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2012年高考新课标Ⅱ文科数学试题及答案(精校版,解析版,word版)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

文 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A? ?B 2.复数 z ? B.B? ?A ) C.-1+i D.-1-i C.A=B ) D.A∩B=?

?3 ? i 的共轭复数是( 2?i
B.2-i

A.2+i

3.在一组样本数据(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) (n≥2,x1, x2,…, xn 不全相等)的 散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1, 2,…,n)都在直线 y ? 据的样本相关系数为 ( A.-1 B.0 ) C.

1 x ? 1 上,则这组样本数 2

1 2

D.1

3a x2 y2 4. 设 F1、 F2 是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、 右焦点, P 为直线 x ? 上一点, △F1PF2 2 a b
是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. ) D.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 5
开始 输入 a1,a2,…,aN k=1,A=a1,B=a1 x =ak x>A 是 B=x 否 x< B 否 k≥ N 是 输出 A,B 结束 否 是 A=x k=k+1

5.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一 象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值 范围是( ) A. (1 ? 3,2) B.(0,2) C. ( 3 ? 1,2) D. (0, 3 ? 1) 6.如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1, a2,…,aN,输出 A、B,则( A.A+B 为 a1,a2,…,aN 的和 B. A ? B 为 a1,a2,…,aN 的算术平均数 2 C.A 和 B 分别为 a1,a2,…,aN 中的最大数和最小数
2012 年高考数学试题(文) 第 1 页【共 9 页】



D.A 和 B 分别为 a1,a2,…,aN 中的最小数和最大数 7.如图,网格上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三 视图,则此几何体的体积为( A.6 B.9 ) D.18 C.12

8.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距 离为 2 ,则此球的体积为( A. 6 π B.4 3 π ) C.4 6 π D.6 3 π

9.已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x = 邻的对称轴,则 ? =( π A. 4 π B. 3 )

? 5? 和x= 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相 4 4
π C. 2 3π D. 4

10.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两 点, |AB| ? 4 3 ,则 C 的实轴长为( A. 2 11.当 0< x ≤ B. 2 2 ) C.4 D.8 ) D.( 2 ,2) )

1 时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是( 2
B.( 2 ,1) 2 C.(1, 2 )

A.(0, 2 ) 2

12.数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则{ an }的前 60 项和为( A.3690 B.3660 C.1845 D.1830

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须 做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为 14.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q = 15.已知向量 a,b 夹角为 45?,且|a|=1, |2a ? b|= 10 ,则|b|= 16.设函数 f ( x ) ? . . . .

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m = x2 ? 1
第 2 页【共 9 页】

2012 年高考数学试题(文)

三、解答题: (解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题 12 分) 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 18.(本小题 12 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售. 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单 位:枝,n∈N)的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 19. (本小题 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直 底面,∠ACB=90° , AC ? BC ? 1 AA1 ,D 是棱 AA1 的中点. 2 (Ⅰ) 证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 20. (本小题 12 分)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准 线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (Ⅰ)若∠BFD=90?,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共 点,求坐标原点到 m,n 距离的比值. 21. (本小题 12 分)设函数 f (x) = ex-ax-2 (Ⅰ)求 f (x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f ? (x)+x+1>0,求 k 的最大值 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分, 做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. (本小题 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图, D, E分别为△ABC边AB, AC的中点, 直线DE交于△ABC 的外接圆于F,G两点,若CF//AB,证明:
2012 年高考数学试题(文) 第 3 页【共 9 页】
G E D F A

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

(i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的

C1 A1

B1

D C A B

B

C

(I) CD = BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD. 23. (本小题 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的 ? y ? 3sin ?

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2. 正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ( 2, (Ⅰ)点 A,B,C,D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2 的取值范围. 24. (本小题 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f (x) = |x + a| + |x-2|. (Ⅰ) 当 a =-3 时,求不等式 f (x) ≥ 3 的解集; (Ⅱ) 若 f (x) ≤ | x-4 |的解集包含[1, 2],求 a 的取值范围.

?
3

).

2012 年高考数学试题(文)

第 4 页【共 9 页】

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

文 科 数 学【参考答案】
一、选择题: 1. 【答案 B】 解析:A =(-1,2) ,故 B? ? A,故选 B. 2. 【答案 D】 解析:∵ z = 3. 【答案 D】 解析:样本相关系数的绝对值越接近于 1,相关性就越强,现在所有的样本都在直线

?3 ? i = ?1 ? i ,∴ z 的共轭复数为 ?1 ? i ,故选 D. 2?i

y?

1 x +1 上,故这组样本数据完全正相关,随意其相关系数为 1,故选 D. 2

4. 【答案 C】 解析:∵△F2PF1 是底角为 30?的等腰三角形,??PF2 A ? 60? ,

| PF2 |?| F1F2 |? 2c ,∴ | AF2 | = c ,? 2c ?
5. 【答案 A】

3 3 a ,? e ? ,故选 C. 4 2

解析:有题设知 C(1+ 3 ,2),作出直线 l0: ? x ? y ? 0 ,平移直 线 l0,有图像知,直线 l : z ? ? x ? y 过 B 点时, zmax =2,过 C 时, zmin = 1 ? 3 ,∴ z ? ? x ? y 取值范围为(1 ? 3 ,2),故选 A. 6. 【答案 C】 解析:由框图知其表示的是判断 x>A 得 A 应为 a1,a2,…, aN 中的最大数,由 x<B 得 B 应为 a1,a2,…,aN 中的最小 数,故 A 和 B 分别为 a1,a2,…,aN 中的最大数和最小数, 故选 C. 7. 【答案 B】 解析:由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边 长为 6,这边上高为 3,棱锥的高为 3,故其体积为
开始 输入 a1,a2,…,aN k=1,A=a1,B=a1 x =ak x>A 否 x< B 否 k≥ N 是 输出 A,B 结束 是 A=x k=k+1

是 B=x



1 1 ? ? 6 ? 3 ? 3 =9,故选 B. 3 2
8. 【答案 B】 解析:设求圆 O 的半径为 R,则 R ? 12 ? ( 2) 2 ? 3 ,?V ? 9. 【答案 A】
2012 年高考数学试题(文) 第 5 页【共 9 页】

4 ? R 3 ? 4 3? . 3

? 5? ? ? ? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ) = , ∴ ? = k? ? 4 2 4 ? 4 4 ? (k ?Z ) ,∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4
解析: 由题设知, 10. 【答案 C】 解析: 由题设知抛物线的准线为:x ? 4 , 设等轴双曲线方程为:x2 ? y 2 ? a 2 , 将x ? 4 代入等轴双曲线方程解得 y = ? 16 ? a2 ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a2 = 4 3 ,解 得 a =2,∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 11. 【答案 A】

?0 ? a ? 1 2 ? 1 ,解得 0 ? a ? 解析:由指数函数与对数函数的图像知 ? ,故选 A. 1 2 2 ?log a ? 4 ? 2
12. 【答案 D】 解析: 【法 1】 有题设知 a2 ? a1 =1①,a3 ? a2 =3②,a4 ? a3 =5③,a5 ? a4 =7,a6 ? a5 =9, …… a7 ? a6 =11,a8 ? a7 =13,a9 ? a8 =15,a10 ? a9 =17,a11 ? a10 =19,a12 ? a11 ? 21 , ∴②-①得 a1 ? a3 =2, ③+②得 a4 ? a2 =8, 同理可得 a5 ? a7 =2, a9 ? a11 =2, a6 ? a8 =24, …, ∴ a1 ? a3 ,a5 ? a7 ,a9 ? a11 , …, 是各项均为 2 的常数列,a2 ? a4 , a10 ? a12 =40,

a6 ? a8 , a10 ? a12 ,…是首项为 8,公差为 16 的等差数列,∴{ an }的前 60 项和为
1 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? ?16 ?15 ?14 =1830. 2
【法 2】 bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0
二、填空题: 13. 【答案 4 x ? y ? 3 ? 0 】

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830

解析:∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 . 14. 【答案 -2】 解析:当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是等 比数列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得, 15. 【答案 3 2 】 解析:∵ | 2a ? b |= 10 ,平方得 4a2 ? 4a ? b + b2 ? 10 ,即 | b |2 ?2 2 | b | ?6 ? 0 ,解得

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q

| b |= 3 2 或 ? 2 (舍)
2012 年高考数学试题(文) 第 6 页【共 9 页】

16. 【答案 2】

2 x ? sin x 2 x ? sin x ,设 g ( x) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, 2 x ?1 x2 ? 1 ∵ f ( x ) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1,
解析: f ( x ) = 1 ? ∴ M ? 1 ? m ? 1 ? 0 , M ? m =2. 三、解答题: 17. 解析: (Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c cos A 及正弦定理得 3sin Asin C ? cos Asin C ? sin C , 由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? (Ⅱ) ?ABC 的面积 S =

?
6

)?

1 ? ,又 0 ? A ? ? ,故 A ? . 2 3

1 bc sin A = 3 ,故 bc =4,而 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,故 2

c 2 ? b 2 =8,解得 b ? c =2.
18. 解析: (Ⅰ) 当日需求量 n ? 17 时, 利润 y=85; 当日需求量 n ? 17 时, 利润 y ? 10n ? 85 , ∴ y 关于 n 的解析式为 y ? ?

?10n ? 85, n ? 17 (n ? N ) . n ? 17 ?85,

(Ⅱ)(i)这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利 润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的平均利润为

1 (55 ?10 ? 65 ? 20 ? 75 ?16 ? 85 ? 54) =76.4 . 100
(ii)利润不低于 75 元当且仅当日需求不少于 16 枝, 故当天的利润不少于 75 元的概率为

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.1 ? 0.7
19. 解析: (Ⅰ) 由题设知 BC⊥CC1, BC⊥AC, CC1∩AC=C,∴BC⊥面 ACC1A1, 又∵DC1 ? 面 ACC1A1,∴DC1⊥BC,由题设知∠A1DC1=∠ADC =45?,∴∠CDC1=90?,即 DC1⊥ DC,又∵DC∩BC=C, ∴DC1⊥面 BDC,∵DC1 ? 面 BDC1, ∴面 BDC⊥面 BDC1 . (Ⅱ)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1 , AC =1 ,由题意得,
A1 D C A B C1 B1

1 1? 2 1 V1 ? ? ? 1 ? 1 ? ,由三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V ? 1 , 3 2 2
∴ (V ? V1 ) : V1 ? 1:1 , ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 20. 解析: (Ⅰ)设准线 l 于 y 轴的焦点为 E,圆 F 的半径为 r ,则 |FE|= p ,|FA|=|FB|=|FD|= r ,E 是 BD 的中点,∵ ?BFD ? 900 , ∴ | FA |?| FB|= | FD |? 2 p ,|BD|= 2 p ,设 A( x0 , y0 ),根据 抛物线定义得, |FA|=

p ? y0 ,∵ ?ABD 的面积为 4 2 ,∴ 2
第 7 页【共 9 页】

2012 年高考数学试题(文)

1 p 1 S?ABD = | BD | ( y0 ? ) = ? 2 p ? 2 p = 4 2 ,解得 p =2,∴F(0,1), |FA|= 2 2 , 2 2 2
∴圆 F 的方程为: x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 . (Ⅱ) 【方法 1 】∵ A , B , F 三点在同一条直线 m 上 , ∴ AB 是圆 F 的直径,

1 ?ADB ? 900 ,由抛物线定义知 | AD |?| FA |? | AB | ,∴ ?ABD ? 300 ,∴ m 的斜率为 2

3 3 p 3 或- ,∴直线 m 的方程为: y ? ? x ? ,∴原点到直线 m 的距离 3 3 2 3

d1 =
x2 ?

3 3 p ,设直线 n 的方程为: y? ? x ? b, 代 入 x2 ? 2 p y得 , 4 3
4 2 3 x ? 2 pb ? 0 , ∵ n 与 C 只 有 一 个 公 共 点 , ∴ ? = p 2 ? 8 pb ? 0 , ∴ 3 3 p 3 3 p ,∴直线 n 的方程为: y ? ? p, x ? ,∴原点到直线 n 的距离 d2 = 6 12 3 6
3 3 p: p ? 3. 4 12

b??

∴坐标原点到 m , n 距离的比值为 【方法 2】由对称性设 A( x0 ,

2 p x0 )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) ,点 A, B 关于点 F 对称得: 2 2p

B(? x0 , p ?

2 3p x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p 2 得 A( 3 p, ) , 2 2p 2p 2

3p p ? 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 , 直线 m : y ? 2 2 2 3p

3p p x2 x 3 3 , ), x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3
2

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p ? 0, 6 3 3 6
3p 3p : ?3. 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

21.解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (??, ??) , f ?( x) ? e x ? a ,若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,所以
f ( x ) 在 (??, ??) 单调递增. 若 a ? 0 ,则当 x ? (??,ln a ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a, ?? )

时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( ??,ln a) 单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增. ( Ⅱ ) 由 于 a ? 1 , 所 以 ( x ? k ) f? ( x)? x? 1? ( x ? k )x(e ? 1) 故当 x ? 0 时, ? x ?. 1
2012 年高考数学试题(文) 第 8 页【共 9 页】

( x ? k ) f ?( x) ? x ? 1 ? 0 等 价 于 k ?

x ?1 ? x ( x ? 0) (e x ? 1)

x ?1 ① . 令 g ( x) ? x ? x ,则 (e ? 1)

g ?( x) ?

? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) . ?1 ? x 2 (e ? 1) (e x ? 1)2

由(Ⅰ)知,函数 h( x) ? e x ? x ? 2 在 (0, ??) 单调递增,而 h(1) ? 0 , h(2) ? 0 ,所 以 h( x ) ,在 (0, ??) 存在唯一的零,故 g ?( x ) 在 (0, ??) 存在唯一的零点. 设此零点为 则 a ?1 ( ,2 ) a, . 当 x ? (0, a ) 时,g ?( x ) ? 0 ; 当 x ? (a , ?? ) 时,g ?( x ) ? 0 . 所以 g ( x )
a

在 (0, ??) 的最小值为 g ( a ) . 又由 g ?(a) ? 0 , 可得 e ? a ? 2 , 所以 g (a ) ? a ? 1 ? (2,3) . 由于①式等价于 k ? g (a ) ,故整数 k 的最大值为 2. 22.解析: (Ⅰ)∵D,E 分别为△ABC 边 AB,AC 的中点,∴DE//BC. ∵CF//AB,DF//BC,∴CF//BD 且 CF=BD,∵又 D 为 AB 的中点, ∴CF//AD 且 CF=AD,∴CD=AF. ∵CF//AB,∴BC=AF,∴CD=BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC // GF,∴GB = CF = BD,∠BGD =∠BDG = ∠DBC=∠BDC,∴△BCD∽△GBD. 23.解析: (Ⅰ)依题意,点 A,B,C,D 的极坐标分别为 (2, ), (2,
A

G

E D

F

B

C

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ). 3 6 3 6 所以点 A,B,C,D 的直角坐标分别为 (1, 3) 、 (? 3,1) 、 (?1, ? 3) 、 ( 3, ?1) .
(Ⅱ) 设 P ? 2cos?,3sin ? ? ,则 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 ? (1 ? 2cos ?)2 ? ( 3 ? 3sin ?)2

?

?(? 3 ? 2cos?)2 ? (1? 3sin ?)2 ? (?1 ? 2cos ?)2 ? (? 3 ? 3sin ?)2 ? ( 3 ? 2cos ?)2 ? (?1 ? 3sin ? )2 ? 16cos2 ? ? 36sin2 ? ?16 ? 32 ? 20sin 2 ? ??32,52? .
所以 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围为 ?32,52? . 24. 解析: (Ⅰ) 当 a ? ?3 时, 不等式 f ( x) ? 3 ? | x ? 3| ? | x ? 2 |? 3 ? ? 或?

? ?x ? 2 ? ? ? ? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 3

? ? ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 或? ? 或 x ? 4 . 所以当 a ? ?3 时,不等 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

式 f ( x) ? 3 的解集为 x x ? 1 或 x ? 4? .

?

2| |? x? 4| (Ⅱ)f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] , 即 | x ?a | ?| x ?

即 | x ? a |? 2 对 x ??1, 2? 恒 成 立 , 即 ?2 ? a ? x ? 2 ? a 对 x ??1, 2? 恒 成 立 , 所 以

对 x ??1, 2? 恒成立,

??2 ? a ? 1 ,即 ?3 ? a ? 0 . 故 a 的取值范围为 ? ?3,0? . ? 2 ? a ? 2 ?

2012 年高考数学试题(文)

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