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邯郸市2013-2014学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试题期末考试卷及答案


2013-2014 学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷答案及评分标准 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1-5 DADCA 6-10BABDA 11-12BC

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.

3 2

14. 60

o

15. ?8或12

16. ①④

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分) 解: (Ⅰ)由题得 ?

?x ? 2 ? 0 ,…………………………………………3 分 ?2 ? x ? 0

所以函数 f ( x ) 的定义域为 {x | ?2 ? x ? 2} …………………………………………………5 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 为奇函数…………………………………………6 分 证明:由(Ⅰ)知函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称………………7 分 且 f (? x) ? loga (? x ? 2) ? loga (2 ? x) ? ? log a (2 ? x) ? log a (2 ? x)

? ?[loga (2 ? x) ? loga (2 ? x)] ? ? f ( x)
所以函数 f ( x ) 为奇函数…………………………………………………10 分 18. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:∵ SA ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ∴ SA ? BC …………………………………………………………2 分 又∵ ?ABC ? 90 即 AB ? BC ∵ AB、SA ? 面SAB ∴ BC ? 面SAB ………………………………………………………4 分 又∵ BC ? 面SBC

S

∴ 平面SAB ? 平面SBC ………………………………………………6 分 (Ⅱ)解:连接 AC

B

C

A

D

∵ SA ? 平面ABCD ∴ AC 是 SC 在底面 ABCD 内的射影 ∴ ?SCA 为直线 SC 与底面 ABCD 所成角………………9 分 ∵ AB ? BC ? 2 , ?ABC ? 90 ∴ AC ? 2 2 又∵ SA ? 2 ∴ tan ?SCA ? 19. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)∵直线 l1 过点 A(2,1), B(0,3) , ∴直线 l1 的方程为

2 2 2

?

2 2 ,即直线 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 …12 分 2 2

y ?1 3 ?1 ? ,即 y ? ? x ? 3 ………………………2 分 x?2 0?2

又∵直线 l2 的斜率为 ?3 且过点 C (4, 2) ∴直线 l2 的方程为 y ? 2 ? (?3)( x ? 4) ,即 y ? ?3x ? 14 ………………4 分

11 ? x? ? ? y ? ?3x ? 14 11 5 ? 2 ∴? ,解得 ? 即 l1 、 l2 的交点 D 坐标为 ( , ? ) ………6 分 2 2 ? y ? ?x ? 3 ?y ? - 5 ? ? 2
说明:在求直线 l1 的方程的方程时还可以利用点斜式方程或一般式方程形式求解.

5 11 ? k ( x ? ) ………………7 分 2 2 15 又由已知可得线段 MN 的方程为 3 x ? 19 y ? 44 ? 0(?2 ? x ? ) …………8 分 2
(Ⅱ)法一:由题设直线 l3 的方程为 y ? ∵直线 l3 且与线段 MN 相交

5 11 ? y ? ? k(x ? ) ? ? 2 2 ∴? ?3 x ? 19 y ? 44 ? 0(?2 ? x ? 15 ) ? ? 2
解得 ?2 ?

209k ? 183 15 ? ………………………………………………10 分 38k ? 6 2

得 k ? ? 或k ? 3 ∴直线 l3 的斜率 k 的取值范围为 k ? ? 或k ? 3 .…………………………12 分 法二:由题得右图,……………………7 分

3 5

3 5

5 ? ?2 3 2 ∵ kMD ? ? ? ……8 分 11 5 ? (?2) 2 5 7 ? ? k ND ? 2 2 ? 3 ……………………9 分 11 15 ? 2 2
∴直线 l3 的斜率 k 的取值范围为

y

M EM ?2 BE 去 D Eq EM uati BE on. D DS Eq MT uati 4 on. | } DS
?2

去 去 O E EM 5 ?M BE 2 B D E Eq D uati E on. qu DS ati MT on 4 .D |} S D1 M T 4 |}
?2 ?2

2

7 2

N N Ex 11 15 2 2M B D去 E ED ME B qu E ati D on E .D S qu atiM T on .D4 B|1 } S
?2

3 k ? ? 或k ? 3 .…………………………………12 分 5
20. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:如图,连接 AC 交 BD 于点 F ,连接 EF , 则由题在 ?ACC1 中, EF 是两边 CC1 、 AC 上的中位线, ∴ EF ∥ AC1 ……………………………………4 分 又∵ EF ? 面DBE ∴ AC1 ∥ 面DBE ………………………………6 分 (Ⅱ)解:由题 VB1 ? DBE ? VD? B1BE …………………………8 分 而在三棱锥 D ? B1BE 中, S?B1BE ? ∴ VD ? B1BE

MT 4 |}
?2

C1

A1

E

D F A

M T 4 |}
?2

C

B

1 ? 2 ? 2 ? 2 ,高为正方体的棱长, 2 1 1 4 4 ? S B1BE ? h ? ? 2 ? 2 ? ? VB1 ? DBE ,即 VB1 ? DBE ? .……………12 分 3 3 3 3

21. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由题设,总成本为 20000 ? 100 x ,………………………………2 分

? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400 则y?? 2 ………………………………6 分 ? x ? 400 ?60000 ? 100 x, 1 2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 400 时, y ? ? ( x ? 300) ? 25000 , 2 当 x ? 300 时, ymax ? 25000 ;…………………………………………9 分 当 x ? 400 时, y ? 60000 ? 100 x 是减函数,

则 y ? 60000 ? 100 ? 400 ? 20000 ? 25000 .………………………………11 分 ∴当 x ? 300 时,有最大利润 25000 元.………………………………12 分 22. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, ① 设 x1 , x2 是区间 (0, a ] 上的任意两个实数,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

a a ) ? ( x2 ? ) x1 x2 a a ? ) x1 x2 x2 ? x1 ) x1 x2

? ( x1 ? x2 ) ? (

? ( x1 ? x2 ) ? a( ? ( x1 ? x2 )(1 ?

a ) ……………2 分 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? a ,∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? a ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x ) 在 (0, a ] 是减函数……………4 分 ②同理可证 f ( x ) 在 [ a , ??) 是增函数………………………………………5 分 综上所述得:当 x ? 0 时, f ( x ) 在 (0, a ] 是减函数,在 [ a , ??) 是增函数. …………… 6分 ∵函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 是奇函数,根据奇函数图像的性质可得 x

当 x ? 0 时, f ( x ) 在 [? a ,0) 是减函数,在 (??, ? a ] 是增函数……………8 分 (Ⅱ)解:∵ h( x) ? x ?

4 ? 8 ( x ??1,3? )………8 分 x

由(Ⅰ)知: h ? x ? 在 ?1,2? 单调递减, ?2,3? 单调递增 ∴ h ? x ?min ? h ? 2? ? ?4 ,

h ? x ?max ? max ?h ?3? , h ?1?? ? ?3 , h ? x ? ???4, ?3? ………………………10 分
又∵ g ?x ? 在 ?1,3? 单调递减, ∴由题意知: ??4, ?3? ? ??3 ? 2b, ?1 ? 2b? 于是有: ?

??3 ? 2b ? ?4 1 ,解得 ? b ? 1 .………………………………12 分 2 ??1 ? 2b ? ?3



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