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安徽省安庆市怀宁县高河中学2015-2016学年高二(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二(上)第二次 月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一项是符合题目要 求的) . 1.怀宁县电器开关厂生产车间用传送带将产品送至下一工序,质检人员每隔半小时在传送 带上取一件产品进行检验,则这种抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样 C.分层抽样 D.随机数表法 2.下列事件为随机事件的是( ) A.抛一个硬币,落地后正面朝上或反面朝上 B.边长为 a,b 的长方形面积为 ab C.从含有 10%次品的 100 个零件中取出 2 个,2 个都是次品 D.平时的百分制考试中,小强的考试成绩为 105 分 3.某路口,红灯时间为 30 秒,黄灯时间为 5 秒,绿灯时间为 45 秒,当你到这个路口时, 看到黄灯的概率是( A. B. C. ) D. )

4.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图所示) ,则(

A.甲篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 26 B.甲篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 27 C.乙篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 31 D.乙篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 36 5.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得到一 组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6 D.62.8,3.6 6.二进制数 101110 转化为八进制数是( ) A.45 B.56 C.67 D.76 7.椭圆 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若 )

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( A. B. C. D.
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8.下列命题中,真命题是( A.? x0∈[0,



],sinx0+cosx0≥2 B.? x∈(3,+∞) ,x2>2x+1

C.? x0∈R,x02+x0=﹣1 D.? x∈R,tanx≥sinx 9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密) ,接收方由密文→明文 (解密) ,已知加密规则如图所示,例如明文 1,2,3,4,对应密文 5,7,18,16.当对方 收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为( )

A.4,6,1,7 B.6,4,1,7 C.1,6,4,7 D.7,6,1,4 10.已知数据(x1,y1) 、 (x2,y2)…(x10,y10)满足线性回归方程 = x+ ,则“(x0,y0) 满足线性回归方程 = x+ ”是“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.在椭圆 A.x+4y﹣5=0 + =1 内,通过点 M(1,1) ,且被这点平分的弦所在的直线方程为( B.x﹣4y﹣5=0 C.4x+y﹣5=0 D.4x﹣y﹣5=0 的左焦点为 F ) ) ”的( )

12.已知圆 M:x2+y2+2mx﹣3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 (﹣c,0) ,若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为( A. B.1 C.2 D.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) . 13.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示: 性别 男 女 人数 生活能否自理 178 278 能 23 21 不能
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则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人. 2 2 14.若 a≤b,则 ac ≤bc ,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数 是 . 15.曲线 为椭圆的充要条件为 .

16.从 4 名男生和 2 名女生中任选 2 人参加演讲比赛,则所选 2 人中恰有 1 名女生的概率 是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 17.设条件 p:2x2﹣3x+1≤0,条件 q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要 不充分条件,求实数 a 的取值范围. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ,在 y 轴上截得线段 长为 2 . (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.

19.小龙与小虎约好国庆节去天柱山游玩,决定十月一日早晨 7:45 到 8:15 在高河新车站 会面,并约定先到者等候另一人 15 分钟,若未等到,可直接乘车前往天柱山,求小龙与小 虎一同前往天柱山的概率是多少? 20.某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试 成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人.抽取出 来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)求平均成绩; (3)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于 90 分的概率.

21.把一颗骰子抛掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 数为 b. (1)求 a+b 能被 3 整除的概率. (2)求使方程 x2﹣ax+b=0 有解的概率. (3)求使方程组 只有正数解的概率.

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22.某厂生产一种仪器,由于受生产能力与技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知 道,该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x(件) (x∈N*)之间大体满足如框图所示的关 系(注:次品率 ,如 P=0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件次品,其余为合格

品) .又已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A(元) ,但每生产一件次品将亏损 (元) . (Ⅰ)求日盈利额 T(元)与日产量 x(件) (x∈N*)的函数关系; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润?

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2015-2016 学年安徽省安庆市怀宁县高河中学高二(上) 第二次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一项是符合题目要 求的) . 1.怀宁县电器开关厂生产车间用传送带将产品送至下一工序,质检人员每隔半小时在传送 带上取一件产品进行检验,则这种抽样方法是( ) A.抽签法 B.系统抽样 C.分层抽样 D.随机数表法 【考点】系统抽样方法. 【分析】根据系统抽样的定义即可得到结论. 【解答】解:由于质检人员每隔半小时在传送带上取一件产品进行检验,样本间隔相同, 则这种抽样方法是系统抽样, 故选 B. 2.下列事件为随机事件的是( ) A.抛一个硬币,落地后正面朝上或反面朝上 B.边长为 a,b 的长方形面积为 ab C.从含有 10%次品的 100 个零件中取出 2 个,2 个都是次品 D.平时的百分制考试中,小强的考试成绩为 105 分 【考点】随机事件. 【分析】应用随机事件,必然事件,不可能事件的概念逐一判断即可. 【解答】解:抛一个硬币,落地后正面朝上或反面朝上都有可能,为随机事件,∴A 正确; 长方形面积为长乘宽,∴边长为 a,b 的长方形面积为 ab,为必然事件,∴B 错误; 100 个零件不知是合格品还是次品,从 100 个零件中取出 2 个,不能判断是随机事件,必然 事件,还是不可能事件,∴C 错误; 在百分制考试中,考试成绩不可能为 105 分,∴小强的考试成绩为 105 分为不可能事件,∴ D 错误. 故选:A. 3.某路口,红灯时间为 30 秒,黄灯时间为 5 秒,绿灯时间为 45 秒,当你到这个路口时, 看到黄灯的概率是( A. B. C. ) D.

【考点】几何概型. 【分析】本题是几何概型,以长度为测度,试验发生包含的事件是总的时间长度为 30+5+45=80 秒,黄灯时间为 5 秒,故可求概率. 【解答】解:由题意知本题是几何概型,以长度为测度 试验发生包含的事件是总的时间长度为 30+5+45=80 秒,黄灯时间为 5 秒, 故到这个路口时,看到黄灯的概率是 =
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故选 D. 4.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图(如图所示) ,则( )

A.甲篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 26 B.甲篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 27 C.乙篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 31 D.乙篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 36 【考点】极差、方差与标准差;茎叶图;众数、中位数、平均数. 【分析】由茎叶图,数据的稳定程度与茎叶图形状的关系,茎叶图中各组数据大部分集中在 某个叶上,表示该组数据越稳定. 判断出乙篮球运动员比赛得分更稳定,再求出其中位数即可. 【解答】解:由茎叶图可知,乙运动员的得分大部分集中在 30~40 分之间,而甲运动员的 得分相对比较散 故乙篮球运动员比赛得分更稳定. 乙篮球运动员共有 13 个得分,由茎叶图由小到大排列后处于中间第 7 位的是 36 故选 D 5.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得到一 组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6 D.62.8,3.6 【考点】极差、方差与标准差. 【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式,把数据都加上 60 以后,再表 示出新数据的平均数和方差的表示式,两部分进行比较,得到结果. 【解答】解:设这组数据分别为 x1,x2,xn,则 = (x1+x2+…+xn) , 方差为 s2= [(x1﹣ )2+…+(xn﹣ )2],

每一组数据都加 60 后, ′= (x1+x2+…+xn+60n)= +60 =2.8+60=62.8, 方差 s′2= =s2=3.6. 故选 D
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+…+(xn+60﹣62.8)2]

6.二进制数 101110 转化为八进制数是( A.45 B.56 C.67 D.76



【考点】进位制;排序问题与算法的多样性. 【分析】 由二进制转化为十进制的方法, 我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重, 即可得到十进制数,再利用“除 k 取余法”是将十进制数除以 8,然后将商继续除以 8,直到 商为 0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案. 【解答】解:101110(2)=0×20+1×21+1×22+1×23+1×25=46 46÷8=5…6 5÷8=0…5 故 46(10)=56(8) 故选 B.

7.椭圆

(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若 )

|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质;等比关系的确定. 【分析】由题意可得,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成 等比数列可得到 e2= = ,从而得到答案.

【解答】解:设该椭圆的半焦距为 c,由题意可得,|AF1|=a﹣c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, ∵|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, ∴(2c)2=(a﹣c) (a+c) , ∴ = ,即 e2= ,

∴e=

,即此椭圆的离心率为



故选 B. 8.下列命题中,真命题是( A.? x0∈[0, )

],sinx0+cosx0≥2 B.? x∈(3,+∞) ,x2>2x+1

C.? x0∈R,x02+x0=﹣1 D.? x∈R,tanx≥sinx 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】利用特称命题与全称命题的判断真假即可. 【解答】解:对于 A,? x0∈[0, ],sinx0+cosx0≤ .所以 A 不正确;

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对于 B,y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2,二次函数的开口向上,对称轴为 x=1,x∈(3,+∞) , 2 函数是增函数,f(3)=2,f(x)>f(3)>0,所以? x∈(3,+∞) ,x >2x+1 恒成立,所 以 B 正确; 对于 C, ,因为△=﹣3<0,所以方程无解,所以 C 不正确; 时不等式不成立,所以 D 不正确;

对于 D,? x∈R,tanx≥sinx,利用 x= 故选:B.

9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密) ,接收方由密文→明文 (解密) ,已知加密规则如图所示,例如明文 1,2,3,4,对应密文 5,7,18,16.当对方 收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为( )

A.4,6,1,7

B.6,4,1,7

C.1,6,4,7

D.7,6,1,4

【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图可得明文和密文对应的关系式,解方程组即可得到结论.

【解答】解:由

解得



故选:B. 10.已知数据(x1,y1) 、 (x2,y2)…(x10,y10)满足线性回归方程 = x+ ,则“(x0,y0) 满足线性回归方程 = x+ ”是“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】线性回归方程. 【分析】本题考查的知识点是线性回归方程的性质,由线性回归的性质我们可得:回归直线 必过( , )点,故我们可以从中看出 X,Y 的平均数,则( , )即为样本中心点必满 足线性回归方程 ,反之不成立. ”的( )

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【解答】解:∵ 故样本中心点(x0,y0)必满足线性回归方程 , 、 反之,若(x0,y0)=(x1,y1)时,也满足线性回归方程,故反过来不成立. 故选 B.

11.在椭圆 A.x+4y﹣5=0

+

=1 内,通过点 M(1,1) ,且被这点平分的弦所在的直线方程为( B.x﹣4y﹣5=0 C.4x+y﹣5=0 D.4x﹣y﹣5=0



【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】设出以点 M(1,1)为中点的弦两端点为 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,利用点差法 可求得以 M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率.再由点斜式可求得直线方程. 【解答】解:设以点 M(1,1)为中点的弦两端点为 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) , 则 x1+x2=2,y1+y2=2. 又 ,①

,②

①﹣②得: 又据对称性知 x1≠x2, ∴以点 M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率 k=﹣ , ∴中点弦所在直线方程为 y﹣1=﹣ (x﹣1) ,即 x+4y﹣5=0. 故选 A.

=0

12.已知圆 M:x2+y2+2mx﹣3=0(m<0)的半径为 2,椭圆 (﹣c,0) ,若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为( A. B.1 C.2 D.4

的左焦点为 F )

【考点】椭圆的简单性质;圆的一般方程. 【分析】先确定圆的圆心坐标,再利用垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,可求 c 的值,进而可求 a 的值. 【解答】解:∵圆 M:x2+y2+2mx﹣3=0(m<0)的半径为 2 ∴m2+3=4 ∴m2=1
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∵m<0 ∴m=﹣1 ∴圆心 M 的坐标为(1,0) ∵垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切 ∴c=1 ∴a2=1+3=4 ∴a=2 故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) . 13.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示: 性别 男 女 人数 生活能否自理 178 278 能 23 21 不能 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 60 人. 【考点】简单随机抽样. 【分析】在抽取的 500 人的样本中,有 23 名男性不能自理,有 21 名女性不能自理,所以 500 人中,男性比女性多 2 人,而总人数是 15000,是样本的 30 倍,所以男性比女性多 60 人. 【解答】解:由表得 故答案为:60 14.若 a≤b,则 ac2≤bc2,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数 是 2 . 【考点】四种命题. 【分析】首先,判断原命题为假命题,然后,分别写出它的其它三种形式的命题,然后,分 别判断真假. 【解答】解:若 a≤b,则 ac2≤bc2,为真命题; 逆命题为:若 ac2≤bc2,则 a≤b,为假命题; 否命题:若 a>b,则 ac2>bc2,为假命题; 逆否命题:若 ac2>bc2,则 a>b,为真命题; 故正确命题的个数为 2, 故答案为:2. .

15.曲线

为椭圆的充要条件为

m>0,n>0 且 m≠n



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用椭圆的简单性质写出结果即可. 【解答】解:曲线 为椭圆的充要条件为:m>0,n>0 且 m≠n.
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故答案为:m>0,n>0 且 m≠n. 16. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 2 人参加演讲比赛, 则所选 2 人中恰有 1 名女生的概率是 . 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】由题意可知为等可能事件,由排列组合的知识可得分别求得所包含的基本事件数, 由概率公式可得答案. 【解答】解:由题意可知:本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是从 4 名男生和 2 名女生中任选 2 人,共有 满足条件的事件是 2 人中有 1 名女生,1 名男生,共有 根据等可能事件的概率公式得到 P= 故答案为: , =15 种结果,

=8 种结果,

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 17.设条件 p:2x2﹣3x+1≤0,条件 q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要 不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】利用不等式的解法求解出命题 p,q 中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关 于字母 a 的不等式,从而求解出 a 的取值范围. 【解答】解:由题意得,命题 ∵?p 是?q 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件, 即 A? B, ∴ ∴ . , ,命题 q:B={x|a≤x≤a+1},

故实数 a 的取值范围为[0, ].

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 长为 2 . (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.

,在 y 轴上截得线段

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)设圆心为 P(a,b) ,半径为 R,由题意知 R2﹣b2=2,R2﹣a2=3,由此能求出 圆心 P 的轨迹方程.
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(Ⅱ)由题意知

,由此能求出圆 P 的方程.

【解答】解: (Ⅰ)设圆心为 P(a,b) ,半径为 R, ∵圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ,在 y 轴上截得线段长为 2 ∴由题意知 R2﹣b2=2, R2﹣a2=3, ∴b2﹣a2=1, ∴圆心 P 的轨迹方程为为 y2﹣x2=1.



(Ⅱ)由题意知



解得 a=0,b=1,R= 或 a=0,b=﹣1,R= ∴满足条件的圆 P 有两个: x2+(y﹣1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.



19.小龙与小虎约好国庆节去天柱山游玩,决定十月一日早晨 7:45 到 8:15 在高河新车站 会面,并约定先到者等候另一人 15 分钟,若未等到,可直接乘车前往天柱山,求小龙与小 虎一同前往天柱山的概率是多少? 【考点】几何概型. y) 【分析】 由题意知本题是一个几何概型, 试验发生包含的所有事件对应的集合是 Ω={ (x, | , }做出集合对应的面积是边长为 的正方形的面积,写出满

足条件的事件对应的集合和面积,根据面积之比得到概率. 【解答】解:设小龙和小虎到达高河新车站的时间分别为 x、y,则有: , 当且仅当 时,小龙与小虎能一同前往天柱山, ,

记“小龙与小虎一同前往天柱山”为事件 A 则全体事件构成的区域 Ω 是边长为 的正方形,因此: 事件 A 构成的区域为正方形内夹在两平行直线 因此: 之间的部分,

依据几何概率的计算公式得:

所以:小龙与小虎一同前往天柱山的概率是 .
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20.某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试 成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人.抽取出 来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示,其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)求平均成绩; (3)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于 90 分的概率.

【考点】频率分布直方图;频率分布表. 【分析】 (1)根据频率分布图,求出抽取的学生总数,由等差数列的知识,求出各班被抽取 的学生数; (2)求出样本数据的平均数即可; (3)求出分数不小于 90(分)的频率即可. 【解答】解: (1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为 =100(人) ;

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d, 由 4×22+6d=100,解得 d=2; ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人;… (2)样本数据的平均数是 75×0.05+85×0.20+95×0.35+105×0.25+115×0.10+125×0.05=98, ∴平均成绩为 98; … (3)在抽取的学生中,任取一名学生,分数不小于 90(分)的概率为
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0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. … 21.把一颗骰子抛掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点 数为 b. (1)求 a+b 能被 3 整除的概率. (2)求使方程 x2﹣ax+b=0 有解的概率. (3)求使方程组 只有正数解的概率.

【考点】等可能事件的概率. 【分析】由题意知本题是一个等可能事件的概率问题.利用等可能事件的概率公式 P= , 其中 n=36 为基本事件总个数, .m 为所求事件包括的基本事件个数.列举出所有满足条件 的事件,根据概率公式得到结果. (1)逐一列举 a+b 能被 3 整除”包括的基本事共有 12 种. (2)方程 x2﹣ax+b=0 有解的条件是 a2﹣4b≥0.逐一列举包括 19 个基本事件. (3)先令 化简事件,然后列举出事件包含的基本事件,利

用古典概型的概率公式求出值. 【解答】解:把一颗骰子抛掷 2 次,共有 36 个基本事件.… (1)设“a+b 能被 3 整除”为事件 A,事件包含的基本事件为: (1,2) , (2,1) ; (1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1) ; (3,6) , (4,5) , (5,4) , (6,3) , (6,6) . … 则 P(A)=1/3 2 (2)设“使方程 x ﹣ax+b=0 有解”为事件 B,须满足条件:a2﹣4b≥0 即 a2≥4b… 事件包含的基本事件为: (2,1) , (4,4) , (3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (5, 1) , (5,2) , (5,3) (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)共 19 个.… P(B)= (3)“使方程组 … 只有正数解”为事件 C,须满足条件: 具体为:…

①若 2a﹣b>0 须:



满足条件的事件为(2,2) (2,1) (3,2) (3,1) (4,2) (4,1) (5,2) (5,1) (6,2) 6 1 ( , )

②若 2a﹣b<0 须:



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满足条件的事件为(1,4) (1,5) (1,6) P(C)= …

22.某厂生产一种仪器,由于受生产能力与技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验知 道,该厂生产这种仪器,次品率 P 与日产量 x(件) (x∈N*)之间大体满足如框图所示的关 系(注:次品率 ,如 P=0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件次品,其余为合格

品) .又已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A(元) ,但每生产一件次品将亏损 (元) . (Ⅰ)求日盈利额 T(元)与日产量 x(件) (x∈N*)的函数关系; (Ⅱ)当日产量为多少时,可获得最大利润?

【考点】程序框图. 【分析】 (Ⅰ)每天的赢利为 T=日产量(x)×正品率(1﹣P)×盈利(A)﹣日产量(x) ×次品率(P)×亏损,整理即可得到; (Ⅱ)当 x>c 时,每天的盈利额 T=0;当 1≤c<84 时,利用基本不等式可得 x=c 时,等号 成立,利润最大;当 84≤c<96 时,当 x=84 时,利润最大. 【解答】解: (Ⅰ)当 1≤x≤c 时,T=(1﹣ 当 x>c 时,T= xA﹣ x =0, )xA﹣ xA=[x﹣ ]A,

…3 分

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(Ⅱ) (1)当 x>c 时,每天的盈利额 T=0; (2)当 1≤x≤c 且 x∈N 时, 令 96﹣x=t,则 0<96﹣c≤t≤95(t∈N) , 可得: 令 , , ,

①当 1≤c<84 时,12<96﹣c<t≤95,g(t)在区间(12,95)为单增函数, 可得: ,

(当且仅当 x=c 时取等号) ,

∴当 x=c 时,Tmax=

A,…9 分

②当 84≤c<96 时, ∴当 t=12 即 x=84 时,Tmax= A





综上,当 1≤c<84 时,Tmax=

A;84≤c<96 时,Tmax=

A…12 分

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2016 年 11 月 11 日

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