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【课堂新坐标】2013届高三数学一轮复习 5-5 数列的综合应用知能训练 文 (广东专用)


课时知能训练
一、选择题 1.已知实数等比数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中 5 项为 ,则 S5 等于( 4 A.35 ) B.33 C.31 D.29

2.某人为了观看 2010 年南非足球世界杯,从 2006 年起,每年的 5 月 1 日到银行存入

a 元的定期储蓄,若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期,存款的本息均自动转为新的
一年的定期,到 2010 年的 5 月 1 日将所有存款及利息全部取出,则可取出钱(元)的总数为 ( ) A.a(1+p)
4

B.a(1+p)

5

C. [(1+p) -(1+p)]

a p

4

D. [(1+p) -(1+p)]
2

a p

5

3. (2012·中山质检)已知各项不为 0 的等差数列{an}, 满足 2a3-a7+2a11=0, 数列{bn} 是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8=( A.2 B.4 C.8 D.16 4.已知数列{an}的通项公式为 an=log2 成立的自然数 n( ) )

n+1 * (n∈N ),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 n+2

A.有最小值 63 B.有最大值 63 C.有最小值 31 D.有最大值 31 1 5.(2012·清远调研)各项均为正数的等比数列{an}的公比 q≠1,a2, a3,a1 成等差数 2 列,则 A.

a3a4+a2a6 =( a2a6+a4a5

)

5+1 5-1 B. 2 2 1- 5 2 D. 5+1 2

C.

二、填空题 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项,则数 列{bn}的公比为________. 7.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若

S2n * (n∈N )是非零常数,则称数列{an}为“和等比数 Sn

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1

列”. 若数列{2bn}是首项为 2, 公比为 4 的等比数列, 则数列{bn}________(填“是”或“不 是”)“和等比数列”. 8.(2012·潍坊模拟)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正 整数为“神秘数”.则介于 1 到 200 之间的所有“神秘数”之和为________. 三、解答题 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 3an+1+2Sn=3(n 为正整数). (1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)记 S= ,若对任意正整数 n,kS<Sn 恒成立,求实数 k 的最大值. 2 10. (2012·湘潭模拟)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款, 旨在帮助高校家庭经济 困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过 6 000 元.某大学 2010 届毕业生李霄在本科期间共申请了 24 000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清. 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1 500 元,第 13 个月开始,每月工资比前 一个月增加 5%直到 4 000 元.李霄同学计划前 12 个月每个月还款额为 500 元,第 13 个月 开始,每月还款额比前一月多 x 元. (1)若李霄恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (2)当 x=50 时,李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他还清贷款的那一个月的 工资余额是多少? (参考数据:1.05 =2.406,1.05 =2.526,1.05 =2.653,1.05 =2.786) 11.(2012·肇庆调研)已知等比数列是递增数列,且满足 a1+a2+a3=39,a2+6 是 a1 和 a3 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=? 最小 n 值. 答案及解析
? ?1
18 19 20 21

? ?

n=1? n≥2?

? ?an-1log3an

, 记数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 求使 Sn>120 成立的

1. 【解析】 设等比数列的公比为 q, 则由 a2·a3=2a1 得 a1q =2a1, 5 3 ∴a1q =2,又 a4 与 2a7 的等差中项为 , 4 5 ∴a4+2a7= , 2
2 3

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2

5 3 6 ∴a1q +2a1q = , 2

?a1q =2 ? 由? 3 5 6 ?a1q +2a1q =2 ?
1 16[1-? ? 2 ∴S5= 1 1- 2 【答案】 C
5

3

?a1=16, ? 得? 1 ?q=2. ?
] =31.

2. 【解析】 依题意,可取出钱的总数为

a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)
? 1+p? [1-? 1+p? =a· 1-? 1+p? 【答案】 D 3. 【解析】 ∵数列{an}是等差数列, ∴a3+a11=2a7, 由 2a3-a7+2a11=0 得 4a7-a7=0, 又 an≠0,∴a7=4, ∴b6b8=b7=4 =16. 【答案】 D 4. 【解析】 ∵an=log2 ∴Sn=a1+a2+?+an =log22-log23+log23-log24+?+log2(n+1)-log2(n+2)=1-log2(n+2), 由 Sn<-5 得 log2(n+2)>6,即 n+2>64, ∴n>62, ∴n 有最小值 63. 【答案】 A 5. 【解析】 由题意知,a3=a2+a1, ∴a1q =a1q+a1, ∴q -q-1=0, 1+ 5 又 q>0,∴q= , 2 ∴
2 2 2 2 2 2 4

] a 5 = [(1+p) -(1+p)].

p

n+1 =log2(n+1)-log2(n+2), n+2

a3a4+a2a6 a2q5+a2q6 1+q 1 5-1 1 1 = 2 6 2 7= = = . a2a6+a4a5 a1q +a1q q? 1+q? q 2
用心 爱心 专心

3

【答案】 B 6. 【解析】 a3=a1·a7,即(a1+2d) =a1·(a1+6d), ∴a1=2d, ∴等比数列{bn}的公比 q= = 【答案】 2 7. 【解析】 数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列, 所以 2bn=2·4
n-1
2 2

a3 a1+2d =2. a1 a1

=2

2n-1

,bn=2n-1.
2 2

设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=n ,T2n=4n , 所以

T2n =4,因此数列{bn}是“和等比数列”. Tn

【答案】 是 8. 【解析】 设“神秘数”为 x,则 x=(2n+2) -(2n) =8n+4(n∈Z),由 1≤x≤200 25×? 4+196? 及 n∈Z 知,0≤n≤24,所以所有这样的“神秘数”之和为 =2 500. 2 【答案】 2 500 9. 【解】 (1)∵3an+1+2Sn=3,① 当 n≥2 时,3an+2Sn-1=3.② 由①-②得 3an+1-3an+2an=0, ∴
2 2

an+1 1 = (n≥2), an 3

1 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 a2= , 3 1 ∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. 3 ∴an=a1q
n-1

1 n-1 * =( ) (n∈N ). 3 1-? 1 ? 3 1 1- 3
n

a1? 1-qn? (2)由(1)知,Sn= = 1-q

3 1 n = [1-( ) ]. 2 3

3 3 1 n 1 n * 又对? n∈N 恒有 k≤ [1-( ) ],得 k≤1-( ) . 2 2 3 3 1 n ∵数列{1-( ) }单调递增, 3 2 2 2 ∴当 n=1 时,数列中的最小项为 ,∴必有 k≤ ,即实数 k 的最大值为 . 3 3 3 10. 【解】 (1)依题意,从第 13 个月开始,每个月的还款额为 an 构成等差数列,其中
用心 爱心 专心 4

a1=500+x,公差为 x.从而到第 36 个月,李霄共还款 12×500+24a1+

24×? 24-1? ·x. 2

24×? 24-1? 令 12×500+(500+x)×24+ ·x=24 000,解之得 x=20(元), 2 据题意,验证可行.即要使在三年全部还清, 第 13 个月起每个月必须比上一个月多还 20 元; (2)设李霄第 n 个月还清,则应有 ? n-12? ×? n-12-1? 12×500+(500+50)×(n-12)+ ·50≥24 000, 2 3+ 3 321 2 整理可得 n -3n-828≥0,解之得 n≥ >30, 2 取 n=31,即李霄工作 31 个月就可以还清贷款, 这个月李霄的还款额为 24 000-[12×500+(500+50)×(30-12)+ 元, 第 31 个月李霄的工资为 1 500×1.05 =1 500×2.526=3789 元, 因此,李霄的剩余工资为 3789-450=3339. 11. 【解】 (1)由题知 2(a2+6)=a1+a3, 从而 a2+2(a2+6)=39,所以 a2=9, 9 1 n 30= +9q? q=3 或 (舍),所以 an=3 . q 3 (2)bn=an-1log3an=3
1 19

? 30-12? ×? 30-12-1? 2

·50]=450

n-1

·n,(n≥2),
2

所以 Sn=1+2·3 +3·3 +?+n·3 3Sn=3 +2·3 +3·3 +?+n·3 ② ②-①得:2Sn=-1-3 -3 -?-3 ? 1-3 ? n =- +n·3 ? 1-3?
n
1 2 1 2 3

n-1



n

n-1

+n·3

n

3 1 1 1 n n 所以 2Sn=n·3 - + =(n- )·3 + , 2 2 2 2 1 n 1 由 Sn>120,则(n- )3 + >240, 2 2 所以 n≥4,最小 n 值为 4.

n

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5


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