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2010-2013年数列高考题汇编


2010---2013 年高考真题汇编---数列
一、选 择题 1. ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 文 ) 已 知 数 列 ) D. 3 ?1+3-10 ?

? an ?

满 足

4 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于 ( 3 1 A. -6 ?1-3-10 ? B. ?1-3-10 ? C. 3 ?1-3-10 ? 9

2 . (2013 年高考安徽文)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则
a9 =

( B. ?4 C. ?2 D.2
2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 3



A. ?6

3. (2013 年高考课标Ⅰ卷文) 设首项为 1 ,公比为
S n ,则

( B. S n ? 3an ? 2 C. S n ? 4 ? 3an D. S n ? 3 ? 2an



A. S n ? 2an ? 1

4 . (2013 年高考辽宁卷文)下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:
p1 : 数列?an ? 是递增数列; p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?

其中的真命题为 A. p1 , p2 B. p3 , p4 C. p2 , p3 D. p1 , p4





5. 2012 高考安徽文 5) ( 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数, a3 a11 =16, 且 则 a5 = (A) 1 (B)2 (C) 4 (D)8

6.(2012 高考全国文 6)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,, 则 Sn ?
3 2 1 (B) ( ) n ?1 (C) ( ) n ?1 (D) n ?1 2 3 2 7.(2012 高考新课标文 12)数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

(A) 2 n?1

1

8.(2012 高考辽宁文 4)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24

9.(2012 高考四川文 12)设函数 f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ? 1 ,数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ( A、0 B、7 C、14 ) D、21
n? ,其前 n 项和为 Sn,则 2

10.(2102 高考福建文 11)数列{an}的通项公式 a n ? cos

S2012 等于 11.(2102 高考北京文 6)已知为等比数列,下面结论种正确的是 (A)a1+a3≥2a2
2 2 (B) a12 ? a3 ? 2a2

(C)若 a1=a3,则 a1=a2 (D)若 a3>a1,则 a4>a2 二、填空题 1 .2013 年高考重庆卷文) 2、 、 、 、 成等差数列,则 c ? a ? ____________. ( 若 a b c 9 2 . (2013 年高考北京卷文)若等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40 ,则公 比 q =__________;前 n 项 S n =_____. 3 . (2013 年高考广东卷文)设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则
a1 ? | a2 | ? a3 ? | a4 |? ________

4 . (2013 年高考江西卷文)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于 _____________. 5 . (2013 年高考辽宁卷文)已知等比数列 ?an ? 是递增数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项 和,若 a1,a3 是方程 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 的两个根,则 S 6 ? ____________. 6. (2013 年高考陕西卷文)观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

照此规律, 第 n 个等式可为________. 7. (2013 年上海高考数学试题文)在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ,则
a2 ? a3 ? _________.

8.(2012 高考重庆文 11)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S 4 ?

2

9. (2012 高考新课标文 14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公 比 q=_______ 10.(2012 高考江西文 13)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1, 且对任意的 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。
1 ,各项均为正数的数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 , 1? x

12.(2012 高考上海文 14)已知 f ( x) ?

an? 2 ? f (an ) ,若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是

13.(2012 高考辽宁文 14)已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2) =5a n+1 ,则数列{an}的公比 q = _____________________. 14.(2102 高考北京文 10)已知{an}为等差数列, n 为其前 n 项和, a1 ? S 若 则 a2=______,Sn=_______。 15.(2012
2 a1a3 a5 ?

1 , 2=a3, S 2 1 , 则 2

高 考 广 东 文 .

12) 若 等 比 数 列

? an ?

满 足 a2 a4 ?

三、解答题 1. (2013 年高考福建卷文)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n . (1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ; (2)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围. 2. (2013 年高考大纲卷文)等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?
1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

3. (2013 年高考湖北卷文) )已知 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S 4 , S 2 , S3 成等差 数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合; 若不存在,说明理由. 4 .( 2013 年 高 考 湖 南 文 ) 设 S n 为 数 列 { a n } 的 前 项 和 , 已 知

3

a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ? N ?
(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和 . 5. (2013 年高考重庆卷文)设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N ? . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ;zhangwlx (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 . 6.2013 年高考天津卷文) ( 已知首项为 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 ?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 证明 Sn ?
1 13 ? (n ? N *) . Sn 6
3 2

? 7. (2013 年高考北京卷文)给定数列 a1,a2, ,an .对 i ? 1, 2,?, n ? 1 ,该数列前 i ? 项 的 最 大 值 记 为 Ai , 后 n ? i 项 ai ?1,ai ? 2, ,an 的 最 小 值 记 为

Bi , di ? Ai ? Bi .[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅰ)设数列 ?an ? 为 3,4,7,1,写出 d1 , d 2 , d 3 的值;
? (Ⅱ)设 a1,a2, ,an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 .证明:

d1 , d 2 ,, dn?1 是等比数列;

(Ⅲ)设 d1 , d 2 ,, dn?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明: a1 , a2 ,, an?1 是 等差 数列 8 . 2013 年 高 考 山 东 卷 文 ) 设 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 (

S 4 ? 4S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 (Ⅱ)设数列 ?bn ?满足
b b1 b2 1 ? ? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? a1 a2 an 2

9. (2013 年高考浙江卷文)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列.
4

(Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| . 10. (2013 年高考四川卷文)在等比数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的 等差中项,求数列 {an } 的首项、公比及前 n 项和. 11. (2013 年高考广东卷文)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足
2 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N ? , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

12. (2013 年高考安徽文)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N * , 函数 f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (an ? 2
1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ) 2an

? 满足 f '( ) ? 0 2

13. (2013 年高考课标Ⅱ卷文)已知等差数列 ?an ? 的公 差不为零,a1=25,且 a1,a11,a1 3 成等比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3n?2 . 14. (2013 年高考江西卷文)正项数列{an}满足 an 2 ? (2n ? 1)an ? 2n ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?
1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n ? 1) an

15. (2013 年高考陕西卷文)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式;
1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比 1? q

(Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ? 数列.

16. (2013 年上海高考数学试题文)已知函数 f ( x) ? 2? | x | .无穷数列 {an } 满足
5

an ?1 ? f (an ), n ? N * .

(1)若 a1 ? 0 ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)若 a1 ? 0 ,且 a1 , a2 , a3 成等比数列,求 a1 的值; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , a3 ,, an 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ; 若不存在,说明理由. 17. (2013年高考课标Ⅰ卷文)已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足
S3 ? 0 , S5 ? ?5 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {
1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

18. (2012 高考浙江文)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡, 数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 19.(2012 高考江苏 20)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:
a n ?1 ? a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,
? ? ? 是等差数列; ? ?

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

20. (2012 高考四川文 20) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,常数 ? ? 0 ,且

? a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg
1 } 的前 n 项和最大? an

21.(2012 高考湖南文 20)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企 业第一年年初有资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%. 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年
6

年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上 缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企 业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). 22.(2012 高考重庆文)本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值。 23.(2012 高考陕西文)已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=(1)若 a 3 =
1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4 1 . 2

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , a k , a k ? 2 , a k ?1 成等差数列。 24.(2012 高考天津文)已知{ }是等差数列,其前 n 项和为 S n , }是等比 { 数列,且 = =2, a4 ? b4 ? 27 , - =10 (I)求数列{ }与{ }的通项公式; (II)记 = + , (n ,n>2) 。

25.(2012 高考山东文)已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m?N* , 将数列 {an } 中不大于 72m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的 前 m 项和 S m . 26.(2012 高考全国文)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn ? (Ⅰ)求 a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 27.(2012 高考安徽文)设函数 f(x) = 成的数列为 { x n } . (Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式;
x + sin x 的所有正的极小值点从小到大排 2 n?2 an 。 3

7

(Ⅱ)设 { x n } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 28.(2012 高考上海文)对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,记 bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ? ( k ? 1, 2,..., m ) ,即 bk 为 a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数 列,如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5 (1) 若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2, 4, 5, 3, 5, 写出所有的 ?an ? (2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C ( C 为常数, k ? 1, 2,..., m ) , 求证: bk ? ak ( k ? 1, 2,..., m )
?1 ? (3)设 m ? 100 ,常数 a ? ? ,1? ,若 an ? an2 ? (?1) ?2 ?
n ( n ?1) 2

n , ?bn ? 是 ?an ? 的控制数

列,求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ... ? (b100 ? a100 ) 29.(2012 高考广东文)设数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,数列 ? S n ? 的前 n 项和为 Tn , 满足 Tn ? 2Sn ? n 2 , n ?N* . (1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 30. (2102 高考福建文)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an} 的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件, 并求这两项的值相等的概率。 31.(2012 高考江西文 17) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kc n ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。
1 1 31、(2011 年新课标卷文)已知等比数列 {an } 中, a1 ? ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) S n 为 {an } 的前 n 项和,证明: S n ? 2

8

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {bn } 的通项公式. 32 、 (2011 全 国 新 课 标 卷 理 ) 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且
2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?

33、 (2010 新课标卷理)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 3?22 n ?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 S n 34、 (20I0 年全国新课标卷文)设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。 35、2011 年全国卷)设数列 ?an ? 的前 N 项和为 S n ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a2 ? 30, 求 an ( 和 Sn 36、 2011 辽宁卷)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 ( (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列 ?
? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?

37、 (2010 年陕西省)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 38、 (2009 年全国卷)设等差数列{ an }的前 n 项和为 sn ,公比是正数的等比数列 { b n }的前 n 项和为 Tn ,已知 a1 ? 1, b1 ? 3, a3 ? b3 ? 17,T3 ? S 3 ? 12,求{a n },{bn }的通项 公式。 39、 (2011 福建卷) 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式;
9

(II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 40、 (2011 重庆卷)设 (Ⅰ)求 (Ⅱ)设 是公比为正数的等比数列, , .

的通项公式;www.ylhxjx.com 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列, 求数列 的前 项和 .

41、 (2011 浙江卷)已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) ,且
1 1 , 成等比数列. a2 a4

1 , a1

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N * ,试比较
1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 与 的大小. a2 a2 a2 a1 a2

42、 (2011 湖北卷) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等 比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式;
5? ? (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 ? S n ? ? 是等比数列。 4? ?

43、 (2010 年山东卷)已知等差数列 ?a n ? 满足:a3 ? 7 ,a5 ? a7 ? 26 ,?a n ? 的前 n 项和为 S n (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?
1 ( n ? N* ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 ?1

2 an

44、 (2010 陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成 等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 45、 (2010 重庆卷)已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, S n 为 ?an ? 的 前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 S n ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公 式及
10

其前 n 项和 Tn . 46、 (2010 北京卷)已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 47、 (2010 浙江卷)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S2S6+15=0. (Ⅰ)若 S5=S.求 Sn 及 a1; (Ⅱ )求 d 的取值范围. 48、 (2010 四川卷)已知等差数列 (Ⅰ)求数 列 (Ⅱ)设
{an } {an }

的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。

的通项公式; ,求数列
{bn }

bn ? (4 ? an )q n ?1 (q ? 0, n ? N * )

的前 n 项和

Sn

50、 (2010 上海卷)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N * 证明: ?an ? 1? 是等比数列;

11


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