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江苏省扬州市09-10学年高二上学期期末考试(数学)


江苏省扬州中学 09-10 学年高二上学期期末考试 高二数学试卷
一、填空题(每小题 5 分共 70 分,答案请写在答题纸上)
1. 命题 “ ?x ? R, 使得 x ? 0 ” 的否定是
2

2010.1.29





2.若方程

x2 y2 ? = 1 ( k ? R )表示双曲线,则 k ?3 k ?3
▲ ▲ ; ;

k 的范围是
3.

1? i = 1? i

4.已知流程图如右图所示,该程序运行后,输出 b 的 值为 ▲ ;

5.已知条件 p : a ?

1 1 且b ? , q : a ?b ?1, 则 p 2 2

是 q 的_______▲___条件(填充分不必要条件,必要不 充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件) ; 6.一只口袋中装有大小相同的 3 个红球,2 个白球,从中任取两个球,则取出的两个球中至 少有一个白球的概率是 ▲ ; 7.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y = ? x ,且双曲线过点 P(2,1) ,则 双曲线的标准方程为
x 2



; ▲ ;

8.函数 f ( x) = e ( x ? 2 x) 的单调递减区间为

5 x2 y2 ? = 1 上一点 P 到左焦点的距离为 ,则它到右准线的距离为 ▲ ; 9.已知椭圆 2 4 3
10.已知 2 z ? (2 ? i ) 为纯虚数, z ? (3 ? 4i) 为实数,则 z = 11.已知样本 7,8,9,x,y 的平均数是 8,标准 差为 2 ,则 xy 的值是 ▲ __; ▲ ;
y

y = f ?( x)

12. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) , 导函数 ... f ?( x)

b

a

O

x

在 ( a, b) 内的图象如右图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内 有极小值点有 ▲ 个;
第 12 题
2 2

3 13.在直角坐标系 xOy 中,设 A 点是曲线 C1:y = ax ? 1(a ? 0) 与曲线 C2:x ? y =

5 的 2

-1-

一个公共点,若 C1 与 C2 在 A 点处的切线互相垂直,则实数 a 的值是 ▲



14. 点 P 在直线 l : y = x ? 1 上, 若存在过 P 的直线交抛物线 y = x2 于 A, B 两点, 且 PA = AB , 则称点 P 为“ 点” ,那么直线 l 上有 ▲ 个“ 点” .

??? ?

??? ?

二、解答题(共 90 分,答案请写在答题纸上) 15. (12 分)某高校在 2009 年的自主招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组, 得到的频率分布表如下左图所示. (1) 请先求出频率分布表中①、 ②位置相应的数据; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试 成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生 进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少 名学生进入第二轮面试. 第4组 第5组 组号 第1组 第2组 第3组 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165? ?165,170? ?170,175? ?175,180?
[180,185]
合计

x2 y 2 16. (14 分)已知抛物线 C1 : y = 2 px 的准线经过双曲线 C2 : 2 ? 2 = 1 的左焦点,若抛 a b 2 2 6 物线 C1 与双曲线 C2 的一个交点是 M ( , ). 3 3 (1)求抛物线 C1 的方程; (2)求双曲线 C2 的方程.
2

17. (14 分)某连锁分店销售某种品牌产品,每件产品的成本为 4 元,并且每件产品需向总店

12 )时,一年的销售量为 (13 ? x)2 交 5 元的管理费, 预计当每件产品的售价为 x 元( 10 ? x ?
万件. (1)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式 L( x) (销售一件 商品获得的利润为 x ? (4 ? 5) ) ; (2)当每件产品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值.

-2-

18. (16 分)已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) = ax 2 ? 4bx ? 2. (1)设集合 P={1,2, 3},Q={-1,1,2,3,4},从集合 P 中随机取一个数作为 a ,从集合 Q 中随机取一个数作为 b ,求方程 f ( x) = 0 有两相等实根的概率;

?x ? y ? 8 ? 0 ? (2)设点( a , b )是区域 ? x ? 0 内的随机点,求函数 y = f ( x)在区间 [1,??) 上是 ?y ? 0 ?
增函数的概率.

x2 y 2 19. (16 分) 设椭圆 2 ? 2 = 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 与 AF 垂直的 a b ??? ? 8 ??? ? 直线分别交椭圆和 x 轴正半轴于 P, Q 两点,且 AP = PQ . 5
(1)求椭圆的离心率; (2)若过 A, Q, F 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 = 0 相切,求椭圆的方程.

20 . ( 18 分 ) 已 知 函 数 f ( x) = a ln x ? bx 图 象 上 一 点 P ( 2 , f(2) ) 处 的 切 线 方 程 为
2

-3-

y = ?3x ? 2 ln 2 ? 2
(1)求 a,b 的值; (2)若方程 f(x)+m=0 在 [ , e ] 内有两个不等实根,求实数 m 的取值范围(其中 e 为自然对数 的底,e ? 2.7 ) ; (3)令 g ( x) = f ( x) ? nx ,如果 g(x)图象与 x 轴交于 A( x1 ,0) ,B( x 2 , 0) , x1 ? x 2 ,AB 中点为 C( x 0 , 0) ,求证: g ' ( x0 ) ? 0 .

1 e

命题、校对:刘晓静、蒋红慧 审核:王思亮

高二数学期末考试参考答案
2010.1.29
1. ?x ? R, 使得 x ? 0
2

2. ? 3 ? k ? 3 3. i

4. 16

5. 充分不必要条件 10. ? 1 ?

6.

7 10

7. x 2 ? y 2 = 3

8. (? 2 , 2 )

9.3

4 i 3

11. 60 12.1 13. 4 14.无穷多 【解析】本题采作数形结合法易于求解,如图, 设 A? m, n ? , P ? x, x ?1? , 则 B ? 2m ? x, 2n ? x ? 2? , ∵ A, B在y = x 上 ,
2

∴?

?

n = m2
2

? 2n ? x ? 1 = (2m ? x)

消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? (4m ?1) x ? 2m ?1 = 0
2 2

(1)

∵ ? = (4m ?1) ? 4(2m ? 1) = 8m ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,
2 2 2

∴方程(1)恒有实数解,∴有无穷多解.

15.解: (1)由题可知,
-4-

第 2 组的频数为 0.35 ?100 = 35 人,

30 = 0.300 第 3 组的频率为 100 ,
(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组

30 20 10 ?6 = 3 ?6 = 2 ?6 =1 分别为:第 3 组: 60 人, 第 4 组: 60 人, 第 5 组: 60 人,
所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 16. (1)解: (1)由题意抛物线 C1 的方程为 y 2 = 2 px .

2 2 6 ) 代入方程 y 2 = 2 px ,得 p = 2 3 3 因此,抛物线 C1 的方程为 y 2 = 4 x .
把M( , (2)抛物线 C1 的准线方程为 y = ?1 ,所以, F1 (?1,0)

1 7 5 2 因此, a = ? = 3 3 3 3 2 2 8 x y 2 2 2 ? =1 又因为 c = 1 ,所以 b = c ? a = .于是,双曲线 C2 的方程 为 1 8 9 9 9
而双曲线 C2 的另一个焦点为 F (1, 0) ,于是 2a = MF1 ? MF = 17.解: (1)该连锁分店一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:
2 L( x)= ( x? 9 ) ( 1 ?3x , ) x? ,[ 1 0 1 2 ] (2) L' ( x) = (13 ? x) 2 ? 2( x ? 9)(13 ? x) = (13 ? x)(31 ? 3x) 31 令 L?( x) = 0 ,得 x = 或 x = 13 (舍去) . 3 31 31 L( x) 在 x ? [10, ] 上单调递增, L( x) 在 x ? [ ,12] 上单调递减 3 3 31 31 31 256 Lmax = L( ) = ( ? 9)(13 ? ) 2 = . 3 3 3 27 31 256 答:当每件售价为 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 万元. 3 27

18.解: (1)∵ 方程 ax 2 ? 4bx ? 2 = 0 有两等根,则 ? = 16b 2 ? 8a = 0 即 a = 2b 2 若 a =2 则 b =-1,1∴事件包含基本事件的个数是 2 个∴所求事件的概率为
2 (2)函数 f ( x) = ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x = 2

2 15

2b , 当且仅当 2b ? a 且 a >0 时, a

函数 f ( x) = ax ? 4bx ? 1在区是间 [1,??) 上为增函数,

-5-

? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ? 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?(a, b) ?a ? 0 ? ? ?b ? 0 ? ? ? ?
构成所求事件的区域为三角形部分。

?a ? b ? 8 = 0 16 8 ? 由? 得交点坐标为 ( , ), a 3 3 b= ? 2 ?

1 8 ?8? 3=1 ∴所求事件的概率为 P = 2 1 3 ?8?8 2
19.本题主要考查平面向量的坐标表示、椭圆方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能 力。 ⑴设点 Q( x0 ,0), F (?c,0) ,其中 c =
2

a 2 ? b 2 , A(0, b) ,由 AP =

8 8 5 PQ ,得 P ( x 0 , b) , 5 13 13

8 2x 5 2 3 所以 ( ) 02 ? ( ) = 1 ? x0 = a .①而 FA = (c, b), 13 a 13 2

AQ = ( x0 ,?b) , FA ? AQ ,所以 FA ? AQ = 0 ,所以 cx0 ? b = 0, x0 =
2
2 2 2 2

b2 .② c
1 . 2

由①②知 2b = 3ac ,所以 2c ? 3ac ? 2a = 0 .所以 2e ? 3e ? 2 = 0 ,所以 e =

⑵满足条件的圆心为 O ' (

b2 ? c2 b2 ? c2 a2 ? c2 ? c2 = = c ,所以 O' (c,0) ,圆半径 ,0) , 2c 2c 2c

b2 ?c a2 | c ?3| r= c = = a .由圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 = 0 相切得, = a ,又 a = 2c , 2 2c 2
所以 c = 1 , a = 2 , b =

3 .所以椭圆方程为

x2 y2 ? = 1. 4 3

20 . ① f ' ( x) =

a a a ? 2bx, f ' (2) = ? 4b, f (2) = a ln 2 ? 4b , 所 以 ? 4b = ?3 , 且 x 2 2

a ln 2 ? 4b = ?6 ? 2 ln 2 ? 2 ,解得 a = 2, b = 1 .
② f ( x) = 2 ln x ? x ,令 h( x) = f ( x) ? m = 2 ln x ? x ? m ,则 h' ( x ) =
2 2

2 ? 2x x

=

2(1 ? x 2 ) ,令 h' ( x) = 0 ,得 x = 1( x = ?1舍去 ) . x
-6-

在 [ , e ] 内,当 x ? [ ,1) 时, h' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 是增函数;当 x ? (1, e] 时, h' ( x) ? 0 , 所以 h( x) 是减函数

1 e

1 e

? 1 ?h( e ) ? 0, ? 1 2 则方程 h( x) = 0 在 [ , e ] 内有两个不等实根的充要条件是 ?h(1) ? 0, 即 1 ? m ? e ? 2 . e ?h(e) ? 0, ? ?
③ g ( x) = 2 ln x ? x ? nx , g ' ( x) =
2

2 ? 2x ? n . x

?2 ln x1 ? x12 ? nx1 = 0, (1) ? 2 ?2 ln x 2 ? x 2 ? nx2 = 0, (2) ? 假设结论成立,则有 ? x1 ? x 2 = 2 x0 , (1)-(2) ,得 (3) , ? ? 2 ? 2 x0 ? n = 0, (4) ? ? x0

x1 x x2 2 2 ln 1 ? ( x12 ? x2 ) ? n( x1 ? x2 ) = 0 .所以 n = 2 ? 2 x0 . x2 x1 ? x 2 ln x1 x ln 1 x2 x2 2 1 2 由(4)得 n = ,即 , ? 2 x0 ,所以 = = x0 x1 ? x2 x0 x1 ? x 2 x1 ? x 2 ln
x1 ?2 x1 x2 即 ln , (5) , = x1 x2 ?1 x2 2
令t =

x1 2t ? 2 , u(t ) = ln t ? (0 ? t ? 1) . x2 t ?1

(t ? 1) 2 则 u ' (t ) = ? 0 ,所以 u(t ) 在 0 ? t ? 1 上是增函数, u(t ) ? u(1) = 0 ,所以(5)式不 t (t ? 1) 2
成立,与假设矛盾,所以 g ' ( x0 ) ? 0 .

-7-


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