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2015届高考数学总复习(人教a版,理科)配套题库: 平面向量的数量积(含答案解析)


第 3 讲 平面向量的数量积 一、选择题 1.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=( A.4 C.2 解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c, B.3 D.0 ) 则 c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 答案 D ) ?a·a? ? b, 2. 若向量 a 与 b 不共线, a·b≠0, 且 c=a-? 则向量 a 与 c 的夹角为( ?a·b? π π π A.0 B. C. D. 6 3 2 ? ?a·a? ? ?b? 解析 ∵a·c=a·?a-? ? ?a·b? ? 2 ? a ? ?a·b=a2-a2=0, =a·a-? a·b ? ? π 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉= ,故选 D. 2 答案 D 3.若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c· (a+2b)= A.4 B.3 C.2 D.0 ( ). 解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0. 答案 D → =λAB → ,AQ → =(1-λ)AC →, 4.已知△ABC 为等边三角形,AB=2.设点 P,Q 满足AP →· → =-3,则 λ 等于 λ∈R.若BQ CP 2 1 A.2 1± 10 C. 2 1± 2 B. 2 D. -3± 2 2 2 ( ). 解析 以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 B(2,0), → =λAB → ,得 P(2λ,0),由AQ → =(1-λ)AC → ,得 Q(1-λ, 3(1- C(1, 3),由AP → → λ)),所以BQ· CP=(-λ-1, 3(1-λ))· (2λ-1,- 3)=-(λ+1)(2λ-1)- 3 3 1 × 3(1-λ)=-2,解得 λ=2.] 答案 A 5.若 a,b,c 均为单位向量,且 a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c| 的最大值为( A. 2-1 解析 ). B.1 C. 2 D.2 由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2 2 =1,由 a·b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c =1,因为 |a + b - c|2 = a2 + b2 + c2 + 2a·b - 2a·c - 2b·c ,所以有 |a + b - c|2 = 3 - 2(a·c+b·c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案 B α· β 6.对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α β= β· β .若平面向量 a,b 满足 ?n ? π? ? |a|≥|b|>0,a 与 b 的夹角 θ∈?0,4?,且 a b 和 b a 都在集合?2|n∈Z ?中,则 ? ? ? ? a b= 1 A.2 B.1 3 C.2 5 D.2 ( ). α· β a· b |a|· |b|cos θ |b|cos θ 解析 由定义 α β= β2 可得 b a= a2 = |a|2 = |a| ,由|a|≥|b|>0,及 θ π? |b|cos θ |b|cos θ 1 a· b |a|· |b|cos θ ? ∈?0,4?得 0< |a| <1, 从而 |a| =2, 即|a|=2|b|cos θ.a b= b2 = |b|2 ? ? = π? |a|cos θ 2 1 ? 2 ?0,4?,所以 <cos θ<1,所以 <cos2θ<1,所以 = 2cos θ ,因为 θ ∈ |b| 2

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