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高中平面解析几何 全一册


高中平面解析几何 全一册 第二章 圆锥曲线
第二单元 圆
一、教法建议 【抛砖引玉】
本单元共有两小节,主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。 在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质,在这里我们根据圆是到定 点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的轨迹,建立了圆的标准方程:(x-a)2 + (y-b)2 = r2,它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径 r 所确定的方程, 又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质, 由圆的标准方程研究了圆的切线 方程,并由圆的标准方程解决了一些实际问题。 由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程,我们又研究了一般的二元二 次方程与圆的方程的关系, 得到了圆的一般方程,最后又研究了用待定系数法求 圆的方程。

【指点迷津】
这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程,要求学生能由圆心坐标和 半径长熟练地写出圆的标准方程, 并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标 和半径长。对于圆的一般方程,要求学生掌握它的特点,会用配方法把一般方程 化为标准方程。 由于圆是平面几何中重点学习的图形,学习了圆的很多性质,特别是和圆有 关的直线和线段(直线的一部分)的性质,如圆的切线,割线,弦等的性质在这 一单元都会用到, 教师可概括学习内容适当地复习有关性质,并启发学生在解题 中运用性质,可以顺利解决有关问题。 圆的切线也是这个单元的重要内容,它主要研究了过圆上一点的圆的切线, 过圆外一点的圆的切线, 已知斜率的圆的切线,要求学生掌握求各种条件下切线 的方法,在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西,适当记忆,加快解题速 度,特别是解选择题和填空题,如: 过圆 x2 + y2 = r2 上一点(x1,y1)的切线方程是 x1x + y1y = r2 过圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2 上一点(x1、 y1)的切线方程是(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y 2 -b) = r 圆 x2 + y2 = r2 的斜率为 k 的切线的方程是 y ? kx ? r 1 ? k 2 对于圆的一般方程应要求学生明确掌握,二元二次方程的一般形式 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Dy + F = 0 必须满足如下三个条件: (1)x2 和 y2 项的系数相同,且不等于零,即 A=C≠0 (2)不含 xy 项,即 B = 0
1

(3)D2 + E2-4F > 0 才能表示一个圆。 也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。 而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件,但不是充分条件。 由于圆的标准方程和圆的一般方程中都含有三个独立的参变数,因此确定一 个圆需要三个独立条件。 用待定系数法求圆的方程时,就要把三个条件转化为三 个方程(含 a、b、r 三个未知数或含 D、E、F 三个未知数)通过解三元方程组 求出未知数而得出圆的方程, 一般来说,条件中和圆心有关时用圆的标准方程比 较简单。

二、学海导航 【思维基础】
本单元的知识比较单一, 它主要研究的就是圆的标准方程和一般方程,因此 熟练掌握圆的方程的两种形式是很重要的。而解题又有一定的综合性,它要用到 平面几何中有关圆的知识, 前一章的直线方程中的有关知识,所以学好本单元还 要掌握一定解题方法。 1.求圆的方程 和求直线方程类似, 求圆的方程一般也是两种方法,一种是已知或求出圆心 坐标和半径长,直接代入圆的标准方程,另一种是用待定系数法: 根据下列条件求圆的方程 1.已知直径的两端点是 A(-3,5)和 B(1,-3) 2.圆心在 A(3,-5)且与直线 x-7y + 2 = 0 相切 3.经过点 A(2、2)和 B(4,-2) ,圆心在 y 轴上 显然, 根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径, 代入圆的标准方程即可。 1.圆心为 AB 中点 C(-1,1)半径 r ? | AB| ? 2 5 ,圆的方程是(x + 1)2 + (y -1)2 = 20 2.半径 r 是圆心 A(3、-5)到直线 x-7y + 2 = 0 的距离 4 2 ,圆的方程是 (x-3)2 + (y + 5)2 = 32 3.圆心是线段 AB 的垂直平分线与 y 轴交点, AB 的垂直平分线是 x-2y-3 = 0,圆心是 C(0、- ) ,半径|AC| = 而第 3 个题也可以用待定系数法,解法是设圆心是(0、b) ,圆的方程是 x2 + (y-b)2 = r2 因为经过点 A(2、2)和 B(4、-2) ,所以有
2 2 2 ? ?2 ? ( 2 ? b) ? r ? 2 2 2 ? ?4 ? ( ?2 ? b) ? r

1 2

3 2

1 3 65 65 ,圆的方程是 x 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 4 2

解方程组得

此题也可设圆的方程是 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ,它的圆心坐标为 (?
D E D ,又由于圆心在 y 轴上,故 ? = 0,即 D = 0,圆的方程化为: ,? ) 2 2 2

3 65 b ? ? ,r 2 ? 2 4

x2 + y2 + Ey + F = 0 因为经过点 A(2,2)和 B(4,-2) ,所以有
2

?2 2 ? 2 2 ? 2E ? F ? 0 ? ? 2 2 ? ?4 ? ( ?2) ? ( ?2)E ? F ? 0

解方程组得:E = 3,F =-14 圆的方程是 x2 + y2 + 3y-14 = 0 配方得 x 2 ? ( y ? ) 2 ?
3 2 65 4

2.求圆的切线的方程 圆的切线是直线和圆的一种重要位置关系, 初中平面几何中已经学习了它的 定义,判定和性质,在这里我们利用已经学过的知识,求圆的切线的方程,在第 一部分教法建议中已指出了在几种不同条件下切线方程的写法, 并不要求死记硬 背,重要的是掌握求圆的切线方程的方法,切线是直线,因此求切线方程就是求 直线方程,要用切线的性质找出列直线方程的条件。 例如:已知圆 x2 + y2 = 1 求此圆斜率是-1 的切线的方程: 设切线方程是 y =-x + b 即 x + y-b = 0 根据圆心到切线的距离等于圆的半径知,圆 x2 + y2 = 1 的圆心(0,0)到切 线 x + y-b =0 的距离等于 1,即
?1 b?? 2 12 ? 12 切线方程是 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 |0 ? 0 ? b|

3.圆与直线的问题 圆与直线的位置关系, 在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的 情况来研究,是否可以用其他方法呢? 如判断圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 和直线 3x-4y + 5 = 0 的位置关系。除解方 程组外还可以用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系来判定, 若 d < r, 则直线和 圆相交;若 d = r,则直线和圆相切;若 d > r,则直线和圆相离。 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 配方得 (x-1)2 + (y + 2)2 = 4 它的圆心是(1、-2) 半径 r = 2
d? |3 ? 8 ? 5| 3 ? ( ?4)
2 2

?

16 1 ?3 ?2 5 5

所以直线和圆相离 4.两个圆的位置关系 我们知道两个圆有五种不同位置关系:即外离、外切、相交、内切、内含, 用解方程组的方法讨论时, 只能判定相离, 相切或相交, 但分不出内切还是外切, 外离还是内含,若用圆心距与两圆半径之间的关系就能判断出准确的位置关系: 如果圆心距用 d 表示,两圆半径分别是 R,r(R > r) ,若 d < R + r,且 d > R-r, 则两圆相交;若 d = R-r,则两圆相内切;若 d < R-r,则两圆相内含。 如:已知两圆的方程分别是 x2 + y2 = 4 和 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 24 ? 0 。试判断它 们的位置关系。 圆 x2 + y2 = 4 的圆心是(0,0) ,半径 r = 2 2 2 圆 x ? y ? 6x ? 8 y ? 24 ? 0 ,配方化为 ,半径为 R = 7 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 49 ,圆心为(3,-4)
3

圆心距 d = 5,又 R-r = 5 即 d = R-r 所以两圆相内切

【学法指要】
例 1.求圆心是 C(2、-1) ,且截直线 x-y-1 = 0 所得弦长是 2 2 的圆的方 程。 分析:此题的圆心是已知,列圆的方程只须求出半径长,怎样求半径长呢? 如图,弦心距、弦的 和半径构成直角三角形,若求出弦心距,可求出半径。 解:如图:圆心 C(2,-1)到直线 x- y-1 = 0 的距离是
|CD| ? |2 ? 1 ? 1| 12 ? ( ?1) 2 ? 2

1 2

∵|AB| ? 2 2 ∴|AD| ? 2 ∴半径r ?|AC| ? |CD|2 ?|AD|2 ? 4 所求圆的方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

例 2.已知一个圆的圆心在直线 l1:x-y-1 = 0 上, 该圆和直线 l2:4x + 3y + 14 = 0 相切,并且直线 l3:3x + 4y + 10 = 0 截圆所得弦长为 6,试求此圆的方程。 分析: 此题直接求圆心坐标和半径比较困难。一般应选择待定系数法求圆的 方程, 设标准方程还是一般程呢?因为已知条件与圆心有关, 设标准方程比较好, 我们知道三个独立条件确定一个圆的方程, 以下的问题是如何将题目中已知的三 个条件转化为三个含 a、b、r 的方程。 解:如图: 设所求圆的圆心是(a、b) ,半径是 r,圆的方程是(x-a)2 + (y-b)2 = r2 由于圆心(a、b)在直线 x-y-1 = 0 上,有 a-b-1 = 0 (1) 由于圆与直线 4x + 3y + 14 = 0 相切,有
|4a ? 3b ? 14| 32 ? 4 2 ?r

(2)

由 l3:3x + 4y + 10 = 0 截圆所得弦长为 6,有圆 心到 l3 的距离是 r 2 ? 32
|3a ? 4b ? 10| 3 ?4
2 2

? r2 ? 3

(3)

解由方程(1)、(2)、(3)组成的方程组得 a = 2,b = 1,r = 5 所求圆的方程是
( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25

例 3.已知圆 x2 + y2-2x-3 = 0,求过点 A(5,0)的圆的切线方程
4

分析:首先应判定点 A 在圆上还是在圆外。想一想,若点在圆上可以有几 条切线?若点在圆外有几条切线?怎么求它们的切线方程呢?切线是直线, 现已 知过一个点, 若能求出斜率或直线上另一点即可求出方程, 也可用待定系数法求。 解法一:如图 圆 x2 + y2-2x-3 = 0 的圆心是(1、0) ,半径是 2 点(5、0)在圆外,设切线方程是 y = k(x-5)即 kx-y-5k = 0 因为圆心(1、0)到切线的距离等于半径 2 | k ? 5k | ?2 所以 k2 ?1 解得 k ? ?
3 3

所求圆的切线是:
3 5 3 3 5 3 x?y? ?0和? x?y? ?0 3 3 3 3

化简得
x ? 3y ? 5 ? 0 和 x ? 3y ? 5 ? 0

为所求切线方程 解法二:如图: 圆 x2 + y2-2x-3 = 0 的圆心是 C(1、0)半径是 2。 点 A(5,0)在圆外。 设切点为 P(x1、y1) 直线 AP 的斜率为 ∵AP⊥CP ∴
y1 y ? 1 ? ?1 x 1 ? 5 x1 ? 1

y1 y 。CP 的斜率为 1 x1 ? 5 x1 ? 1

2 2 即 x1 (1) ? y1 ? 6x1 ? 5 ? 0 ∵切点 P(x1、y1)在圆上 2 2 ∴ x1 (2) ? y1 ? 2 x1 ? 3 ? 0 解(1)、(2)组成的方程组,得两组解

? x1 ? 2 ? x1 ? 2 和? ? ? ? y1 ? 3 ? ? y1 ? ? 3 P1 (2, 3)和P2 (2,? 3)

即有两个切点

则两条切线的斜率分别为 ? 所求切线方程是

3 3 和 , 3 3

3 3 ( x ? 5) 和 y ? ( x ? 5) 3 3 化简得 x ? 3y ? 5 ? 0和x ? 3y ? 5 ? 0 y??

说明:当求出切点后也可以用两点式写出切线方程 例 4.圆 x2 + y2 = 4,求经过点 P(0,-4)且与圆相交的直线的斜率 k 的取 值范围。
5

分析:经过点 P(0,-4)的直线有多少条?它们的斜率 k 的取值范围是什 么?它们与圆的位置关系有哪几种情况? k 取什么样的值时,直线才能和圆相 交?下面我们用两种方法解此题。 解法一: 设过点 P(0,-4)的直线是 y = kx-4 解方程组
? y ? kx ? 4 ? 2 2 ?x ? y ? 4 (1) (2)

把(1)代入(2) 得
( k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 ? ? ( ?8k ) 2 ? 4( k 2 ? 1) ? 12 ? 16k 2 ? 48

因为直线和圆相交,所以△= 16k 2 -48 > 0 解得 k ? ? 3 或 k ? 3 解法 2: 设过点 P(0,-4)的直线是 y = kx-4 即 kx-y-4 = 0 圆 x2 + y2 = 4 的圆心是(0,0) ,半径是 2,圆心到直线的距离
d? | k ? 0 ? 0 ? 4| k ? ( ?1)
2 2

?

4 k ?1
2

因为直线与圆相交,所以 d < 2,即
k ?? 3或k ? 3

4 k ?1
2

? 2 解得

【思维体操】 例 1.求经过点 A(-2,3) ,并与直线 4x + 3y-26 = 0 相切于点 B(5,2) 的圆的方程 解法一: 设所求圆的方程是(x-a)2 + (y-b)2 = r2 直线 4x + 3y = 26 的斜率为-
4 3 3 4 3 4

经过切点 B (5, 2) 与已知切线垂直直线的斜率为 , 直线方程是 y-2 = (x -5) 即 3x-4y-7 = 0 根据题意:
?3a ? 4b ? 7 ? 0 ? 2 2 2 ?(5 ? a ) ? (2 ? b) ? r ? 2 2 2 ?( ?2 ? a ) ? (3 ? b) ? r (1) ( 2) (3)

解得:a = 1,b =-1,r = 5 所求圆的方程是(x-1)2 + (y + 1)2 = 25 说明:方程(1)也可由如下方法得到,切线 4x + 3y = 26 的斜率为 ? 过切点 B(5,2)的半径的斜率为 ,即
6

4 , 3

3 4

b?2 3 ? 整理得 3a ? 4b ? 7 ? 0 a ?5 4

解法二: 同解法一,过切点 B(5,2)与切线垂直的直线方程是 3x-4y-7 = 0 线段 AB 的中点是( , ) ,AB 的斜率是 k1 ? 的斜率是 k = 7,方程是 y ?
?3x ? 4 y ? 7 ? 0 ? ?7 x ? y ? 8 ? 0

3 2

5 2

2?3 1 ? ? ,AB 垂直平分线 5? 2 7

5 3 ? 7( x ? ) 即 7x-y-8 = 0,解方程组: 2 2 ?x ? 1 得: ? ? y ? ?1


所以所求圆心为 C(1,-1) 半径 r = |AC| =
(1 ? 2) 2 ? ( ?1 ? 3) 2 ? 5

所求圆的方程是(x-1)2 + (y + 1)2 = 25 解法三: 设圆的方程是 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 圆心是 C( ?
D E ,? ) 2 2

同解法一,过切点 B(5,2)与切线垂直的直线方程是 3x-4y-7 = 0 根据题意:
D E ? ?3( ? 2 ) ? 4( ? 2 ) ? 7 ? 0 ? ? 2 2 ?( ?2) ? 3 ? 2D ? 3E ? F ? 0 ? 2 2 ?5 ? 2 ? 5D ? 2E ? F ? 0 ? ?

解得:D =-2,E = 2,F =-23 所求圆的方程是:x 2 + y 2 -2x + 2y + 23 = 0 即(x-1) 2 + (y + 1) 2 = 25 评析: 此题的三种解法中的解法一和解法三用的都是待定系数法。区别是所 设方程一个是标准式,一个是一般式,标准式中明确表示了圆心和半径,而一般 式经配方后可知其圆心为 (?
D E 1 记住了可以 , ? ) ,半径为 r ? D 2 ? E 2 ? 4F , 2 2 2

简化计算, 解法二是利用几何性质直接求出圆心和半径。由于我们对圆的性质掌 握的比较多,用几何性质解决有关圆的问题也是常用的方法,不可忽视,还要注 意的是,求圆的方程要有三个独立条件,此题的条件中与直线 4x + 3y =26 相切 于点 B(5,2)实际是两个条件,一为切线,二为切点,学生作此题时勿认为是 一个条件。 例 2.已知圆 x + y -2x-4y + 1 = 0,求经过点 P(3,6)的圆的切线的方 程。 解:经判断点 P(3,6)是圆外一点。 设所求切线的方程是 y-6 = k(x-3) 即 kx-y-3k + 6 = 0 圆 x + y -2x-4y + 1 = 0 的圆心为(1,2)半径 r ?
?2
2 2 2 2

1 2

( ?2) 2 ? ( ?4) 2 ? 4

因为圆心到切线的距离等于半径
7

所以

| k ? 2 ? 3k ? 6| k2 ?1 3 4

?2 解得

|2 ? k | ? k 2 ? 1 k?

由于过圆外一点的圆的切线有两条, 其中一条与 x 轴垂直。 所以所求圆的切线是 y ? 6 ? ( x ? 3) 即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 和 x ? 3 评析: 前面我们已经给出了求过圆外一点圆的切线的方法,一种是先求出切 点。此题同学可以自己用这一方法求,但无论哪种方法都用到了切线的斜率,从 图中可知一条切线与 x 轴垂直,斜率不存在,通过计算方法是不可能得到的。计 算结果只能得到一条切线,这显然不全面,就必须根据图形补上一条。 例 3.求经过点 P(6,1) ,且斜率 K = 的直线被圆 x2 + y2 = 4 所截得的弦长。 解法一:如图,根据题意直线为 y ? 1 ? ( x ? 6) 即 x ? 2 y ? 4 ? 0 解方程组
?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?x ? 0 得 ? 1 ? 2 2 ? y1 ? ?2 ?x ? y ? 4 8 ? x ? ? ? 2 5 ? ? y2 ? ? 6 ? 5 ?

3 4

1 2

1 2

即直线与圆的交点是 A(0,-2) ,B
8 6 ( ,? ) 5 5

所得弦长是 |AB| = ( ? 0) 2 ? ( ? ? 2) 2 ? 解法二: 同解法一,解方程组
?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 4 (1) (2)
8 5 6 5 4 5 5

由(1)x = 2y + 4
2

代入(2)得


5 y ? 16 y ? 12 ? 0 y1 ? y 2 ? ? y1 y 2 ? 12 5 16 5

( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y 1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 由x ? 2 y ? 4 得 x1 ? x 2 ? 2 ( y1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 64 25

16 25

8

因为直线与圆的交点是 A ( x1 ? y1 ) ,B( x2 ? y2 ) 所以弦长为|AB| = ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ?
4 5 5

解法三: 同解法一,直线方程为 x-2y-4 = 0 圆 x2 + y2 = 4 的圆心为(0、0) ,半径 r = 2,圆心到直线的距离是
| OC| ? |0 ? 2 ? 0 ? 4| 1 ? ( ?2)
2 2

?

4 5 4 4 5 2 ) 5

| AB| ? 2| AC| ? 2 | OA|2 ?| OC|2 ? 2 2 2 ? ( ? 4 5 5

评析: 此题是一个比较简单的问题, 在前一单元我们也介绍过求弦长的方法, 解法一和解法二都是前面介绍过的方法,解法一和解法二都是前面介绍过的方 法。在交点坐标比较简单时,可直接求出交点坐标,再求两点距离得到弦长。若 交点坐标比较繁杂时,或采用解法二的方法。而解法三用了圆的性质,解法比较 简单,这里又一次提醒大家,解圆的有关问题,一定要考虑是否可用圆的性质。

三、智能显示 【心中有数】
本单元应掌握知识的重点是圆的标准方程和圆的一般方程。 要求已知圆的标 准方程时, 能准确地写出圆心坐标和半径长。要求能把圆的一般方程熟练准确地 化为标准方程,还有二元二次方程的一般形式表示圆的充要条件。 另一重点是应掌握一些解题的基本方法,如用待定系数法求圆的方程;根据 不同条件求圆的切线的方程及圆和直线的有关问题等。 这些方法也为后面学习其 他圆锥曲线打下良好的基础

【动脑动手】
解答下列各题: 1.选择题 (1)方程 x2 + y2-x + y + m = 0,则 m 的取值范围是:
1 2 1 C. m< 2

A. m>

(2)自点 P(-1,4)向圆 x2 + y2-4x-6y + 12 = 0 引切线,则切线长是: A. 3 B. 5 C. 10 D. 5 2 2 2.求和圆 x + y + 2x = 0 相外切,并且和直线 x ? 3y ? 0 相切于点 A(-3, - 3 )的圆的方程。 3.求与圆 x2 + y2-4y + 3 = 0 相外切, 且与 x 轴相切的圆的圆心 P 的轨迹方程。 4.求圆上与直线 4x + 3y-12 = 0 的距离最小的点的坐标, 圆的方程是 x2 + y2 = 4
9

1 2 1 D. m≤ 2

B. m<

解 1.(1) C (2) A 2.解:设所求圆的圆心为 B(a、b) ,半径为 r,方程为(x-a)2 + (y-b)2 = r2 (如图) 已知圆 x2 + y2 + 2x = 0 的圆心是 C(-1,0) ,半径是 1。 所求的圆的切线 x ? 3y ? 0 的斜率为 又 A(-3、- 3 ) ,B(a、b)
b? 3 ?? 3 a?3 得 b ? ? 3a ? 4 3 所以 3 , 过切点的半径 AB 的斜率为- 3 , 3

(1) 因为 A(-3、- 3 )是所求圆上的点,得 (-3-a)2 + (- 3 -b)2 = r2 (2) 因为所求圆与已知圆相外切,得 |BC| = r + 1

(a ? 1) 2 ? b 2 ? r ? 1
?a1 ? ?4 ? ?b1 ? 0 ?r ? 2 ?1 ?a 2 ? 0 ? ?b2 ? ?4 3 ?r ? 6 ?2

(3)

解(1),(2),(3)组成的方程组得

所求圆的方程是: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 和 x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36 3.解:如图 已知圆 x2 + y2-4y + 3 = 0 的圆心是 C(0, 2)半径是 1。 设点 P 的坐标为(x、y)根据题意 y > 0 根据题意:|CP| = |y| + 1 把坐标代入,得 ( x ? 0) 2 ? ( y ? 2) 2 ?| y|?1 整理化简得 x2-6y + 3 = 0 4.解: 直线 4x + 3y-12 = 0 的斜率为- 。与其垂直直线的斜率是 。 过圆 x2 + y2 = 4 的圆心(0,0)与已知直线垂直的直线方程是 y = 3x-4y = 0
8 8 ? ? x ? x ?? ? ? ? 1 5 ? 2 5 ? ? 6 ? y1 ? ? y2 ? ? 6 ? ? 5 5 ? ? 8 6 8 6 得到直线与圆交于点 A( , ) ,B(- ,- ) 5 5 5 5

4 3

3 4

3 x,即 4

?x 2 ? y 2 ? 4 解方程组 ? 得 ?3x ? 4 y ? 0

点 A 到直线 4x +3y-12 = 0 的距离是

10

8 6 ? 3 ? ? 12| 2 5 5 d1 ? ? 2 2 5 4 ?3 点B到直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0的距离是 8 6 |4( ? ) ? 3( ? ) ? 12| 2 5 5 d2 ? ?4 5 4 2 ? 32 |4 ?

所以所求距离最小点的坐标是( , )

8 5

6 5

【创新园地】
1.与圆 x2 + y2-2x + 4y + 1 =0 关于直线 x-y + 2 =0 对称的圆的方程。 2.求经过点 A(3,2)和两圆 x2 + y2 = 1,x2 + y2 + 2x = 0 的交点的圆。 3.求经过两圆 x2 + y2 + 6x-5 = 0 和 x2 + y2 + 6y-7 = 0 的交点, 且圆心在直线 x-y-4 = 0 上的圆的方程。 创新园地解答 1.解: 圆 x2 + y2-2x + 4y + 1 = 0 的圆心是 C(1,-2)半径 r = 2 圆心 C(1,-2)关于直线 x-y + 2 = 0 的对称点是 C′(-4,3) (过程略) 所求圆的方程是 (x + 4)2 + (y-3)2 = 4,即 x2 + y2 + 8x-6y + 21 = 0 2.解法一: 解方程组
?x 2 ? y 2 ? 1 ? ? 2 2 ? ?x ? y ? 2 x ? 0

得两圆交点为 B( ? ,

设所求圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 因为圆经过点 A(3,2) ,B( ? , 求得 D ? ?
24 19 ,E ? 0,F ? ? 7 7
1 2

1 2

3 1 3 ) ,C ( ? , ? ) 2 2 2
3 1 3 ) ,C( ? , ? )用待定系数法 2 2 2

所求圆的方程是
24 19 x? ?0 即 7 7 7 x 2 ? 7 y 2 ? 24 x ? 19 ? 0 x2 ? y2 ?

解法二: 可以证明,经过两圆 x 2 + y 2 -1 = 0 和 x 2 + y 2 + 2x = 0 的交点的圆的方程可 以写成 x2 + y2 + 2x + λ (x2 + y2-1) = 0 (λ ≠-1) 这个方程不包括圆 x2 + y2-1 = 0
11

因为圆经过点 A(3,2) 所以 9 + 4 + 6 + λ (9 + 4-1) = 0 λ =- x2 + y2 + 2x-
19 12 19 2 (x + y2-1) = 0 整理得 12

所求圆的方程为

7x2 + 7y2-24x-19 = 0 说明:这一解法比解法一要简单,有的题目交点坐标不易求出,用此法则简 单的多,若作选择题或填空题,用此法解很易得出结果,下面第 3 题,交点不易 求出,用此法求要简单的多。 3.解 设所求经过两圆 x2 + y2 + 6x-5 = 0 和 x2 + y2 + 6y-7 = 0 的交点的圆为 x2 + y2 + 6x-5 +λ (x2 + y2 + 6y-7) = 0(λ ≠-1) 化为: 6 6? 7? ? 5 x2 + y2 + x? y? ?0 1? ? 1? ? 1? ? 3 3? 圆心是( ? ,? ) 1? ? 1? ? 因为圆心在直线 x-y-4 = 0 上, 3 3? 所以 ? + -4 = 0 解得 1? ? 1? ? λ =-7 所求圆的方程是 x2 + y2 + 6x-5-7(x2 + y2 + 6x-7) = 0 化简得 3x2 + 3y2-3x-21y -22 = 0

四、同步题库

一、选择题 1.以点(2,-1)和(2,3)为直径的两个端点的圆的方程是( ) 2 2 2 2 (A) x +y -4x+2y+1=0 (B) x +y -4x-2y+1=0 2 2 2 2 (C) x +y +4x-2y+1=0 (D) x +y +4x+2y+1=0 2 2 2.直线 4x-3y+11=0 与圆(x+2) +(y-1) =10 的位置关系是( ) (A)相切 (B)相离 (C)过圆心 (D)相交但不过圆心 2 2 2 3.圆(x-a) +(y-b) =r (r>0)与 x 轴相切的充要条件是( ) (A)a=r (B)b=r (C)|a|=r (D)|b|=r 2 2 4.若圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则系数 D、E、F 满足( ) (A)F=0D=0,E=0 (B)F=0,D=0,E≠0 (C)F=0,D≠0,E=0 (D)F≠0,D=0,E≠0 2 2 2 5.若方程 x +y +4mx-2y+8m +m+1=0 表示圆,则 m 的取值范围是( ) (A)0<m<4 (B) ?

1 ?m?0 4

(C) 0 ? m ?

1 4

(D)-4<m<0

12

6.两圆 x +y -6x=0 和 x +y -6x-4y-12=0 的位置关系是( (A)相交 (B)外离 (C)内切 (D)外切
2 2

2

2

2

2



7.圆 x +y +2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离等于 2 的点共有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2 2 2 8.当圆 x +y +2x+ky+k =0 的面积最大时,圆心的坐标是( ) (A)(0,-1) (B)(1,0) (C)(1,-1) (D)(-1,1) 2 2 9.若直线 x+2y-1=0 与圆 x +y -4x+6y+3=0 相交于 A、B 两点,则|AB|等于(

)

(A) 5
2 2

(B)2 5
2

(C)5

(D)10
)

10.动圆 x +y -2mx+(4m+6)y+5m +12m=0 的圆心的轨迹方程是( (A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0 (C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0 二、填空题 1.在 x 轴上的截距是-1 和 7,且半径是 5 的圆的方程是 2.直线 x=3 被圆(x-a) +y =4 截得的弦长为 2 3 ,则 a 的值等于
2 2

. .

3.圆心是(1,-2)且与直线 3x-4y=1=0 相切的圆的方程是 . 2 2 4.过点 P(-3,2)且与圆 x +y =13 相切的直线方程是 . 2 2 5.过点 A(-2,2)的直线与圆 x +y =2 有公共点,则直线 l 的倾斜角 a 的取值范围是 . 2 2 2 2 6.两圆 x +y -6x+2y+1=0 和 x +y +2x-4y-11=0 的位置关系是 . 三、解答题 1.求过 0(0,0),A(3,1),B(-1,3)三点的圆关于点 M(2,4)对称的圆的方程. 2 2 2.已知圆 x +y -2x+4y+2=0 内一点 P(2,-1),求过 P 点的弦中最短的弦所在的直线的方程, 并求这个弦长. 3.如果圆 C 经过点 P(2,-1),圆心在直线 y=-2x 上,又与直线 x-y-1=0 相切,求圆 C 的方程. 4.求圆 x +y -2ax+2ay+3a -2a-1=0 当半径最大时,截直线 y ? ?
2 2 2

1 x 所得的弦长。 2

【参考答案】 动脑动手 1.(1)C; (2)(A) 2.解:设所求圆的圆心为 2 2 2 B(a,b),半径为 r,方程为(x-a) +(y-b) =r (如图) 2 2 已知圆 x +y +2x=0 的圆心是 C(-1,0)半径是 1. 所求的圆的切线 x ? 3y ? 0 斜率为 过切点的半径 AB 的斜率为- 3 又 A(-3,所以

3 , 3

3 ),B(a,b)

b? 3 ?? 3 a ?3 得b ? ? 3a ? 4 3
2 2 2

① ②

因为 A(-3, 3 )是所求圆上的点, 得(-3-a) +( 3 -b) =r 因为所求圆与已知圆相外切,得|BC|=r+1
13

(a ? 1) 2 ? b 2 ? r ? 1



解①、②、③,组成的方程得

?a 1 ? ?4 ? ?b1 ? 0 ?r ? 2 ?1
所求圆的方程是:
2 2 2

?a 2 ? 0 ? ?b 2 ? ?4 3 ?r ? 6 ?2
2

(x+4) +y =4 和 x +(y+ 4 3 ) =36 3.解:如图 2 2 已知圆 x +y -4y+3=0 的圆心是 C(0,2),半径是 1。 设点 P 的坐标为(x,y)根据题意,y>0 根据题意,|CP|=|y|+1
2 2 把坐标代入,得 ( x ? 0) ? ( y ? 2) ?| y | ?1
2

整理化简得 x -6y+3=0. 4.解:直线 4x+3y-12=0 的斜率为 ? 斜率是
2

4 .与其垂直直线的 3

4 . 3
2

过圆 x +y =4 的圆心(0,0)与已知直线垂直的直线方程是 y=

4 x,即 3x=4y=0 解方程组 3

?x ? y ? 4 ? ?3x ? 4 y ? 0
2 2



8 ? x ? 1 ? ? 5 ? ?y ? 6 1 ? 5 ?

8 ? x ? ? 2 ? ? 5 ? ?y ? ? 6 2 ? 5 ?

8 6 8 6 得到直线与圆交于点 A( , ), B (? ,? ) 5 5 5 5 点A到直线4 x ? 3 y ? 12 ? 0的距离是 d1 ? 8 6 4 ? ? 3 ? ? 12 5 5 ? 2 5

4 2 ? 32 点B到直线4 x ? 3 y ? 12 ? 0的距离是 d2 ? 8 6 4(? ) ? 3(? ) ? 12 5 5 4 ?3
2 2

?4

2 5

8 6 所以所求距离最小点的 坐标是( , ). 5 5
创新园地 2 2 1.解:圆 x +y -2x+4y+1=0 的圆心是 C(1,-2)半径 r=2 圆心 C(1,-2)关于直线 x-y+2=0,的对称点是 C(-4,3)(过程略) 所求圆的方程得
14

(x+4) +(y-3) =4,即 2 2 x +y +8x-6y+21=0 2.解法一: 解方程组
2 2 ? ?x ? y ? 1 ? 2 2 ? ?x ? y ? 2 x ? 0

2

2

1 3 1 3 得两圆交点为 B(? , ), C(? ,? ) 2 2 2 2 2 2 设所求圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 1 3 1 3 因为圆经过点 A(3,2)B(? , ), C(? ,? ) 2 2 2 2 24 19 , E ? 0, F ? ? 用特定系数法求得 D ? ? 7 7
所求圆的方程是

24 19 x? ?0 即 7 7 2 2 7 x ? 7 y ? 24x ? 19 ? 0. x 2 ? y2 ?
解法二: 2 2 2 2 可以证明,经过两圆 x +y -1=0 和 x +y +2x=0 的交点的圆的方程可以写成

x 2 ? y 2 ? 2x ? ?(x 2 ? y 2 ? 1) ? 0(? ? ?1)
这个方程不包括圆 x +y -1=0 因为圆经过点 A(3,2) 所以 9+4+6+ ? (9+4-1)=0
2 2

???

19 12 19 2 ( x ? y 2 ? 1) ? 0 整理得 12

所求圆的方程为

x 2 ? y 2 ? 2x ?
2 2

7x +7y -24x-19=0 【说明】 这一解法比解法一要简单,有的题目交点坐标不易求出,用此法则简单的多,若作选择 题或填空题,用此法解很易得出结果,下面第 3 题,交点不易求出,用此求要简单的多. 2 2 2 2 3.解:设所求经过两圆 x +y +6x-5=0 和 x +y +6y-7=0 的交点的圆为

15

x 2 ? y 2 ? x ? 5 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 6 y ? 7) ? 0(? ? ?1) 化为 : 6 6? 7? ? 5 ? y? ?0 1? ? 1? ? 1? ? 3 3? 圆心是(? ,? ) 1? ? 1? ? 因为圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0上, 3 3? 所以 ? ,? ? 4 ? 0上 1? ? 1? ? ? ? ?7 x 2 ? y2 ?
所求圆的方程是 2 2 2 2 x +y +6x-5-7(x +y +6y-7)=0 2 2 3x +3y -3x-21y-22=0 同步题库 一、选择题 2 2 1.(B)提示:圆心是已知直径的中点(2,1),半径为 2 的圆的方程(x-2) +(y-1) =4 化简后 得. 2.(C)提示:已知圆的圆心是(-2,1),它满足直线方程 4x-3y+11=0,所以直线经过圆心. 3.(D)提示:若圆与 x 轴相切,则圆心(a,b)到 x 轴(y=0)的距离等于 r,即|b|=r,反之,若 |b|=r,说明圆心到 x 轴的距离等于半径 r,则圆与 x 轴相切。 2 2 4.(B)提示:因为圆 x +y +Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,所以圆必过原点,且圆心与 y 轴上(除去原点),因此 F=0,D=0, E ? 0. 2 2 2 5.(B)提示:因为圆 x +y +4mx-2y+8m +m+1=0 经过配方后得 (x+2m) +(y-1) =-4m -m,因为方程表示圆,所以-42-m>0 解 得 ?
2 2 2 2 2 2 2

1 <m<0. 4

6.(C)提示:两圆分别配方后化为(x-3) +y =9 和(x-3) +(y-2) =1,圆心分别是 O1(0,3) 和 O2(3,2)半径分别是 r1=3,r2=1,圆心距|O1O2|=2,r1-r2=2,而圆相内切. 7.(C)提示:圆的方程配方后得(x+1) +(y+2) =8,因此圆心是 C(-1,-2),半径为 R= 2 2 ,
2 2

1 ,因此与直线 x+y+1=0 垂直的半径的外 2 端点及与直线平行的直径的两个端点到这直线的距离都是 2 ,除此三点外圆上没有其
圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= 2 是半径长的 他点满足条件.
2 8.(B)提示:圆 x2+y +2x+ky+k =0 经配方后得 ( x ? 1) ? ( y ?
2 2

1 2 3 k ) ? 1 ? k 2 , 因为方程 2 4

表示圆,所以半径 r ? 1 ? (-1,0).

3 2 k ,由于k 2 ? 0 ,所以 k=0 时 r 有最大值,当 k=0 时,圆心为 4

9.(B)提示:把圆的方程配方后得到圆心为 C(2,-3),半径 r ? 10 ,圆心 C(2,-3)到直线 x+2y-1=0 的距离是

| 2 ? 6 ?1| 1 ? 22

? 5 ,在弦心距半径和弦长的一半组成的直角三角形中,
2 2

根据勾股定理,弦长等于 2 ( 10 ) ? ( 5 ) ? 2 5. 10.(C)提示:根据动圆的方程可知动圆的圆心为(m,-2m,-3),即动圆圆心的横纵坐标满
16

足.

?x ? m ? ? y ? ?2m ? 3 所以x ? ? y?3 2

?m ? x ? 即? y?3 m?? ? 2 ? 整理得 2 x ? y ? 3 ? 0.

二、填空题 2 2 2 2 1 . x +y -6x-6y-7=0, 提示:设圆的方程为 (x-a) +(y-b) =25, 因为圆经过点 (-1,0) 和 (7,0),所以
2 2 ? ?(?1 ? a ) ? b ? 25 ? 2 2 ? ?(7 ? a ) ? b ? 25

解方程组得 a=3,b=3,也可以画出图由圆的几何性质得出圆心坐标为(3,3) 2 2 2 2 2.2 或 4. 提 示 : 把 x=3 代 入 圆 的 方 程 得 (3-a) +y =4,y =4-(3-a) , 解 得

y ? ? 4 ? (3 ? a ) 2 , 由于直线 x=3 垂直到 x 轴,所以 2 4 ? (3 ? a ) 2 ? 2 3 解得 a1=2,a2=4
3.x2+y2-2x+4y+1=0. 提 示 : 圆 的 半 径 是 点 (1,-2) 到 直 线 3x-4y-1=0 的 距 离 ,

r?

| 3 ? 8 ?1| ? 2, 圆的方程是(x-1)++(y+2)2=4 即 x2+y2-2x+4y+1=0. 5
2 2 2 2

4.3x-2y+13=0,提示:因为点(-3,2)在圆 x +y =13 上, 所以过点(-3,2)与圆 x +y =13 相 切的直线方程是-3x+2y=13,即 3x-2y+13=0.

? 5? 2 2 ?a? . 提示 : 如图 : 圆 x +y =2 的圆心在 (0,0), 半径为 2 , | AO |? 2 2 , 若 12 12 AB,AC 是圆的两条切线,切点分别是 B、C,则|OB|=|OC|= 2, 且OB?AB, OC?AC, Rt?ABO
5. ≌Rt?ACO, ∠AOB=∠AOC=60?,又 OA 是第三象限角平分线,所以∠BOD=75?,∠BDO=15?,切

? 5? , 切线 AC 的倾斜角∠CEO=75?= ,因 此过点 A(-2,2)与圆 x2+y2=2 12 12 ? 5? ?a? . 有公共点的直线 l 的倾斜角的范围 是 12 12
线 AB 的倾斜角 a=15?=

6. 相 交 , 提 示 : 两 圆 标 准 方 程 为 (x-3) +(y+1) =3 和 (x+1) +(y-2) =4 ,d=5, r1+r2=3+4=7,d<r1+r2 ?相交 三、解答题 2 2 1.解:设过已知三点的圆的方程是 x +y +Dx+Ey+F=0

2

2

2

2

2

2

17

?圆过点(?0,0), A(3,1), B(?1,3) ?F ? 0 ? ? ?9 ? 13D ? E ? F ? 0 ?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0 ? 解得 ?D ? ?2 ? ?E ? ?4 ?F ? 0 ?

所以过已知三点的圆是 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 配方后得( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5

圆心为C(1,2)半径r ? 5,
设点 C(1,2)关于点 M(2,4)的对称点是 C?(x0,y0),则

1? x0 2 ? y0 ? 2, ? 4, 4 2 ? x 0 ? 3, y 0 ? 6,即C?点的坐标是C?(3,6) ? 所求圆的方程是 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 5.
2.解:已知圆 x +y -2x+4y+2=0,配方后得(x-1) +(y+2) =3,它的圆心在 C(1,-2),半 径 R= 3 . 过点 P(2,-1)的弦中以 P(2,-1)为中点的弦 AB 最短,此时 CP?AB
2 2 2 2

? k CP ?

?1? 2 ? k AB ? ?1 2 ?1 AB所在直线的方程是 y ? 1 ? ?( x ? 2)即 x ? y ?1 ? 0

?| CP |? (2 ? 1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2 | AC |? 3 ?| AB |? 2(| CA | 2 ? | CP | 2 ) ? 2.
3.解:设所求圆的圆心为 C(a,b),半径为 r,圆的方程为(x-a) +(y-b) =r 根据题意
2 2 2

? ?(2 ? a ) 2 ? (?1b) 2 ? r 2 ? ? ?b ? ?2a ?| a ? b ? 1 | ? ?r ? 2 ? 解得 ?a ? 1 ? ?b ? ?2 ? ?r ? 2 或 ?a ? 9 ? ?b ? ?18 ? ?r ? 13 2

所求圆的方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2
18

或(x-9) +(y+18) =338 2 2 2 2 2 2 4.解:圆 x +y -2ax+2ay+3a -2a-1=0 配方后得(x-a) +(y+a) =-a +2 a+1 其半径为 r ?

2

2

? a 2 ? 2a ? 1.
2

∵当 a=1 时,-a +2a+1 有最大值是 2 ∴半径 r 的最大值是 2 ,此时圆的方程为 2 2 (x-1) +(y+1) =2,即 2 2 x +y -2x+2y=0 解方程组

?x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? 1 ?y ? ? x 2 ? 12 ? x ? 2 ? ?x 1 ? 0 ? 5 ? ? ? y1 ? 0 ?y ? ? 6 2 ? 5 ?

即直线与圆的交点坐标 是(0,0), ( ? 弦长 ? (

12 6 ,? ) 5 5

12 2 6 6 5 ) ? (? ) 2 ? . 5 5 5

19


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