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云南省昆明市2013届高三摸底调研测试 数学理


云南省昆明市 2013 届高三摸底调研测试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,将本试卷和答 题卡一交交回。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡 上填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号,在规定的位置 贴好条形码。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上的答案无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若复数 z ? m ( m ? 1) ? ( m ? 1) i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 A. i 2.已知 s in ? x ?
? ?
1 z ?

B. ? i
? ?
3 ? ? ,则 sin 2 x 的值为 4 ? 5

C. 2i

D. ? 2i

A. ?

7 25

B.

7 25

C.

9 25

D.

16 25

3. 公比不为 1 等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , ? 3 a1 ? 2 a 3 成等差数列, 且 , a, 若 a 1 ? 1 ,则 S 4 ? A. ? 2 0 B. 0 C. 7 D. 4 0 4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形, 其直角边均为 1,则该几何体的表面积为 A. 1 ? C.
1 3

主视图

侧视图

2

B. 2 ? 2 2 D. 2 ?
2

俯视图

5.变量 U 与 V 相对应的一组样本数据为 (1,1 .4 ) , ( 2, 2 .2 ) , (3, 3) , ( 4, 3 .8) ,由上述样本数 据得到 U 与 V 的线性回归分析, R 2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则 R 2 ? A.
3 5

B.

4 5

C. 1

D. 3

6.已知 a 是实数,则函数 f ( x ) ? a cos ax 的图像可能是

A.

B.

C.

D.

7.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a 2 , ? , a 50 是该 班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩, 下面的程序用来同时统计全班成绩的平均数: A ,男 生平均分: M ,女生平均分: W ;为了便于区别性 别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成 绩的相反数,那么在图里空白的判断框和处理框中, 应分别填入下列四个选项中的 A. T ? 0 ? , A ? B. T ? 0 ? , A ? C. T ? 0 ? , A ? D. T ? 0 ? , A ?
M ?W 50 M ?W 50 M ?W 50 M ?W 50
M ? M ?T

开 输 始 入

a1 a , 0, , 50 k ? 1,,M 2 ?? Wa? 0
T ? ak





k ? k ?1

W ?W ?T

k ? 50 ?





8. 若曲线 f ( x ) ? a cos x 与曲线 g ( x ) ? x 2 ? bx ? 1 在交点
(0, m ) 处有公切线,则 a ? b ?
M ? M 24 W 26
2

A. ? 1 C. 1 9 . 已 知 函 数

B. 0 D. 2
? ? x ? 4 x x ,? ? f ( x ?) ? 2 ? x ? 4 x, x ? 0 ? 0 , 若

W ?





M ,结 , A W



f ( a ? 2) ? f ( a ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是

A. a ? ? 1 ? C. a ? 3 ?

3 或 a ? ?1 ? 3 或a ? 3 ? 3

3

B. a ? 1 D. a ? 1

10.已知数列 { a n } 满足 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ( n ? 2) , a 1 ? 1 , a 2 ? 3 ,记 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , 则下列结论正确的是 A. a100 ? ? 1, S 100 ? 5 C. a100 ? ? 3, S 100 ? 2 B. a100 ? ? 3, S 100 ? 5 D. a100 ? ? 1, S 100 ? 2

11.在平面直角坐标系 xO y 中,抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上 的点,若 ? O F M 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9? ,则 p ? A. 2 B. 4 C. 6
x

D. 8

?1? 12. 设函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) , 且当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ? , 又函数 g ( x ) ? | x sin ? x | , ?4?
? ? 1 ? , 2 上的零点个数为 ? 2 ?

则函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 在 ? ? A. 3 B. 4

C. 5

D. 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分 ,第(13)题—第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答。第(22)题—第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。
?x ? y ?1 ? 0 ? 13.变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为____________. ?x ? 0 ?
x a
E : (x ? c) ? y
2 2

2 2

14.已知 F ( c , 0 ) 是双曲线 C :
? 1 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点,若双曲线 C 的渐近线与圆

c 相切,则双曲线 C 的离心率为_________________.

2

15.已知向量 a , b 的夹角为 120? ,且 | a | ? 1,| b | ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a ? b 方向上的投影 是_______.

16.已知 A , B , C , D 四点在半径为

29 2

的球面上,且 A C ? B D ?

13 , AD ? BC ? 5 ,

AB ? C D ,则三棱锥 D ? ABC 的体积是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ? A B C 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 若 (
a cos
2

C 2

? c cos

2

A 2

?

3 2

b.

(Ⅰ)求证: a 、 b 、 c 成等差数列; (Ⅱ)若 ? B ? 60 ?, b ? 4 ,求 ? A B C 的面积.

18. (本小题满分 12 分)气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表 如下: 日最高气温 t(单位:℃) t ? 22 ℃ 2 8 ℃ ? t ? 32 ℃ t ? 32 ℃ 22 ℃ ? t ? 28 ℃ 6 12 天数 Y Z 由于工作疏忽,统计表被墨水污染, Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月 份的日最高气温不高于 3 2 ℃的频率为 0 .9 . 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温 t(单位:℃)对西瓜的销售影响如下表: 日最高气温 t(单位:℃) t ? 22 ℃ 2 8 ℃ ? t ? 32 ℃ t ? 32 ℃ 22 ℃ ? t ? 28 ℃ 2 5 6 8 日销售额 X (千元) (Ⅰ)求 Y , Z 的值; (Ⅱ)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差; (Ⅲ)在日最高气温不高于 3 2 ℃时,求日销售额不低于 5 千元的概率.

P

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, A B C D 为平行四边形,且 B C ? 平面 P A B , PA ? AB , M 为 P B 的中点, P A ? A D ? 2 . (Ⅰ)求证: P D ∥平面 A M C ; (Ⅱ)若 A B ? 1 ,求二面角 B ? A C ? M 的余弦值.

M D A

C

B

20. (本小题满分 12 分)已知平面内与两定点 A (2, 0) , B ( ? 2, 0) 连线的斜率之积等于 ?
5 5

1 4



点 P 的轨迹为曲线 C 1 ,椭圆 C 2 以坐标原点为中心,焦点在 y 轴上,离心率为 (Ⅰ)求 C 1 的方程;



(Ⅱ)若曲线 C 1 与 C 2 交于 M 、 N 、 P 、 Q 四点,当四边形 M N P Q 面积最大时,求椭 圆 C 2 的方程及此四边形的最大面积.

21. (本小题满分 12 分)设 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? ax , ( a ? R 且 a ? 0) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? (0, 5) 时, f ( x ) ?
9x x ?1

成立.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按 所做的第一题计分,做答时请写清题号,且在答题卡上填涂相应 题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知 P A 与圆 O 相切于点 A , 直径 B C ? O P , 连接 A B 交 P O 于点 D (Ⅰ)求证: P A ? P D ; (Ⅱ)求证: A C ? A P ? A D ? O C .

C

A

O

D

P

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?
? x ? a cos ? ? ?y ? ? 3 s in ?

( ? 为参数, a ? 0 ) ,直线 l 的参数方程是

?x ? 3 ? t ( t 为参数) ,曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上,以坐标原点为极点, x 轴 ? ? y ? ?1 ? t

的正半轴为极轴建立坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 普通方程; ( Ⅱ ) 若 点 A ( ? 1 , ? ), B ( ? 2 , ? ?
1 |O A|
2

2? 3

), C ( ? 3 , ? ?

4? 3

)

在 曲 线 C

上 , 求

?

? 2 |O B |

1

1

|O

的值. 2
C |

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? | x ? 3 | ? | x ? a | ( a ? 0 ) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x ) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) ? 6 的解集为 { x | x ? ? 4 或 x ? 2} ,求 a 的值.


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