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含参数的不等式的解法


含参数的不等式的解法
目的: 在解含有参数的不等式时, 要求学生能根据参数的 “位置” 正确分组讨论, 解不等式。 过程:一、课题:含有参数的不等式的解法 二、例一 解关于 x 的不等式
log
a

x ? log

x

a
x ? 1 )(log log
a

解:原不等式等价于 ∴ log 若 a>1 若 0<a<1 例二

log

a

x ?

1 l o ga x

即:

(log

a

a

x ? 1)

? 0

x

a

x ? ? 1或 0 ? log

a

x ?1

0 ? x ? x ? 1 a

1 a

或1 ? x ? a

或a ? x ?1
3x

解关于 x 的不等式

2

? 2

x

? m (2
x

x

? 2

?x

)

解:原不等式可化为 2 4 x 即: ( 2 2 x
? 1 )( 2
2x

? (1 ? m ) ? 2

? m ? 0

? m) ? 0
2x

s ∴0
? x ? 1 2 log
2

当 m>1 时 当 m=1 时

1? 2

? m
2

m

(2

2x

? 1)

? 0
2x

∴x?φ
?1

当 0<m<1 时 当 m≤0 时 例三

m ? 2



1 2

log

2

m ? x ? 0

x<0
x
2

解关于 x 的不等式

? 4 mx ? 4 m

2

? m ?3

解:原不等式等价于 当m ∴x 当m 当m 例四
?3 ? 0

| x ? 2 m |? m ? 3
x ? 2 m ? m ? 3或 x ? 2 m ? ? ( m ? 3 )

即m

? ?3 时

? 3 m ? 3或 x ? m ? 3

?3 ? 0

即m 即m

? ?3 时

| x ? 6 |? 0

∴x??6

?3? 0

? ?3 时

x?R
? x ?3x?2
2

解关于 x 的不等式
? 1 即??(0,

( c o? ) t

? 1, ( 0 ? ? ?

?
2

)

解:当 cot ?

?
4

)时

? x

2

? 3x ? 2 ? 0

∴x>2 或 x<1

当 cot ? 当 cot ? 例五 满足 3 ?

? 1 即?=
? ( 0 ,1 )
x ?

?
4


?
4

x?φ ,
?
2
? ( a ? 1) x ? a ? 0

即??(
x ?1

)时

? x

2

? 3x ? 2 ? 0

∴1<x<2 的x 求a

的 x 的集合为 A;满足 x 2 求 a 的取值范围

的集合为 B 的取 值范围 解:A=[1,2]

1? 若 A?B

2? 若 A?B

3? 若 A∩B 为仅含一个元素的集合,求 a 的值。 B={x|(x-a)(x-1)≤0} B=[a,1] 当 a>1 时 B=[1,a] A?B A?B
1 2

当 a≤1 时 当 a>2 时 当 a≤1 时 例六 方程 a sin
2

当 1≤a≤2 时
1 2

A∩B 仅含一个元素
cos x ? ? a ? 0 , ( 0 ? a ? 1, 0 ? x ? ? )

x ?

有相异两实根,

求 a 的取值范围 解:原不等式可化为 2 a cos 令: t 设
f ( t ) ? 2 at
2

x ? cos x ? 1 ? 0

? cos x
2

则 t ? [ ? 1,1 ] 又∵a>0

? t ?1

?? ? 1 ? 8a ? 0 1 ? a ? ? ? ? 8 ? f ( ? 1) ? 2 a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? a ?1 ? f (1 ) ? 2 a ? 2 ? 0 ? ? a ?1 ? ? 1 ?? 1 ? ?a ? 1 或 a ? ? 1 ?1 4a ? ? 4 4 ? ?

三、小结 四、作业: 1. log
2 1 2

x ? (a ?

1 a

) log

1 2

x ?1? 0

? ? 1 1 ? 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? 0 时 ( ) a ? x ? ( ) a ? 2 2 ? , a ? ? 1时 x ? ? ? 1 ? ? 1 a 1 a ? 当 0 ? a ? 1或 a ? ? 1时 ( ) a ? x ? ( ) ? 2 2 ? ?
1

2. A

? {x | 3 ? x ?

x ? 1}

B ? { x || x ? 1 | ? a , a ? 0 }

若A ?

B ? ?

求 a 的取值范围 3.
a
2

(a≥1)
(? a 2 ? x ? 0)

? 3x
x ?1

2

? x ? a, (a ? 0)
2

4. x log

a

? a x, (a ? 0)

(当 0 ? a ? 1时 a

2

? x ? a
? (log

?

2

, 当 a ? 1时 x ? a
1 4 log
2 2

2

或0 ? x ? a

?

2

)

5.当 a 在什么范围内方程: x 2 不同的负根 6.若方程 x 2

2

a ? 4) x ?

a ?1 ? 0
? 2)? ?

有两个

1 ? ? (0 , ) ? ( 4 ,4 4 ?
? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0

的两根都对于 2,求实数 m 的范围
?? ?
5 , 4 ??


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