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2013高考数学分类汇编-导数模块


2013 高考数学—导数分类汇编
1. 2013 山东卷理 21) ( 设函数 f ( x) ? (1)求 f (x) 的单调区间、最大值; (2)讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 的根的个数;

x ? c( e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数,x ? R ) e2x

2.(2013 陕西卷理 21)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R (1) 若直线 y ? kx ? 1 与 f (x) 的反函数的图像相切,求实数 k 的值; (2) 设 x ? 0 ,讨论曲线 y ? f (x) 与曲线 y ? mx2 ( m ? 0 )的公共点个数; (3) 设 a ? b ,比较

f ( a ) ? f (b ) f (b ) ? f ( a ) 与 的大小,并说明理由。 2 b?a

3.(2013 新课标 2 卷理 10)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论错误的是

A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0

B. 函数 y ? f (x) 的图像是中心对称图形
C. 若 x0 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减

D. 若 x0 是 f (x) 的极值点,则 f ' ( x0 ) ? 0

4.(2013 新课标 2 卷 21)已知函数 f ( x) ? e ? ln(x ? m)
x

(1)设 x ? 0 是 f (x) 的极值点,求 m ,并讨论 f (x) 单调性; (2)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0

5. (2013 新课标 1 卷 21) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b , ( x) ? e x (cx ? d ) , 若曲线 y ? f (x) g 和曲线 y ? g (x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P 处都有相同的切线 y ? 4 x ? 2 (1)求 a, b, c, d 的值; (2)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg( x) ,求 k 的取值范围

6. ( 2013 江 西 卷 理 13 ) 设 函 数 f (x) 在 (0,??) 内 可 导 , 且 f (e x ) ? x ? e x , 则

f ' (1) ?



7.(2013 江西卷理 21)已知函数 f ( x) ? a(1 ? 2 x ? (1)证明:函数 f (x) 的图像关于 x ?

1 ) , a 为常数且 a ? 0 2

1 对称; 2

(2)若 x0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 ,但 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点,如果 f (x) 有两个二阶周期点 x1 , x 2 ,试确定 a 的取值范围。 (3)对于(2)中的 x1 , x 2 和 a ,设 x3 为函数 f ( f ( x)) 的最大值点, A( x1 , f ( f ( x1 ))) ,

B( x2 , f ( f ( x2 ))) , C( x3 ,0) ,记 ?ABC 的面积为 S (a) ,讨论 S (a) 的单调性。

8.(2013)若函数 f ( x ) ? x ? ax ?
2

1 1 在 ( ,?? ) 是增函数,则 a 的取值范围是 x 2
C. [0,3] D. [3,??)

A. [?1,0]

B. [?1,??)

9.(2013 大纲卷理 22)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值; (2)设数列 {an } 的通项 a n ? 1 ?

x(1 ? ?x) 1? x

1 1 1 1 ? ? ? ? ,证明: a 2 n ? a n ? ? ln 2 2 3 n 4n

10.(2013 辽宁卷理 12)设函数 f (x) 满足 x f ( x) ? 2 xf ( x) ?
2 '

ex e2 , f ( 2) ? ,则 x ? 0 x 8

时, f (x)

A. 有最大值,无极小值 C. 既有极大值,也有极小值

B. 有最小值,无极大值 D. 既无极大值,也无极小值

11.(2013 辽宁卷理 21)已知函数 f ( x) ? (1 ? x)e ?2 x , g ( x) ? ax ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x ,当 2

x ? [0,1] 时,
(1)求证: 1 ? x ? f ( x ) ?

1 ; x ?1

(2)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

12.(2013 湖南卷理 20)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条 L 路径”如图 6 所示的路径 MM 1 M 2 M 3 N 与路径 MN1 N “ , 都是 M 到 N 的 L 路径”某地有三个新建的居民区, “ , 分别位于平面 xOy 内的三点 A(3,20) ,

B(?10,0) , C (14,0) 处,现计划在 x 轴上方区域的某一点 P 处修建一个文化中心。
(1)写出 P 到居民区 A “ L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明) ; (2)若以原点 O 为圆心,半径 1 的圆的内部是保护区, L 路径”不能进入保护区,试确定 “ 点 P 的位置,使其到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小。

13.(2013 北京卷理 18)设 L 为曲线 C : y ? (1)求 L 的方程;

ln x 在点 (1,0) 处的切线。 x

(2)证明:除切点 (1,0) 之外,曲线 C 在直线 L 下方。

14.(2013 天津卷理 20)已知函数 f ( x) ? x 2 ln x (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)证明:对任意的 t ? 0 ,存在唯一的 s ,使 t ? f (s) ; (3) 设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) ,证明: t ? e 时, 当 有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? 5 ln t 2

15.(2013 重庆卷理 17)设 f ( x) ? a( x ? 5) 2 ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f (x) 在点

(1, f (1)) 处切线与 y 轴相交于点 (0,6) 。
(1)确定 a 的值; (2)求函数 f (x) 的单调性与极值。

16. 2013 湖北卷理 10) ( 已知 a 为常数, 函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 ,x2 ( x1 ? x2 ) , 则 A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2

B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2

1 2

1 2

17.(2013 湖北卷理 22)设 n 是正整数, r 为正有理数. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? (1 ? x)r ?1 ? (r ? 1) x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值; (Ⅱ)证明:

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ; ? nr ? r ?1 r ?1

? 3? (Ⅲ)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?2? ? 2 , ? π ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 . ? ? ? ? ? ? ... ? 2?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ? S ? 的值. ? ? (参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 )
4 4 4 4

18. ( 2013 四 川 卷 理 21 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

,其中 a 是实数.设

A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ )指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

19. ( 2013 广 东 卷 理 10 ) 若 曲 线 y ? kx ? ln x 在 点 (1, k ) 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 , 则

k?



20.(2013 广东卷理 21)设函数 f ( x) ? ( x ?1)e x ? kx2 (k ? R) (1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 k ? ( ,1] 时,求函数 f ( x ) 在 [0, k ] 上的最大值 M

1 2

21.(2013 安徽卷理 10)若函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 有极值点 x1 , x 2 且 f ( x1 ) ? x2 ,则 关于 x 的方程 3 f ( f ( x)) ? 2af ( x) ? b ? 0 不同实根个数是
2

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

x 2 x3 xn ? 22.(2013 安徽卷理 20)设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ( x ? R, n ? N ) ,证明: 2 3 n
? (1)对每个 n ? N ,存在唯一的 x n ? [ .1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

2 3

? (2)对于任意 p ? N ,由(1)中 xn 构成数列 {xn } 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 n

23.(2013 浙江卷理 22)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3ax ? 3a ? 3.
3 2

(1)求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值.

24.(2013 浙江卷理 8)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e x ?1)(x ?1) k (k ? 1,2) , 则 A. 当 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 B. 当 k ? 1 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极大值 C. 当 k ? 2 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 D. 当 k ? 2 时, f (x) 在 x ? 1 处取得极大值

25.(2013 福建卷理 8)设函数 f (x) 的定义域为 R , x0 ( x0 ? 0) 是 f (x) 的极大值点,以下 结论:

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f (x) 的极小值点

B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

26.(2013 福建卷理 17)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ( a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的极值。

27.(2013 江苏卷 20)设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为实数.
x

(1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论.

x 2 28.(2013 新课标 1 卷理 20)已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ,曲线 y ? f (x) 在点

(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 4 x ? 4 。
(1)求 a, b 的值; (2)讨论 f (x) 的单调性,并求 f (x) 的极大值。

29.(2013 湖南卷文 21)已知函数 f ( x ) ? (1)求 f (x) 的单调区间;

1? x x e 1? x2

(2)证明:当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x 2 )时, x1 ? x2 ? 0

30.(2013 新课标 2 卷文 11)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论错误的是

A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0

B. 函数 y ? f (x) 的图像是中心对称图形
C. 若 x0 是 f (x) 的极小值点,则 f (x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减

D. 若 x0 是 f (x) 的极值点,则 f ' ( x0 ) ? 0

31.(2013 新课标 2 卷文 21)已知函数 f ( x) ? x 2 e ? x (1)求函数 f (x) 的极大值和极小值; (2)当曲线 y ? f (x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。

32. 2013 江西卷文 11) ( 函数 y ? x ? 1 ? ? R ) ( 在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点, ? ? 在
?

33.(2013 辽宁卷文 21) (1)证明:当 x ? [0,1] 时,

2 x ? sin x ? x ; 2

(2)若不等式 ax ? x ?
2

x3 ? 2( x ? 2) cos x ? 4 对 x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

34.(2013 大纲卷文 21)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (1)求 a ?

2 时,讨论 f (x) 的单调性;

(2)当 x ? [2,??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围

35.(2013 山东卷文 21)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x ( a, b ? R ) (1)设 a ? 0 ,求 f (x) 的单调性; (2)设 a ? 0 ,且对任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,试比较 ln a 与 ? 2b 的大小

36.(2013 北京卷文 18).已知函数 f ( x) ? x 2 ? x sin x ? cos x (1)若曲线 y ? f (x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y ? f (x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。

? x 3 ? (a ? 5) x, ( x ? 0) ? 37.(2013 天津卷文 20)设 a ? [?2,0] ,已知函数 f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax, ( x ? 0) ?x ? 2 ?
(1)证明: f (x) 在区间 (?1,1) 内单调递减,在区间 (1,??) 内单调递增 (2)设曲线 y ? f (x) 在点 Pi ( xi , f ( xi )) (i ? 1,2,3) 处的切线互相平行,且 x1 x2 x3 ? 0 ,证 明: x1 ? x 2 ? x3 ?

1 3

38.(2013 重庆卷文 20)某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池(不计厚度) ,设该蓄水池的 底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米,假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建 造成本为 100 元/平方米,底面的建造费用为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000? ( ? 为圆周率) 。 (1)将 V 表示成 r 的函数 V (r ) ,并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V (r ) ,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大。

39.(2013 湖北卷文 10)已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 A. (??, 0)

1 B. (0, ) 2

C. (0, 1)

D. (0, ? ?)

40. ( 2013 四 川 卷 文 21 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

,其中 a 是实数。设

A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 。
(Ⅰ )指出函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,证明: x2 ? x1 ? 1 ; (Ⅲ )若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围。

41.(2013 浙江卷文 21)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x ? 6ax (1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 (2)若 a ? 1 ,求 f (x) 在闭区间 [0, 2a ] 上的最小值。


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