????????2 分
解得 d ? 2 ,故 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ????????????6 分 (II)令 c n ? bn ? (?1) n a n ,设 ?c n ? 的公比为 q

? b2 ? 7, b5 ? 71, a n ? 2n ? c2 ? b2 ?a 2 ? 3, c5 ? 81
?q3 ? c5 ? 27, q ? 3 ????????????8 分 c2

?c n ? c2 q n? 2 ? 3 n?1
从而 bn ? 3
n?1

? (?1) n 2n ????????????10 分

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (30 ? 31 ? ? ? 3 n?1 ) ? (?2 ? 4 ? 6 ? ? ? (?1) n 2n

6

3 n ? 2n ? 1 当 n 为偶数时, Tn ? ????????????12 分 2
当 n 为奇数时, Tn ?

3 n ? 2n ? 3 ????????????14 分 2
y

19.(本小题满分 15 分)如图,中心在坐标原点,焦点分别在 x 轴和 y 轴上 的椭圆 T1 , T2 都过点 M (0, ? 2) ,且椭圆 T1 与 T2 的离心率均为 2 . 2 (Ⅰ)求椭圆 T1 与 椭圆 T2 的标准方程; (Ⅱ)过点 M 引两条斜率分别为 k , k ? 的直线分别交 T1 , T2 于点 P,Q,当
O

Q

x P

k ? ? 4 k 时,问直线 PQ 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定
点,请说明理由. 解: (Ⅰ)

M

x2 y 2 y2 ? ? 1, ? x 2 ? 1 ; 4 2 2

(Ⅱ)直线 MP 的方程为 y ? kx ? 2 ,联立椭圆方程得:

? x2 y 2 ?1 4 2k ? ? ,消去 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4 2kx ? 0 ,则 xP ? ,则点 P 的坐标为 2 ?4 2k 2 ? 1 ? y ? kx ? 2 ?

P:(

4 2k 2 2k 2 ? 2 , ) 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

同理可得点 Q 的坐标为:

Q:(

4 2k 8 2 k 2 ? 2 2 2k ? 2k ?2 ? 2 2 ? k ? 4 k ( , ), ,又 ,则点 Q 为: , ) 8k 2 ? 1 8k 2 ? 1 k ?2 ? 2 k ?2 ? 2

k PQ

8 2k 2 ? 2 2 2k 2 ? 2 ? 2 2k 2 ? 1 ? ? 1 , ? 8k ? 1 2k 4 2k 4 2k ? 2 2 8k ? 1 2k ? 1

则直线 PQ 的方程为: y ?

2 2k 2 ? 2 1 4 2k ? ? ( x ? 2 ) ,即 2 2k ? 1 2k 2k ? 1

y?

1 2 2k 2 ? 2 1 4 2k x? 2 , ? ? ( x ? 2 ) ,化简得 y ? ? 2 2k 2k ? 1 2k 2k ? 1

即当 x ? 0 时, y ?

2 ,故直线 PQ 过定点 (0, 2) .

7

20.已知函数 f ( x) ? x2 ?1 , g ( x) ? a x ?1 . (Ⅰ)若 f ( x) ? g ( x) 有且仅有两个不同的解,求 a 的值; (Ⅱ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? 0 时,求 G ? x ? ? f ( x) ? g ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

2 (Ⅰ) x ? 1 ? a x ? 1 ,∴ x ? 1 或 x ?1 ? a ∴ a ? 0 或 a ? 2 ?????????????????2 分

(Ⅱ) x2 ?1 ? a x ?1 ① 若 x ? 1 , a ? R ;????????????????1 分

? x2 ?1 ? ? x ?1 ? ? ????????????????1 分 ? ?min +? ? x2 ?1 ? ? x ? 1, ? x ? 1? ? ? 2, ,????????????2 分 ? ?? x ?1 ? ? x ? 1, x ? 1 ? -2 , + ? ? ? ? ? ? ∴ a ? ?2 ????????????????????????1 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1, x ? [?2, ?1] ? 2 (Ⅲ) G( x) ? ?? x ? ax ? a ? 1, x ? (?1,1) ???????????????1 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1, x ? [1, 2] ? a a ① 若 ? ?2 ,即 a ? ?4 ,则 ? ? 2 2 2 所以, G ( x) 在 [?2, ?1] 上递增, (?1,1) 上递增, [1, 2] 上递减, 所以, G( x)max ? G(1) ? 0 ???????????????????????2 分
② 若 x ? 1 ,则 a ? ?

a a ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 ,则 0 ? ? ? 1 2 2 a? ? ? a ? 所以, G ( x) 在 [?2, ?1] 上递增, ? ?1, ? ? 上递增, ? ? ,1? 上递减, [1, 2] 上递减, 2? ? ? 2 ? 2 ? a? a 又 G(?2) ? 3 ? 3a , G ? ? ? ? ? a ? 1 , G(2) ? 3 ? a ? 2? 4
③若 ?1 ?

a2 ? a ? 1 ,所以 G( x)max ? G(2) ? 3+a ??????????????2 分 由于 3 ? a ? 4
综上, G( x)max ? ?

?0, a ? ?3 ?????????????????????1 分 ?3 ? a, ?3 ? a ? 0
8


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