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4.3空间直角坐标系


4.3.1空间直角坐标系

一、基础知识讲解 1.空间直角坐标系建立 以单位正方体 OABC ? D?A?B?C? 的顶点O为原点,分别以射线OA, OC, ?的方向为正方向,以线段 OD OD OA,OC, ? 的长为单位长,建立 三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我们建 立了一个空间直角坐标系 O ? xyz
D'

z C' A' O C y B'

x A

B

O为坐标原点, x轴,y轴,z轴叫坐标轴,通过每两 个坐标轴的平面叫坐标平面

一、基础知识讲解 1.空间直角坐标系的方向 在空间直角坐标系中,让右手拇 指指向x轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z轴 的正方向,则称这个坐标系为右 手直角坐标系。如无特别说明, 本书建立的坐标系都是右手直 角坐标系。

z D' C' A' O C y x A B B'

一、基础知识讲解 2、空间直角坐标系的画法: 从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴,这 样就建立了空间直角坐 标系O-xyz.

z

1350 o

y

1350

x

1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴, 2.射线的方向叫做正向,其相反方向则叫做负向.

一、基础知识讲解 3、空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅲ

z

zox 面


yoz 面


xoy 面
Ⅶ Ⅷ

o



y


x


一、基础知识讲解
1??1 平面上的点 ??? 有序数组 ( x, y ) ? 1??1 空间中的点 ??? 有序数组 ( x, y, z ) ? 4、特殊点的表示: 坐标轴上的点、坐标平面上的点

z

R (0, 0, z ) C ( x,0, z )
O

B (0, y, z )
?

M ( x, y, z)
y

x P ( x,0,0)

Q (0, y, 0) A ( x, y,0)

巩固练习 C 下列叙述中,正确的个数是       (  )
(1)在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是 (0,b, c); (2)在空间直角坐标系中,在yOz平面上点的坐标一定可 写成(0,b, c); (3)在空间坐标系中,在Oz轴上点的坐标可记作(0,,c) 0 (4)在空间直角坐标系中,在xOz平面上点的坐标是 (a , 0, c) A.1 C .3 B .2 D .4

一、基础知识讲解 5、点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称点 点P(x,y,z)的对称点的坐标

关于xoy平 面对称 (x,y,-z)
关于x轴

关于yoz平 面对称 (-x,y,z)
关于y轴

关于xoz平 面对称 (x,-y, z)
关于z轴

关于原点平 面对称 (-x,-y,-z)

(x,-y,-z)

(-x,y,-z)

(-x,-y,z)

一、基础知识讲解 6、空间中两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)的距离公式为 (1) 在空间直角坐标系中,任意一点P(x,y,z)到原点 的距离: z 2 2 2

| OP |?

x ? y ?z

P(x,y,z)
O y

P`(x,y,0)
x

一、基础知识讲解 (2) 在空间直角坐标系中,任意两点P1(x1,y1,z1)和 P2(x2,y2,z2)间的距离:

| P1 P2 |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2
z

P2(x2,y2,z2)
P1(x1,y1,z1) H O M (x1,y1,0) y

N (x2,y2,0)

x

一、基础知识讲解 6、空间中两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)的距离公式为

| P1 P2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 特别地, 原点O与任一点P ( x , y , z )的距离 :
2 2 2

| OP |?

x2 ? y2 ? z2

探究:如果|OP|是定长r,那么x2+y2+z2=r2表示什么图 形? 4、方程(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2表示以(a,b,c)为球心,r为半 径的球面.
x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 则线段P1 P2的中点P的坐标为( , , ) 2 2 2

5、在空间直角坐标系中,已知P1 x1 , y1,z1)P2 x2 , y2,z2) ( , ( ,

二、例题讲解 OA ? 3, 例1.如图: 在长方体OABC ? D?A? B?C ?中,

OC ? 4, ? ? 2, 写出D?,C,A?,B? OD 四点的坐标.
D'
A' O x A

z
C' B' Cy

B

二、例题讲解 例2. 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶 胞示意图(可看成是八个棱长为1/2的小正方 体堆积成的正方体),其中红色点代表钠原 子,黄点代表氯原子,如图:建立空间直角 坐标系o-xyz后, z 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。

y

x

三、巩固练习 1.如下图,在长方体OABC-D`A`B`C`中,|OA|=3, |OC|=4,|OD`|=3,A`C`于B`D`相交于点P,分别写出点 C,B`,P的坐标. z D`

P
B`

C`

A`
O

A x

P`
B

C

y

三、巩固练习 2.如图,棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中,对角线 OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点,OA,OC分 别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标. z D` A` B` C`

Q
O
A x C

Q`
B

y

三、巩固练习 C 4.点A 2, 3)在空间直角坐标系的位置是(  ) ( 0,

A. y轴上           B . xOy平面上 C . xOz平面上         D . yOz平面上 D 5.点M 2,3 - 1)关于坐标原点的对称点是(  ) ( -

A.(-2, 3, -1)

B .(-2, -3, -1)

C .(2, -3, -1) D.(-2, 3,1) 6.在空间直角坐标系中,点( - 2, 4)关于x轴的对称 1, 点的坐标是 ( B ) A.(-2,1, -4) B .(-2, -1, -4) C .(2, -1, 4) D.(2,1, -4)

三、巩固练习 7.在空间直角坐标系中,求点A、B的中点,并求出它 们之间的距离: (1)A(2,3,5) B(3,1,4) (2)A(6,0,1) B(3,5,7) 8.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1) 的距离相等。 9.已知点A 4, 3),B 2,5, ( 1, ( - 1),C为线段AB的中点, C 则C点坐标为              ( )

7 1 5 A. , - , ) ( 2 2 2 C .(3, -3, 2)

B .(3, 2,1) 5 7 3 D.( , - , ) 2 2 2

三、巩固练习
2 10.点P x,y , z)满足 (x - 1) ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? 2, 则点P 在 (

A.以点(1, - 1)为圆心, 2为半径的圆上 1, B .以点(1, - 1)为中心, 2为棱长的正方体上 1, C .以点(1, - 1)为球心,为半径的球面上 1, 2 D.无法确定

C

11.已知A 1 - t,- t,t)和B 2,t,t)则 | AB | 的最小值( ) ( 1 ( , C 5 A. 5 3 5 C. 5 55 B. 5 11 D. 5

三、巩固练习 12.如图:正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a,|AN|=2|CN|, |BM|=2|MC`|,求MN的长. z D` C`

A`
O A x

B` M
C

N
B

y

小结 1.空间直角坐标系 (轴、面、卦限) 2.空间直角坐标系中点的表示方法

3.空间中两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)的距离公式为

| P1 P2 |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2
特别地, 原点O与任一点P ( x , y,z )的距离 : | OP |? x2 ? y2 ? z2

4.在空间直角坐标系中,已知P1 x1 , y1,z1)P2 x2 , y2,z2) ( , ( , x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 则线段P1 P2的中点P的坐标为( , , ) 2 2 2

作业 习题4.3A组第2、3题



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