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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】平面上两点间的距离(一)


1.5(一)

1.5

平面直角坐标系中的距离公式(一)

[学习要求] 1.掌握数轴上两点间的距离公式;
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2.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式,并会求两 点间的距离; 3.理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题. [学法指导] 通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理, 探究出两点间距离公式,通过公式的应用,初步了解解 析法证明的思路和方法,体验由特殊到一般,再由一般 到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.5(一)

1.数轴上两点 A,B 间的距离公式为|AB|= |xB-xA| .
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2. 两点间的距离公式: 若两点 A, 的坐标分别为 A(x1, 1), B y B(x2,y2),则 A,B 间的距离公式为|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 . 3.用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为: 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量. 第二步:进行有关代数运算. 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.5(一)

探究点一
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两点间的距离公式

问题 1

如何用字母表示平面上任给两点 A,B 间的距离?

答 问题 2 答

用|AB|表示两点 A,B 间的距离. 数轴上两点 A,B 间的距离公式是什么? |AB|=|xB-xA|.

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1.5(一)

问题 3

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在平面直角坐标系中,若两点 A(-5,-2),B(3,4),它

们的距离如何求?
如右图所示:过 A 作 y 轴的垂线,过 B 作 x 轴的垂线,两垂线交于点 C(3,-2).

在 Rt△ACB 中,|CA|=3-(-5)=8, |BC|=4-(-2)=6. 由勾股定理可得|AB|= |CA|2+|BC|2= 82+62=10.

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1.5(一)

问题4 已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求P1, P2的距离|P1P2|呢?
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如右图,在Rt△P1QP2中,|P1P2|2=

|P1Q|2+|QP2|2,所以|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.
小结 两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=

?x2-x1?2+?y2-y1?2.

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1 2

1.5(一)

例1

已知△ABC的三个顶点是A(-1,0),B(1,0),C(



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3 ),试判断△ABC的形状. 2 12 32 解 因为|BC|= ?1- ? +? ? = 2 2
|AB|=2,|AC|= 32 32 ?2? +? 2 ? = 3,

1+3 =1, 4

有|AC|2+|BC|2=|AB|2, 所以△ABC是直角三角形.

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1.5(一)

小结
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本题是用代数的方法证明几何问题,这就是解析

法.具体来说就是根据图形特点,建立适当的直角坐标系, 利用坐标解决有关问题,这种方法叫坐标的方法,也称为解 析法.

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跟踪训练1

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1.5(一)

已知点A(-1,2),B(2,

7 ),在x轴上求一点

P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
设所求点P(x,0),∵|PA|=|PB|,

∴ ?x+1?2+?0-2?2= ?x-2?2+?0- 7?2.
∴x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.∴所求点P(1,0)且|PA| = ?1+1?2+?0-2?2=2 2.

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探究点二 坐标法证明几何问题

1.5(一)

例2 △ABC中,D是BC边上任意一点(D与B,C不重合), 且|AB|2=|AD|2+|BD|· |DC|.求证:△ABC为等腰三角形.

证明
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作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线

为x轴,以OA所在直线为y轴,建立直角坐标 系(如右图). 设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0). 因为|AB|2=|AD|2+|BD|· |DC|,所以,由距离公式可得

b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d). 又d-b≠0,故-b-d=c-d,即-b=c. 所以|AB|=|AC|, 即△ABC为等腰三角形.

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1.5(一)

小结 用解析法证几何题的注意事项:(1)用解析法证明几
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何题时,首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系,然 后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标;(2)根据题设 条件 及几何性质推出未知点的坐标;(3)在证题过程中要不 失一般性.

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跟踪训练2

1.5(一)

证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线

的平方和. 证明 如右图所示,以顶点A为坐标原点,
AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,
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有A(0,0). 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b,

c),

因为|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2,|BC|2=b2+c2,|AC|2= (a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2. 所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2),|AC|2+|BD|2
=2(a2+b2+c2). 所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

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探究点三 例3 最值问题

1.5(一)

某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),

B(4,0),一条河所在直线方程为l:x+2y-10=0,若在河 边l上建一座供水站P使之到A,B两镇的管道最省,问供水
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站P应建在什么地方?此时|PA|+|PB|为多少? 解 如图所示,过A作直线l的对称点A′,
连接A′B交l于P,因为若P′(异于P)在直线 l上,则|AP′|+|BP′|=|A′P′|+ |BP′|>|A′B|.
因此,供水站只能在点P处,才能取得最小值.
设A′(a,b),则AA′的中点在l上,且AA′⊥l,

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b+2 ?a+1 ? +2× -10=0 2 2 ? 即? ?b-2 ?-1? ? ? ?a-1· 2?=-1 ? ?
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1.5(一)

?a=3 ? ,解得? ?b=6 ?

,即A′(3,6).

所以直线A′B的方程为6x+y-24=0, ? 38 ?6x+y-24=0 ?x=11 ? 解方程组? ,得? , ?x+2y-10=0 36 ? ?y= ?38 36? ? 11 所以P点的坐标为?11,11?. ? ? ?38 36? 故供水站应建在点P?11,11?处. ? ?
此时|PA|+|PB|=|A′B|= ?3-4?2+?6-0?2= 37.

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1.5(一)

小结
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这是一道数学实际应用题,先建立数学模型,转化为

数学问题.求路程最小值问题,利用点关于直线的对称来解 决,即在直线l上找一点P,使|PA|+|PB|最小.

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跟踪训练3 解

1.5(一)

求函数y= x2-8x+20+ x2+1的最小值.

原式可化为y= ?x-4?2+?0-2?2+ ?x-0?2+?0-1?2.

考虑两点间的距离公式,如图所示,
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令A(4,2),B(0,1),P(x,0), 则上述问题可转化为:在x轴上求一点
P(x,0),使得|PA|+|PB|最小. 作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4,-2),
由图可直观得出|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,
故|PA|+|PB|的最小值为|A′B|的长度.
由两点间的距离公式可得|A′B|= 42+?-2-1?2=5,
所以函数y= x2-8x+20+ x2+1的最小值为5.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.5(一)

1.已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到M、N的距离相等,则x,
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y满足的条件是 A.x+3y-8=0 C.x-3y+9=0
解析 由|PM|=|PN|,

( D ) B.x-3y+8=0 D.3x-y-4=0

得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,

化简得3x-y-4=0.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.5(一)

2.一条平行于x轴的线段的长是5个单位,它的一个端点为
(7,1)或(-3,1) A(2,1),则它的另一个端点B的坐标是_______________.
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解析

由已知可设B(x,1),

∴|x-2|=5, 解得x=7或x=-3, ∴B的坐标为(7,1)或(-3,1).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.5(一)

3.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则 |AB|=________. 2
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解析

b-a 因为kAB= =b-a=1, 5-4

所以|AB|= ?5-4?2+?b-a?2= 2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.5(一)

4.已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,求点P 的坐标.
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设点P的坐标为(x,0),

由|PA|=10, 得 ?x-3?2+?0-6?2=10, 解得:x=11或x=-5. 所以点P的坐标为(-5,0)或(11,0).

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1.5(一)

1.坐标平面内两点间的距离公式,是解析几何中的最基本最 重要的公式之一,利用它可以求平面上任意两个已知点间
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的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其 中一个点的坐标. 2.平面几何中与线段长有关的定理和重要结论,可以用解析 法来证明.用解析法解题时,由于平面图形的几何性质是 不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的,但不同的平面 直角坐标系会使计算有繁简之分,因此在建立直角坐标系 时必须“避繁就简”.


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