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北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《三角函数》(文)及答案


北京市 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 三角函数
一、填空、选择题 1、 (2015 年北京高考)在 ??? C 中, a ? 3 , b ?

6 , ?? ?

2? ,则 ?? ? 3

. .

a ? 1, b ? 2, cos C ? 2、 (2014 年北京高考) 在 ?ABC 中,

1 , 则c ? 4

sin A ? ;
)

1 3、(2013 年北京高考)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 A. 5 5 B. 9 C. 5 3 D.1

4、(昌平区 2015 届高三上期末)在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 2, BC ? 3, ,则 ? B 等于 A. 120
?

B.

90?

C.

60?

D. 45

?

π π 5、(朝阳区 2015 届高三一模)函数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos( x ? ) 图象的一条对称轴方程是 6 6
A. x ?

π 6

B.

x?

π 3

C. x ?

5π 12

D. x ?

2π 3

6、(东城区 2015 届高三二模)在△ ABC 中,已知 a ? 2, b ? 3 , 那么

sin A ? sin( A ? C)

B, C 所对的边分别为 a, b, B ? 45? , 7、 (房山区 2015 届高三一模)在△ ABC 中,角 A, 且 a ? 1, c,

S△ABC ? 2 ,则 b 等于 (
A. 4 2 B. 5

) C. 41 D. 5 2

8、(丰台区 2015 届高三一模)将函数 y ? cos x 的图象向右平移

? 个单位长度,再把所得图象上 6

各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 (A) y ? cos( x ? (C) y ? cos(2 x ?

1 2

?
6

)

(B) y ? cos( x ? (D) y ? cos(2 x ?

?

1 2

?
3

)

6

)

?

3

)


9、 (丰台区 2015 届高三二模)在锐角△ABC 中,AB= 2 5 ,AC=2,△ABC 的面积是 4,则 sinA=

BC=



10、(海淀区 2015 届高三二模)在 ?ABC 中,若 a ? 3, c ? (A) 4 (B) 6

3, ?A ?

? ,则 b ? ( 3
(D) 6



(C) 2 3

11、(石景山区 2015 届高三一模)函数 y ? sin(? ? x) ?1 的图象( A.关于 x ?



?
2

对称

B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

D.关于 x ? ? 对称

12、(西城区 2015 届高三二模)在 ?ABC 中, 角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c , 若 a ? 7 ,

b ? 3 , c ? 2 , 则 A ? ____; ?ABC 的面积为____.
13、若△ABC 的内角 A. B.C 所对的边 a、b、c 满足 (a ? b) 2 ? c 2 ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的值为 ( ) A. 8 ? 4 3 B.1 C.

4 3

D.

2 3

14、函数 f ( x) ? A.在 (?

1 ? cos 2 x cos x





π π , ) 上递增 2 2 π π C.在 (? , ) 上递减 2 2

π π , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π D.在 (? , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
B.在 (?

15、函数 y ? 2sin(? x ? ?) 在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式是

( A. y ? 2sin(2 x ? C. y ? 2sin( x ?



?
4

)

B. y ? 2sin(2 x ?

3? ) 8

) 4 x 7? ) D. y ? 2sin( ? 2 16

?

二、解答题 1、 (2015 年北京高考)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ?0,
2

x . 2

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

2、(2014 年北京高考)函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 6?
y y0

(Ⅰ)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? ?

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

O

x0

x

1 2 3、(2013 年北京高考)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; 2 ?π ? (2)若 α ∈? ,π ?,且 f(α )= ,求 α 的值. 2 2 ? ? 4、(昌平区 2015 届高三上期末)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时的 x 值.

1 cos 2 x ? 1. 2

? 2

5、(朝阳区 2015 届高三一模)在 ?ABC 中, A ? (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

π 6 , cos B ? , BC ? 6 . 3 3

6、 (东城区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ? (Ⅰ)若 ? ? ( , ) ,且 f (? ) ? ? (Ⅱ)若 x ? [ ?

π 2 ) ? cos( 2 x ? π) , g ( x) ? cos 2 x . 3 3

π π 4 2

3 3 ,求 g (? ) 的值; 5

π π , ] ,求 f ( x) ? g ( x) 的最大值. 6 3

7、 (房山区 2015 届高三一模)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 分如图所示. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

?
2

) 的图象的一部

(Ⅱ)当 x ? [ ?6, ? ] 时,求函数 y ? f ( x) 的最大值与最小值及相应的 x 的值.

1 3

C 的对边分别为 a ,b ,c , 8、 (丰台区 2015 届高三一模) 在△ ABC 中, 内角 A ,B , 已知 b ? 2 5 ,

B?

?
4

, cosC ?

2 5 . 5

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

9、(丰台区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x ) ? 2 cos (? x ?
2

? ) (其中 ? ? 0 , x ?R)的最小正 12

周期为 2 ? . (Ⅰ)求 ? 的值;

(Ⅱ)如果 ? ? [0, ] ,且 f (? ) ?

? 2

8 ,求 cos? 的值. 5

10、(海淀区 2015 届高三一模)在 ?ABC 中, sin A ? sin B sin C .
2

(Ⅰ)若 ?A ?

π ,求 ? B 的大小; 3

(Ⅱ)若 bc ? 1 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

11、(海淀区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? 4sin x ? cos 2 x . (Ⅰ)求 f ( ) ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小值.

π 6

12、(石景山区 2015 届高三一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

b 2 3 ? , c 3

A ? 3C ? ? .
(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值; (Ⅲ)若 b ? 3 3 ,求△ABC 的面积.

13、(西城区 2015 届高三二模)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调增区间.

cos 2x(sin x ? cos x) cos x ? sin x

.

14、在△ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos 2 B ? cos B ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?

7 , a ? c ? 5 ,求△ ABC 的面积.

15、已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域;

(Ⅱ)若 f (? ? 参考答案 一、填空、选择题 1、 【答案】

?
4

)?

3 2 ,求 cos ? 的值. 5

? 4
a b ? 2 3 6 ? ,即 ,所以 sin B ? ,所以 ?B ? . ? sin A sin B 4 2 3 sin B 2

【解析】由正弦定理,得

2、【答案】2,

15 8
2 2 2

【解析】由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? 5 ? 2 ? 2 ?

1 ? 4 ,故 c ? 2 ;因为 4

cos A ?

4 ? 4 ?1 7 15 ? ,所以 sin A ? . 2? 2? 2 8 8
a b 3 5 5 = ,即 = ,解得 sin B= . sin A sin B 1 sin B 9 3
7、B 8、A 9、

3、B [解析] 由正弦定理得

4、D 11、A 12、

5、C

6、

2 3

2 5 ;4 5

10、C

π 3 3 , 3 2

13、C 14、D 15、【答案】B

T 5? ? ? 2? ? ? ? ,所以函数的周期 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 。所 2 8 8 2 ? ? ? ? 2? ? , ) 所2 以 y ? 2sin(2 x ? ? ) , 又 y ? f ( )? 2 s i?n ( ? 以 sin( ? ? ) ? 1 , 即 8 8 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,所以 ? ? ? 2k? ,所以 y ? 2sin(2 x ? ) ,选 B. 4 2 4 4
解:由图象可知 二、解答题 1、 【答案】 (1) 2? ; (2) ? 3 .

考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 2、解:(Ⅰ) f ? x ? 的最小正周期为 π
7π . y0 ? 3 6 π? π ? 5π ? π ? (Ⅱ) 因为 x ? ? ? ,? ? ,所以 2 x ? ? ? ? ,0 ? . 2 12 6 6 ? ? ? ? x0 ?

于是当 2x ? 当 2x ?

π π ? 0 ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最大值 0; 12 6

π π π ? ? ,即 x ? ? 时, f ? x ? 取得最小值 ?3 . 3 6 2

1 2 3、解:(1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 π? 1 1 2 ? =cos 2x·sin 2x+ cos 4x= (sin 4x+cos 4x)= sin?4x+ ?, 4? 2 2 2 ? π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 π? 2 ? ,所以 sin?4α + ?=1. 4? 2 ? π ?9π 17π ? ?π ? 因为 α ∈? ,π ?,所以 4α + ∈? , ?. 4 ? 4 ? 4 ?2 ? (2)因为 f(α )= π 5π 9π 所以 4α + = .故 α = . 4 2 16 4、解:(Ⅰ)因为 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

………… 4 分

? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ? ?. 所以 T ? 2 ? ? (Ⅱ)因为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 , 0 ? x ? , 6 2 ? ? ?? 所以 ? 2 x ? ? . 6 6 6

………… 6 分 ………… 7 分

…………9 分

所以当 2 x ?

? ? ? ? 即 x ? 时, 6 2 6
…………13 分

函数 f ( x) 的最大值是 2. 5、(Ⅰ)因为 cos B ?

6 B ? (0, ?) , ,又 sin 2 B ? cos2 B ? 1 , 3

所以 sin B ?

3 . 3
AC BC ? . sin B sin A

由正弦定理得,

所以

AC 6 ? . 3 3 3 2
……… 6 分

所以 AC ? 4 . (Ⅱ)在 ?ABC 中, sin C ? sin( B ? 60? )

? sin B cos 60? ? cos B sin 60?

1 3 ? sin B ? cos B 2 2
=

1 3 3 6 ? + ? 2 3 2 3 3+3 2 . 6 3+3 2 = 2 3+6 2 . 6
……13 分

=

所以 S ?ABC ?

1 1 AC ? BC sin C = ? 4 ? 6 ? 2 2

6、解:(Ⅰ)由 f ( x) ? cos( 2 x ?

π 2 ) ? cos( 2 x ? π) 3 3

得 f ( x) ?

1 3 1 3 cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? 3 sin 2x .
因为 f (? ) ? ?

…………………………4 分

3 3 3 3 ,即 ? 3 sin 2? ? ? 3 ,所以 sin 2? ? . 5 5 5

又因为 ? ? ( , ) ,所以 2? ? ( , π ) . 故 cos 2? ? ?

π π 4 2

π 2

4 ,即 5
…………………………7 分

g (? ) ? ?

4 . 5

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 cos( 2 x ? 因为 x ? [ ? 所以当 2 x ?

π ). 3

π π π , ] ,所以 2 x ? ? [0, π] . 6 3 3 π π ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) ? g ( x) 有最大值,最大值为 2 . ……13 分 3 6

2π 7、解:(I)由图象知 A=2,T=8= , ω π ?π ? ∴ω = ,得 f(x)=2sin? x+φ ?. 4 ?4 ? π π π 由 ×1+φ =2kπ + ? φ =2kπ + , k ? Z 4 2 4 又 |φ |< π 2 , ∴ φ = π 4 . ∴

f(x)



π? ?π 2sin? x+ ? 4 4? ? (II)y=2sin?

……………6 分

?π x+π ? ? 4? ?4

∵x∈ [ ?6, ? ] , ∴

1 3

?
4

x?

?
4

? [?

5? ? , ], 4 6 5? ,即 x ? ?6 时 f (x) 取得最大值为 2 4
,即 x ? ?3 时 f (x) 取得最大值为 ?2 ……………13 分

∴当

?
4

x?

?
4

??



?
4

x?

?
4

??

?
2

8、解:(Ⅰ)在 ?ABC 中, 0 ? C ? ? ,且 cosC ? 所以 sin C ?

2 5 , 5

5 . 5

因为

c b ? ? ,且 b ? 2 5 , B ? , 4 sin C sin B

所以 c ?

b sin C ? sin B

2 5? 2 2

5 5 ?2 2.

所以 c ? 2 2 . (Ⅱ)因为 b ? a ? c ? 2accosB ,
2 2 2

……………………6 分

所以 a ? 4a ? 12 ? 0 ,
2

所以 a ? 6 或 a ? ?2 (舍). 所以 S ?ABC ?

1 ac sin B ? 6 . 2
2

……………………13 分

9、解:(Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2 cos (?x ? 所以 T ?

?
12

) ? cos( 2?x ?

?
6

) ?1.

2? ? 2? , 2?
1 . 2
……………………5 分

因为 ? ? 0 ,所以 ? ?

(Ⅱ)由(1)可知 f (? ) ? cos( ? ? 所以 cos( ? ? 因为 ? ? [0, 所以 ? ?

?

?
6

8 ) ?1? , 6 5

)?

?
2

3 , 5

],

? 2? ?[ , ] , 6 6 3 ? 4 所以 sin(? ? ) ? . 6 5
因为 cos ? ? cos[(? ?

?

?

? cos(? ?

?
6

) cos

?

6 6

)?

?
6

]

? sin(? ?

?
6

)sin

?
6
……………………13 分

3 3 4 1 3 3?4 ? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10
所以 cos ? ?

3 3?4 . 10

10、解:(Ⅰ)方法一:因为 sin A ? sin B sin C, 且
2

a b c ? ? , sin A sin B sin C
………………2 分

所以 a ? bc .
2

又因为 a ? b ? c ? 2bc cos A,
2 2 2

?A ?

π , 3

………………4 分

所以 a ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

1 ? b 2 ? c 2 ? bc . 2

所以 (b ? c) ? 0 .
2

所以 b ? c . 因为 ?A ?

………………6 分

π , 3

所以 ?ABC 为等边三角形. 所以 ?B ? 方法二:

π . 3

………………7 分

因为 A ? B ? C ? π , 所以 sin C ? sin( A ? B) . ………………1 分

因为 sin B sin C ? sin A , ?A ?
2

π , 3

所以 sin B sin(

π π ? B) ? sin 2 . 3 3
………………3 分

所以 sin B(

3 1 3 cos B ? sin B) ? . 2 2 4

所以

3 1 1 ? cos 2 B 3 sin 2 B ? ? ? . 4 2 2 4 3 1 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 . 2 2

所以

所以 sin(2 B ? ) ? 1 . 因为 B ? (0, π) ,

π 6

………………5 分

所以 2 B ?

π π 11 ? (? , π) . 6 6 6 π π π ? ,即 ?B ? . 6 2 3 a b c ? ? , sin A sin B sin C
………………7 分

所以 2 B ?

(Ⅱ)因为 sin A ? sin B sin C, bc ? 1 ,且
2

所以 a ? bc ? 1.
2

所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 1 ? 2bc 2
2bc ? 1 1 ? (当且仅当 b ? c ? 1 时,等号成立). 2 2

………………9 分

?

………………11 分

因为 A ? (0, π) , 所以 A ? (0, ] .

π 3

所以 sin A ? (0,

3 ]. 2

所以 S?ABC ?

1 1 3 . bc sin A ? sin A ? 2 2 4 3 . 4
………………13 分

所以 当 ?ABC 是边长为 1 的等边三角形时,其面积取得最大值

π π π 1 1 3 11、解:(Ⅰ) f ( ) ? 4sin ? cos ? 4 ? ? ? . 6 6 3 2 2 2 (Ⅱ)因为 f ( x) ? 4sin x ? cos 2 x

………………4 分

………………6 分 ? 4sin x ? (1 ? 2sin 2 x) ? 2sin 2 x ? 4sin x ? 1 ………………8 分 ? 2(sin x ? 1)2 ? 3 . 因为 ?1 ? sin x ? 1 , ? 所以 当 sin x ? ?1 ,即 x ? 2k ? ? , k ? Z 时, f ( x ) 取得最小值 ?3 . 2 ………………13 分 12、(Ⅰ)因为 A ? B ? C ? p , A ? 3C ? p ,所以 B ? 2C . ……………………1 分

b c b sin B 2 3 2sin C cos C ? , ? , , ? 3 sin C sin B sin C c sin C 3 化简得, cos C ? . ………………………4 分 3
又由正弦定理,得 (Ⅱ)因为 C ? ? 0, p ? ,所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? 所以 sin B ? sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ? (Ⅲ)因为 B ? 2C ,
1 6 ? . 3 3

6 3 2 2 ? ? . 3 3 3

………………………7 分

1 1 所以 cos B ? cos 2C ? 2cos2 C ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 3 3
所以 sin A ? sin( B ? C ) ? 因为
2 2 3 1 6 6 ? ? (? ) ? ? . 3 3 3 3 9

……………………9 分 ……………………11 分 ……………………12 分

b 2 3 9 ? , b ? 3 3 ,所以 c ? . c 3 2

1 1 9 6 9 2 ? 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 3 ? ? . ………………………13 分 2 2 2 9 4

13、(Ⅰ)解:由题意,得 cos x ? sin x ? 0 , 即 tan x ? 1 , 解得 x ? kπ ?

……………… 1 分 ……………… 2 分

π , 4

……………… 4 分 ……………… 5 分

π 所以函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? kπ ? , k ? Z} . 4 cos 2x(sin x ? cos x) (Ⅱ)解: f ( x) ? cos x ? sin x
? (cos 2 x ? sin 2 x)(sin x ? cos x) cos x ? sin x

……………… 7 分

? (cos x ? sin x)(sin x ? cos x)

? sin 2 x ? 1 ,

……………… 9 分

π π ? 2kπ≤2x≤ ? 2kπ , 2 2 π π 得 ? ? kπ≤x≤ ? kπ , 4 4 π 又因为 x ? kπ ? , 4
由 ? 所以函数 f ( x) 的单增区间是 (?

……………… 11 分

π π π π ? kπ, ? kπ) , k ? Z . (或写成 [? ? kπ, ? kπ) ) 4 4 4 4
……………… 13 分

14、(Ⅰ)解:由已知得 2cos B ? cos B ? 1 ? 0 ,
2

………………2 分

即 (2cos B ? 1)(cos B ? 1) ? 0 . 解得 cos B ?

1 ,或 cos B ? ?1 . 2

………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

因为 0 ? B ? π ,故舍去 cos B ? ?1 . 所以 B ?

π . 3
2 2 2

(Ⅱ)解:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B . 将B ?

………………8 分

π 2 , b ? 7 代入上式,整理得 (a ? c) ? 3ac ? 7 . 3

因为 a ? c ? 5 , 所以 ac ? 6 . 所以 △ ABC 的面积 S ? 15、(Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x? ………………11 分

1 3 3 . ac sin B ? 2 2

……………13 ………………1 分 ………………3 分

? ? k? , k ? Z 2
{x | x ?

所以函数 f ( x) 的定义域为 (Ⅱ) f ( x) ?

?
2

? k? , k ? Z }

……………4 分

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 cos x
……………8 分

2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 1 = 2 cos x
= sin x ? cos ?

2 sin( x ? ) 4

?

……………10 分

? ? 3 2 f (? ? ) ? 2 sin(? ? ) ? 4 2 5
所以 cos ? ? sin(? ?

? 3 )? 2 5

……………13 分


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