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南京市金陵中学2011届高三数学调研测试卷


一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.(不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置 上). 1、若

A = {x | 2 ≤ 2 x ≤ 8}, B = {x | log 2 x > 1} ,则 A I B = _____.
2

2、存在实数 x ,使得 x

? 4bx + 3b < 0 成立,则 b 的取值范围是______. + a13 = 4π
,则 tan( a2

3、已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 + a7

+ a12 ) =

______.

r
4、已知向量 a 5、△

r r r r r = (1,n), = (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a = ______. b

ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 B = 60° , 2 不等式 ? x + 6 x ? 8 > 0 的解集为 { x | a < x < c} ,则 b = _____________
6、已知函数

f ( x) = 3sin(ω x ? ) (ω > 0) 和 g ( x) = 3cos(2 x + ? ) 的图象的对称中心 6

π

完全相同,若 x ∈ [0,

π

2

] ,则 f ( x) 的取值范围是__

___.

7. 若实数 m 、 n ∈ { ? 1 ,1 , 2 , 3 },且 m 的概率是 .

≠ n ,则曲线

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线 m n

r r 1 3 1 r 2 r r 8.已知 | a |= 2 | b |≠ 0 ,且关于 x 的函数 f ( x ) = x + | a | x + a ? bx 在 R 上有极值, 3 2 r r __. 则 a 与 b 的夹角范围为___
π ,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) , 6 uuu 2 uuur 2 uuu uuur r r 且 | AB | =| AD | + BD ? DC ,则 ∠B 等于 .
9.在△ABC 中, ∠A = 10.不等式 |

1 | ? a + 4 > 0 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 。 x uuu r uuu r 1 11.已知向量 m = (1,1), n = (0, ) ,设向量 OA = (cos α ,sin α )(α ∈ [0, π ]), 且m ⊥ (OA ? n) ,则 5 tan α = 。 1 2 12.设 a > 1 ,若函数 f ( x ) = log a ( ax ? x ) 在区间 [ , 4] 上是增函数,则 a 的取值范围 2

x+

是 13.对于函数



f ( x) =

x ,下列结论正确的是 1+ | x |



① ?x ∈ R, ③ ?k

f (? x) + f ( x) = 0; ② ?m ∈ (0,1), 使得方程f ( x) = m 有两个不等的实数解;

∈ (1, +∞), 使得函数g( x) = f ( x) ? kx 在 R 上有三个零点;
∈ R, 若x1 ≠ x2 , 则f ( x1 ) ≠ f ( x2 ).
第 1 页 共 6 页

④ ?x1 , x2

14、设 P 是椭圆

x2 y2 + = 1 上任意一点, A 和 F 分别是椭圆的左顶点和右焦点, 25 16


则 PA ? PF

+

1 PA ? AF 的最小值为 4

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答 题纸的指定区域内. 15、 (本小题满分 14 分) 已知向量 (1)求

u r r u r r p = (sin x, 3 cos x) , q = (cos x, cos x) ,定义函数 f ( x) = p ? q . f ( x) 的最小正周期 T ;

(2)若△

ABC 的三边长 a, b, c 成等比数列,且 c 2 + ac ? a 2 = bc ,求边 a 所对角 A 以及 f ( A) 的大小.

16、 (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD. (Ⅰ)求证:CD⊥PD; (Ⅱ)若 AD=2,BC=3,F 为 PD 中 点, 求证:EF∥平面 PAB.

P

1 BE= BC , 3
A

·F D

B

·

E

C

17、 (本小题满分 15 分)某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转 费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年 的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用

y (万元) ;

(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

第 2 页 共 6 页

18、 (本小题满分 15 分)如图,已知圆心坐标为 (

3,1) 的圆 M

与 x 轴及直线

y = 3 x 分别相切于 A 、

B 两点,另一圆 N 与圆 M

外切、且与 x 轴及直线

y = 3 x 分别相切于 C 、 D 两点.

(1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

y
D N B M

19、 (本小题满分 16 分)设 Tn 为数列

{a n }的前 n 项之积,满足

O

A

C

x

Tn = 1 ? a n (n ∈ N ? ) .
(1)设 bn

=

1 Tn
2

,证明数列

{bn }是等差数列,并求 bn 和 an ;
2

(2)设 S n

= T1 + T2 + L + Tn
2

求证: a n +1

?

1 1 < S n ≤ an ? . 2 4

20、 (本小题满分 16 分) 函数

f ( x) = ln x ?

a ( x ? 1) ( x > 0, a ∈ R ) . x

(1)试求 (2)当 a

f ( x) 的单调区间;
> 0 时,求证:函数 f ( x) 的图像存在唯一零点的充要条件是 a = 1 ; 1 1 1 ? < 对于 x ∈ (1, 2) 恒成立. ln x x ? 1 2

(3)求证:不等式

第 3 页 共 6 页

参考答案 二、填空题 1、

{x | 2 < x ≤ 3}
3 ,3] 2 4 ? 3

2、 b 7、

>

3 或b < 0 4
8、 (

3、 ?

3
9、

4、2

5、 2 10、

3

6、 [? 11、

1 4

π
3

,π ]

5π 12

(? ∞, 6) ?

12、

(2, ∞ ) +

13、①②④

14、 ? 9

三、解答题 15、解:(1)f(x)=p·q=(sin x, 3cos x)·(cos x,cos x)=sin xcos x+ 3cos2x………………2 分 1+cos 2x 1 1 3 3 = sin 2x+ cos 2x+ = sin 2x+ 3· 2 2 2 2 2 π 3 =sin(2x+ )+ .………………………………………………………………………………4 分 3 2 2π ∴f(x)的最小正周期为 T= =π.………………………………………………………………6 分 2 (2)∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,………………………………………………………7 分 又 c2+ac-a2=bc. b2+c2-a2 ac+c2-a2 bc 1 ∴cos A= = = = .…………………………………………………10 分 2bc 2bc 2bc 2 π 又∵0<A<π,∴A= .…………………………………………………………………………12 分 3 π π 3 3 3 f(A)=sin(2× + )+ =sin π+ = .……………………………………………………14 分 3 3 2 2 2 16、略 17.解: (1) 即

y=

100 + 0.5 x + (2 + 4 + 6 + L + 2 x) x

y = x+

100 + 1.5 ( x > 0 )(不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ∈ N * 也行) ; x

(2)由基本不等式得:

y = x+
当且仅当 x

100 100 + 1.5 ≥ 2 x ? + 1.5 = 21.5 (万元) x x
100 ,即 x = 10 时取到等号. x

=

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备. 18.解: (1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的半 径,则 M 在∠BOA 的平分线上, 同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线, ∵M 的坐标为 (

3 ,1) ,∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, 3 ) 2 + ( y ? 1) 2 = 1 ,-------------------------------4 分

则⊙M 的方程为 ( x ?

设⊙N 的半径为 r ,其与 x 轴的的切点为 C,连接 MA、MC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM:ON=MA:NC, 即

1 r = ? r = 3, 3+ r r
第 4 页 共 6 页

则 OC= 3

3 ,则⊙N 的方程为 ( x ? 3 3 ) 2 + ( y ? 3) 2 = 9 ;----------8 分

(2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被⊙ N 截得的弦 的长度,此弦的方程是

y=

3 ( x ? 3 ) ,即: x ? 3 y ? 3 = 0 , 3 3 2 2 ,则弦长= 2 r ? d = 33 . 2

圆心 N 到该直线的距离 d=

另解:求得 B(

3 3 ,再得过 B 与 MN 平行的直线方程 x ? 3 y + 3 = 0 , , ) 2 2 3 2 2 ,则弦长= 2 r ? d = 33 . 2

圆心 N 到该直线的距离 d ′ =

(也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离,进而求得弦长) 19.解:(1)∵ Tn

= 1 ? a n (n ∈ N ? ), a n =

Tn , (n ≥ 2) , Tn ?1

∴数列

{bn }是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列,
= 2 + (n ? 1) = n + 1 ,∴ Tn =
1 1 1 = ,∴ a n = 1 ? Tn = 1 ? bn n + 1 n +1


∴ bn

(2) S n

= T12 + T22 + L + Tn2 =

1 1 1 + 2 +L+ 2 2 3 (n + 1) 2



1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 +L+ > + +L+ = ? = an +1 ? 2 2 2 × 3 3× 4 (n + 1)(n + 2) 2 n + 2 2 2 3 (n + 1)

第 5 页 共 6 页

∴ a n +1

?

1 < Sn 2

,当 n

≥ 2 时,

1 1 1 1 1 1 + 2 +L+ < 2 + +L+ 2 2 2×3 n(n + 1) 2 3 (n + 1) 2

1 1 1 1 + ? = an ? , 4 2 n +1 4 1 1 1 2 当 n = 1 时, S1 = T1 = = a1 ? , ∴ S n ≤ a n ? . 4 4 4 1 a x?a / ( x > 0) . 20.(1) f ( x ) = ? 2 = x x x2 =
当a

≤ 0 时, f / ( x) > 0 ,在 (0, +∞) 上单调递增;

当a

> 0 时, x ∈ (0, a ) 时, f / ( x) < 0 ,在

上单调递减;

x ∈ (a, +∞) 时, f / ( x) > 0 ,在 (a, +∞) 上单调递增. ≤ 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0, +∞) ;

综上所述,当 a 当a

> 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (a, +∞) ,单调递减区间为 (0, a ) .
(2)充分性:a=1 时,由(1)知,在 x=1 处有极小值也是最小值, 即

f min ( x) = f (1) = 0 .而(0,1)在上单调递减,在 (1, +∞) 上单调递增,

在 (0, +∞ ) 上由唯一的一个零点 x=1. 必要性:

f ( x) =0 在 (0, +∞) 上有唯一解,且 a>0,

由(1)知,在 x=a 处有极小值也是最小值 f(a),

f(a)=0,即 ln a ? a + 1 = 0 . 令 g (a) 当0 <

= ln a ? a + 1 , g / (a ) =

1 1? a ?1 = . a a

a < 1 时, g / (a ) > 0 ,在(0,1)上单调递增;当 a>1 时, g / (a ) < 0 , = g (1) = 0 , g (a ) =0 只有唯一解 a=1.

在 (1, +∞) 上单调递减. g max ( a )

第 6 页 共 6 页



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