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(新人教版选修1-1)数学:3.2.1几个常用函数的导数学案


3.2.1 几个常用函数的导数学案
学习目标
1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数; 2. 利用公式解决简单的问题。

学习重点和难点

[来源:21 世纪教育网]

1.重点:推导几个常用函数的导数; 2.难点:推导几个常用函数的导数。

学习过程
一.自学、思考、练习 忆一忆? 1、函数在一点处导数的定义; 2、导数的几何意义; 3、导函数的定义; 4、求函数的导数的步骤。 二、知识的应用
21 世纪教育网

例 1.推导下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) (5)

f ( x) = c f ( x) = x

f ( x) = x 2 1 f ( x) = x f ( x) = x
y = 2 x, y = 3 x, y = 4 x 的图象,并根据导数定义求出它们的导数

[来源:21 世纪教育网]

例 2.在同一坐标系中画出函数

(1)从图象看它们的导数分别表示什么; (2)这三个函数中,哪个增加的最快,哪个增加的最慢; (3)函数

y = kx(k ≠ 0) 的导数是什么,它的增减快慢与什么有关。

例 3.试猜想函数

f ( x) = x n , n ∈ Q 的导数,并证明。

例 4.已知曲线

y = x+

1 5 上一点 A( 2, ) ,用斜率定义求: x 2
[来源:21 世纪教育网]

(1)点 A 的切线的斜率 (2)点 A 处的切线方程



练习 1.如果函数 f ( x ) = 5 ,则 f (1) = (
'

) D.不存在 )
21 世纪教育网

A. 5
2

B. 1

C. 0

2.曲线 y = ?2 x + 1 在点(0,1)的切线斜率是( A.-4 B.0 C.2 D. 不存在 )

1 2 1 3.曲线 y = x 在点 (1, ) 处切线的倾斜角为( 2 2
A. ? 答案: 1.C 2.B 3.C

π

4

B. 1

C.

π

4

D.

5π 4

四.自我测试(见同步试题) 五、小结

六 作业 1.

P85 ,A 组 1

2.求双曲线 y =

1 1 过点 (2, ) 的切线方程。 x 2

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【学习目标】记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则,理解导数运算法则是
把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题;能通过运算法则求出导 数后解决实际问题. 新课: 一、新课: 1、基本初等函数的导数公式

1.若f ( x) = c, 2.若f ( x) = x n (n ∈ Q* ), 3.若f ( x) = sin x, 4.若f ( x) = cos x, 5.若f ( x) = a x , 6.若f ( x) = e x , 7.若f ( x) = log a x, 8.若f ( x) = ln x,
2、例题 、 P83 例 1

练习 1、求下列函数的导数。 (1) y= 5 (2) y= x 4 (3)
3.【运算法则】 【运算法则】 法则 (1) [ f ( x ) ± g ( x )] = )

y= x -2

(4)y= 2 x

(5) y=log3x
; ;



′ 推广: [ f ( x1 ) + f ( x 2 ) + L + f ( x n )] =
(2) f ( x ) ? g ( x ) ] = [



;cf (x )] = [



(c ∈ R ) ;

′ ? f ( x) ? (3) ? ? = ? g ( x) ?
4、讲解例题 、

′ ? 1 ? . ? ? = ? f ( x) ?

.

3 例 2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y = x ? 2 x + 3 的导数.

解:

练习: 求下列函数的导数 (1) y = sin x + 3 x 2 ? x (2) y = (2 x + 1)(3 x + 2) (3) y = tan x

(4) y = e x ln x (5) y =

x x +1

所需净化 例 3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高, 费用不断增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用(单位:元)为 5284 c( x ) = (80 < x < 100). 100 ? x 求净化到下列纯度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1) 90% ;(2) 98% .

例4

已知函数 y = x ln x. (1) 求这个函数的导数;(2)这个函数在点 x = 1 处的切线方程.

二、小结 : 1、基本初等函数的导数公式

2、导数运算法则 、

三、课后作业: 课后作业:



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