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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1综合法和分析法课时作业 新人教A版选修1-2


2.2.1
明目标、 知重点

综合法和分析法

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析

法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题.

1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方 式. 2.一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 3.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.

[情境导学] 证明对我们来说并不陌生,我们在上一节学习的合情推理,所得的结论的正确性就是要证明 的,并且我们在以前的学习中,积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经验是零散的、 不系统的,这一节我们将通过熟悉的数学实例,对证明数学问题的方法形成较完整的认识. 探究点一 综合法 思考 1 请同学们证明下面的问题,总结证明方法有什么特点? 已知 a,b>0,求证:a(b +c )+b(c +a )≥4abc. 证明 因为 b +c ≥2bc,a>0, 所以 a(b +c )≥2abc. 又因为 c +a ≥2ac,b>0,所以 b(c +a )≥2abc. 因此 a(b +c )+b(c +a )≥4abc. 总结:此证明过程运用了综合法.综合法的定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法. 思考 2 综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还是演绎推理? 答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

不同于合情推理中的“猜想”,所以综合法是演绎推理. 例1 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列,a,b,

c 成等比数列,求证:△ABC 为等边三角形.
证明 由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C,①
-1-

由于 A,B,C 为△ABC 的三个内角,所以 A+B+C=π .② π 由①②,得 B= ,③ 3 由 a,b,c 成等比数列,有 b =ac,④ 由余弦定理及③, 可得 b =a +c -2accos B=a +c -ac, 再由④,得 a +c -ac=ac,即(a-c) =0, 从而 a=c,所以 A=C.⑤ π 由②③⑤,得 A=B=C= , 3 所以△ABC 为等边三角形. 反思与感悟 综合法的证明步骤如下: (1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等; (2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程. 跟踪训练 1 在△ABC 中, =
2 2 2 2 2 2 2 2 2

AC cos B ,证明:B=C. AB cos C

sin B cos B 证明 在△ABC 中,由正弦定理及已知得 = . sin C cos C 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即 sin(B-C)=0,因为-π <B-C<π , 从而 B-C=0,所以 B=C.

探究点二 分析法

思考 1 回顾一下:基本不等式 答 要证

a+b
2

≥ ab(a>0,b>0)是怎样证明的?

a+b
2

≥ ab,

只需证 a+b≥2 ab, 只需证 a+b-2 ab≥0, 只需证( a- b) ≥0, 因为( a- b) ≥0 显然成立,所以原不等式成立. 思考 2 证明过程有何特点? 答 从结论出发开始证明,寻找使证明结论成立的条件,最终把要证明的结论变成一个显然
2 2

成立的条件.

-2-

小结

分析法定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最

后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理)为止, 这种证明方法叫做分析法. 思考 3 综合法和分析法的区别是什么? 答 综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结

论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件. 例 2 求证: 3+ 7<2 5. 证明 因为 3+ 7和 2 5都是正数, 所以要证 3+ 7<2 5,只需证( 3+ 7) <(2 5) , 展开得 10+2 21<20,只需证 21<5,只需证 21<25, 因为 21<25 成立,所以 3+ 7<2 5成立. 反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接,证明中需要用哪些知识不太明确具体
2 2

时,往往采用从结论出发,结合已知条件,用结论反推的方法. 跟踪训练 2 求证: a- a-1< a-2- a-3(a≥3).

证明 方法一 要证 a- a-1< a-2- a-3, 只需证 a+ a-3< a-2+ a-1, 只需证( a+ a-3) <( a-2+ a-1) , 只需证 2a-3+2 a -3a<2a-3+2 a -3a+2, 只需证 a -3a< a -3a+2, 只需证 0<2,而 0<2 显然成立, 所以 a- a-1< a-2- a-3(a≥3). 方法二 ∵ a+ a-1> a-2+ a-3, ∴ 1 < , a+ a-1 a-2+ a-3 1
2 2 2 2 2 2

∴ a- a-1< a-2- a-3.

探究点三 综合法和分析法的综合应用

思考 在实际证题中,怎样选用综合法或分析法? 答 对思路清楚,方向明确的题目,可直接使用综合法;对于复杂的题目,常把分析法和综

合法结合起来,先用分析法去转化结论,得到中间结论 Q;再根据结构的特点去转化条件,得 到中间结论 P.若 P? Q,则结论得证.
-3-

例3

已知 α ,β ≠kπ +

π (k∈Z),且 2 ①

sin θ +cos θ =2sin α , sin θ cos θ =sin β . ② 1-tan α 1-tan β 求证: = . 2 2 1+tan α 2?1+tan β ?
2 2 2

证明 因为(sin θ +cos θ ) -2sin θ cos θ =1, 所以将①②代入,可得 4sin α -2sin β =1. ③ 1-tan α 1-tan β 另一方面,要证 = , 2 2 1+tan α 2?1+tan β ? sin α sin β 1- 2 1- 2 cos α cos β 即证 = , 2 2 sin α sin β 1+ 2 2?1+ 2 ? cos α cos β 1 2 2 2 2 即证 cos α -sin α = (cos β -sin β ), 2 1 2 2 即证 1-2sin α = (1-2sin β ), 2 即证 4sin α -2sin β =1. 由于上式与③相同,于是问题得证. 反思与感悟 用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等,用 Q 表示要证明的结论,则综合法 和分析法的综合应用可用框图表示为:
2 2 2 2 2 2 2 2

2

P? P1 → P1? P2 →?→Pn? P′
?

Q′? Qm←?← Q2? Q1 ← Q1? Q
跟踪训练 3 若 tan(α +β )=2tan α ,求证:3sin β =sin(2α +β ). 证明 由 tan(α +β )=2tan α 得 sin?α +β ? 2sin α = , cos?α +β ? cos α

即 sin(α +β )cos α =2cos(α +β )sin α .① 要证 3sin β =sin(2α +β ), 即证 3sin[(α +β )-α ]=sin[(α +β )+α ], 即证 3[sin(α +β )cos α -cos(α +β )sin α ] =sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α , 化简得 sin(α +β )cos α =2cos(α +β )sin α .
-4-

这就是①式.所以,命题成立.

1.已知 y>x>0,且 x+y=1,那么( A.x< C.x<

) <y <y

x+y
2 2

<y<2xy <2xy<y

B.2xy<x< D.x<2xy<

x+y
2 2

x+y

x+y

答案 D 3 1 解析 ∵y>x>0,且 x+y=1,∴设 y= ,x= , 4 4 则

x+y 1

3 x+y = ,2xy= ,∴x<2xy< <y,故选 D. 2 2 8 2 )

2.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证( A.( 2- 3) <( 6- 7) B.( 2- 6) <( 3- 7) C.( 2+ 7) <( 3+ 6)
2 2 2 2 2

2

2

D.( 2- 3- 6) <(- 7) 答案 C

2

解析 根据不等式性质,a>b>0 时,才有 a >b , ∴只需证: 2+ 7< 6+ 3, 只需证:( 2+ 7) <( 3+ 6) . 1 2 3 3.求证: + + <2. log519 log319 log219 证明 因为
2 2 2

2

2

1 2 3 = logab ,所以左边= log195 + 2log193 + 3log192 = log195 + log193 + log192 = logba
3

log19(5×3 ×2 )=log19360. 因为 log19360<log19361=2, 1 2 3 所以 + + <2. log519 log319 log219 1-tan α 4.已知 =1,求证:cos α -sin α =3(cos α +sin α ). 2+tan α 证明 要证 cos α -sin α =3(cos α +sin α ), cos α -sin α 1-tan α 只需证 =3,只需证 =3, cos α +sin α 1+tan α

-5-

1 只需证 1-tan α =3(1+tan α ),只需证 tan α =- , 2 ∵ 1-tan α =1,∴1-tan α =2+tan α , 2+tan α

1 即 2tan α =-1.∴tan α =- 显然成立, 2 ∴结论得证. [呈重点、现规律] 1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是从结论出发,执果索因. 2.分析法证题时,一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语. 3.在解题时,往往把综合法和分析法结合起来使用.

一、基础过关 1.已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac >bc B.若 > ,则 a>b 1 1 3 3 C.若 a >b 且 ab<0,则 >
2 2

)

a b c c

a b a b

1 1 2 2 D.若 a >b 且 ab>0,则 < 答案 C 解析 对于 A:若 c=0,则 A 不成立,故 A 错;对于 B:若 c<0,则 B 不成立,B 错;对于 C: 若 a >b 且 ab<0,则?
3 3

? ?a>0 ?b<0 ?

? ?a<0 1 1 ,所以 > ,故 C 对;对于 D:若? a b ?b<0 ?

,则 D 不成立.

2.A、B 为△ABC 的内角,A>B 是 sin A>sin B 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C

)

解析 由正弦定理 = =2R,又 A、B 为三角形的内角,∴sin A>0,sin B>0,∴sin sin A sin B

a

b

A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
3.已知直线 l,m,平面 α ,β ,且 l⊥α ,m? β ,给出下列四个命题:①若 α ∥β ,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则 α ∥β ;③若 α ⊥β ,则 l⊥m;④若 l∥m,则 α ⊥β .
-6-

其中正确命题的个数是( A.1 C.3 答案 B B.2 D.4

)

解析 若 l⊥α ,m? β ,α ∥β ,则 l⊥β ,所以 l⊥m,①正确; 若 l⊥α ,m? β ,l⊥m,α 与 β 可能相交,②不正确; 若 l⊥α ,m? β ,α ⊥β ,l 与 m 可能平行或异面,③不正确; 若 l⊥α ,m? β ,l∥m,则 m⊥α ,所以 α ⊥β ,④正确. 4.设 a,b∈R ,且 a≠b,a+b=2,则必有( A.1≤ab≤
2 +

)

a2+b2
2
2 2

B.ab<1< D.

a2+b2
2

C.ab<

a +b
2

<1

a +b
2

2

<ab<1

答案 B 解析 因为 a≠b,故

a2+b2
2

>ab.

又因为 a+b=2>2 ab, 故 ab<1, 即

a2+b2 ?a+b?2-2ab
2 = 2

=2-ab>1,

a2+b2
2

>1>ab.

5.已知 a,b 为非零实数,则使不等式: + ≤-2 成立的一个充分不必要条件是( A.ab>0 C.a>0,b<0 答案 C 解析 ∵ 与 同号,由 + ≤-2,知 <0, <0, 即 ab<0.又若 ab<0,则 <0, <0. ∴ + =-??- ?+?- ?? b a ≤-2 B.ab<0 D.a>0,b>0

a b b a

)

a b b a

a b b a

a b

b a

a b

b a

a b b a

?? a? ? b?? ?? ? ? ??

?-a?·?-b?=-2, ? b? ? a? ? ? ? ?
a b b a

综上,ab<0 是 + ≤-2 成立的充要条件,

-7-

∴a>0,b<0 是 + ≤-2 成立的一个充分而不必要条件. 6.要证明 3+ 7<2 5,可选择的方法有很多,最合理的应为________. 答案 分析法 7.设 a≥b>0,求证:3a +2b ≥3a b+2ab . 证明 方法一 3a +2b -(3a b+2ab ) =3a (a-b)+2b (b-a)=(3a -2b )(a-b). 因为 a≥b>0,所以 a-b≥0,3a -2b >0, 从而(3a -2b )(a-b)≥0, 所以 3a +2b ≥3a b+2ab . 方法二 要证 3a +2b ≥3a b+2ab , 只需证 3a (a-b)-2b (a-b)≥0, 只需证(3a -2b )(a-b)≥0, ∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a -2b >2a -2b ≥0, ∴上式成立. 二、能力提升 1 1 1 8.已知 a、b、c∈R,且 a+b+c=0,abc>0,则 + + 的值(
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

a b b a

a b c

)

A.一定是正数 C.可能是 0 答案 B

B.一定是负数 D.正、负不能确定

解析 ∵(a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)=0, 又 abc>0,∴a,b,c 均不为 0,∴a +b +c >0. 1 1 1 ab+bc+ca ∴ab+bc+ca<0,∴ + + = <0.
2 2 2

2

2

2

2

a b c

abc

9.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a,b,c 的大小关系为________. 答案 a>c>b 解析 ∵a -c =2-(8-4 3)=4 3-6= 48- 36>0,∴a>c.∵ = ∴c>b. 10.已知 p=a+ 答案 p>q 解析 p=a-2+ 1 1 2 (a>2),q=2-a +4a-2(a>2),则 p、q 的大小关系为________. a-2
2 2

c b

6- 2 7- 3



7+ 3 6+ 2

>1,

a-2

+2≥2·

?a-2?·

1

a-2

+2=4,-a +4a-2=2-(a-2) <2,∴q<2

2

2

2

-8-

=4≤p. 11.

如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1 - ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 ________ 时,有

A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).
答案 对角线互相垂直 解析 本题答案不唯一,要证 A1C⊥B1D1,只需证 B1D1 垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1,因为该四棱 柱为直四棱柱,所以 B1D1⊥CC1,故只需证 B1D1⊥A1C1 即可.

x-y 2 12.若-1<x<1,-1<y<1,求证:( ) <1. 1-xy x-y 2 2 2 2 2 2 2 证明 要证明( ) <1,只需证明(x-y) <(1-xy) ,即 x +y -2xy<1-2xy+x y ,只需证 1-xy
明 x +y -1-x y <0,只需证明(y -1)(1-x )<0,即(1-y )(1-x )>0(*) 因为-1<x<1,-1<y<1, 所以 x <1,y <1.从而(*)式显然成立,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x-y 2 所以( ) <1. 1-xy
13.求证:抛物线 y =2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与 x=- 相切. 2 证明
2

p

(如图)作 AA′、BB′垂直于准线,取 AB 的中点 M,作 MM′垂直于准线. 1 只需证|MM′|= |AB|. 2 由抛物线的定义: |AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,

-9-

所以|AB|=|AA′|+|BB′|. 1 因此只需证|MM′|= (|AA′|+|BB′|), 2 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x=- 相切. 2 三、探究与拓展 14.已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1. 求证:logx

p

a+b
2

+logx

b+c
2

+logx

a+c
2

<logxa+logxb+logxc.

证明 要证 logx 只需证 logx(

a+b
2 ·

+logx ·

b+c
2 2

+logx

a+c
2

<logxa+logxb+logxc,

a+b b+c a+c
2 2

)<logx(abc).

由已知 0<x<1, 得只需证 由公式

a+b b+c a+c
2 · 2 · 2 2

>abc.

a+b
2

≥ ab>0,

b+c

≥ bc>0,

a+c
2

≥ ac>0.

又∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴ 即

a+b b+c a+c
2 2 · · 2 2 · · 2 2 2

> a b c =abc. >abc 成立. +logx

2 2 2

a+b b+c a+c a+b
2

∴logx

+logx

b+c

a+c
2

<logxa+logxb+logxc 成立.

- 10 -


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