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数列——高中数学基础知识与典型例题541(好)


数学基础知识与典型例题 数列 例 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ? n ,求 数列 ?an ? 的通项公式. 1.数列{ a n }的前 n 项和 S n 与 通项 a n 的关系: 例 2.已知 a1 ? 3且an ? S n?1 ? 2n ,求 an 及 S n .

定义 递推 公式 通项 公式 中项 前n 项和

例 3.已知 a1 ? 1 , S n ? n an (n ≥ 1) 求 an 及 S n .
2

数 列
1 1 1 1 1 例 4.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ n 的前 n 2 4 8 16 2

等 差 数 列 与 等 比 数 列

重要 性质

2.数列求和的常用方法:公 项之和为 Sn,则 Sn 等于( ) 式法、裂项相消法、错位相 1 1 (A)n2+1- n (B)2n2-n+1- n 减法、倒序相加法等。 2 2 关键是找数列的通项结构。 (C)n2+1-
1 2
n ?1

(D)n2-n+1-

例 5.求和: S ? 1 ? 2 x ? 3x2 ? 4 x3 ? ? ? nx n?1 .

1 2n

证 明 证 明 一 个 数 列 为 等 差 数 列 的 方 证明一个数列为等比数列的方法: an?1 方法 法: 1.定义法 ? q(常数) 1.定义法 an?1 ? an ? d (常数) an 2.中项法 an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2) 2.中项法 an?1 ? an?1 ? an)(n ? 2) ( 2 a 设 元 三数等差: a ? d , a, a ? d 三数等比: , a, aq或a, aq, aq 2 技巧 四数等差:a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d q 四数等比: a, aq, aq2 , aq3 联系 真数等比,对数等差; 指数等差,幂值等比。

重点把握通项公式和前 n 项和公式,对于性质主要是理解(也就是说自己能推 .. 导出来),具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其 他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项 公式的“累积”法,是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如推导等差数 列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是 数列求和的重要技巧.

等差数列

等比数列

等 差

注:⑴等差、等比数列的证明须用定义证明;⑵数列计算是本章的中心内容, ①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 n 的函数,所以 等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

数 列 与 等 比 数 列

② 分 类 讨 论 思 想 : 用 等 比 数 列 求 和 公 式 应 分 为 Sn ?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 及 1? q

S n ? na1 (q ? 1) ;已知 S n 求 an 时,也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运 用整体思想求解.⑷在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问 题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用 题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年 份有关的等比数列的第几项不要弄错. 11 1 例 6.等差数列{a n}中,已知 a1 ? , a6 ? ,a n =33,则 n 为( ) 3 3 (A)48 (B)49 (C)50 (D)51 3 例 7.在等比数列 ?an ? 中, a7 ? 12, q ? 2 ,则 a19 ? _____.
例 8. 2 ? 3 和 2 ? 3 的等比中项为( ( A)1 ( B) ? 1 ) (C ) ? 1
( D )2

例 14.设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75, S Tn 为数列{ n }的前 n 项和,求 Tn. n

等 差 数 列 与 等 比 数 列

例 15.三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数 列的第二个数减去 4,则又成等比数列,求原来三个数.

例 9. 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 , 等 差 数 列 与 等 比 数 列 例 16. 在 5 和 81 之间插入两个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比 数列,求这两个数的和. 例 10.在等比数列 ?an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x2 ? 5x ? 1 ? 0 的两个根, 则 a4 ? a7 ? (
( A) ? 5 2

)
( B) 2 2
(C ) ? 1 2 ( D) 1 2

例 11.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0 ,则有(

)

( A)a1 ? a101 ? 0

( B)a2 ? a100 ? 0

(C)a3 ? a99 ? 0

( D)a51 ? 51

1 21 1 例 17. 设{an}是等差数列, bn ? ( ) an ,已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求等差数 8 8 2 列的通项 an.

例 12. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n 2 ? 2n , 求证:数列 ?an ? 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。

例 28.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的正 整数 n 是( ) (A)4 或 5 (B)5 或 6 (C)6 或 7 (D)8 或 9

例 13. 在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 .



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