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平面向量数量积的物理背景及几何意义


2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B

θ
O

A

当θ=0°时,a与b同向;

O

A
B

B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.

O

B

b O a A

情景引入

一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)
F

θ
S

那么力F所做的功W为: W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。

学案情况
整体做的比较好,但是特别好的小组 2组 5组 6组 但是也存在一些问题 1 向量不标箭头 2 数量积中间 点 省略 3 有些学生做题不规范,乱写乱画, 希望同学们继续努力,有则改之无则加勉!

学习目标
? 掌握平面向量的数量积及其几何意义; ? 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; ? 了解用平面向量的数量积可以处理有关长 度、角度和垂直的问题; ? 掌握向量垂直的条件。

学习重难点
? 学习重点
平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积 解决求平行、垂直、夹角等问题)

? 学习难点
平面向量的数量积与向量投影的关系

自主学习三分钟
根据学案批阅情况,研读课本,自主学习

合作学习:重点讨论:
探究1. 数量积的定义 探究2. 数量积的性质 探究3. 投影的概念及理解 探究4. 数量积的几何意义 探究5. 数量积的运算律
要求及目标:
1、组长负责协调好分层讨论,先一对一讨论(3-5分钟),然后组内共同讨论, 纠正好预习反馈答案。要求每个人都有事干,注重讨论的效率;A帮B,B帮C 将疑难问题解决,A层注意搞好拓展总结。组长搞好调控,A教B, B教C 达成分 层目标 2、小组长要注意疑难的统计和新问题的生成。讨论完的同学整理总结知识,注 意总结本组好的解题方法和规律。 3、组长宏观调控,负责做好讨论结果的反馈;并做好展示、点拨的准备。

课堂展示
探究一、二 展示:2组 探究三、四: 探究五:

展示:5组

展示:9组

独立思考, 独立审题 1.结合批阅情况,改正错误,找准错因。

2.明确自己的疑问,以备小组合作讨论解决。
3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。 要求:思维敏捷,手、脑、眼并用。

例1、例3 展示:7组

例4

展示:3组

激情点评
探究一、二 点评:6组 探究三 点评:1组
1.切忌就题论题,先点评思路和方法,然后顺着思 路点评解题过程。 2.点评同学要语言清晰、教态大方,并注意与台下 同学的互动。非点评同学要认真倾听、积极思考 、迅速记录,大胆质疑或补充。 3.掌声送给点评精彩的同学!

例3 点评:8组

例4 点评:4组

数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为 θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做a与b的 数量积(或内积),记作a· b a· b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
注意 1.两个向量的数量积是数量,而不是向量.
2.书写时“· ”不能省略. ? ? ? 3. a ? b 可以读作 向量 a
0

点乘

? 向量 b
0

4.θ的范围 0 ? ? ? 180 ? ? 5 a ? b 的符号由 cos ? 的符号决定.

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时 a· b为正; 当90°<θ ≤180°时 a· b为负。 当θ =90°时 a· b为零。

重要性质:
设a,b都是非零向量,则
(1)a⊥b

a· b=0

(2)当a与b同向时,a· b= |a| |b|

当a与b反向时,a· b= -|a| |b|
特别地a· a =|a|2或|a|=√a· a 。 (3)|a· b| ≤ |a||b| a· b (4)cosθ= | a ||b|

例题讲解
例1.已知 ? ? 120? ,求 a ? b .
? ? b =5 , a ? ?

? ? =4,a 与 b 的夹角
答案: ? 10

数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解, 只有在位移方向上的力做功.
F θ

s

对非零向量a与b,定义| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影.

| a | cosθ叫

向量a在b 方向上的投影.

数量积的几何意义 ??? ? ? ??? ? ? 作OA ? a, OB ? b,过点B作BB1 ? 直线OA 则 OB1 的数量是| b | cosθ (不是向量)
B B B

b

b

b

?
O B1 a A
B1

?
O

?
a
A O a A

θ为锐角时, | b | cosθ>0

θ为钝角时, | b | cosθ<0

θ为直角时, | b | cosθ=0

a· b的几何意义:数量积a · b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos?的乘积。

数量积的运算律 和实数中的运算律类似 ? 已知向量 a 、 b 、 c 和实数 ,则 : ? ? ? ?

(1)???a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)??(? a) ? b ? ? (?a ? b) ? a ? (? b) ? ? ? ? ? ? ? (3)??? a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b)

=(a+b)· a+(a+b)· b

= a· a+b· a+a· b+b· b
=a2+2a· b+b2.
(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b = a· a+ b· a- a· b - b· b = a2- b2.

向量的数量积运算类似于多项式运算

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 解:(1). (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? b ? 6b ?2 ? ? ?2 ? a ? a ? b ? cos ? ? 6 b ? ?72
? ? ?2 ? ? ?2 (2) a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 2 37

? ? 例2.( P105例3)已知 | a |? 6,| b |? 4, ? ? ? ? ? ? ? a与b夹角为60 , 求: (1)(a ? 2b) ? (a ? 3b) ? ? (2)?? a ? 2b | .

? ? 例( 3. P105例4)已知 | a |? 3,| b |? 4, ? ? ? ? ? ? 且a与b不共线.k为何值时, (a ? kb) ? (a ? kb)?
解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是 ( a+kb)·(a-kb)=0 即a2-k2b2=0 9-16 k 2 =0
3 ? 4

所以,k=

?? ?? ? 例4、已知单位向量e1 , e2的夹角为600, ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 求向量a ? 2e1 ? e2与b ? 2e1 ? 3e2的夹角?。
?? ?? ? ?? ?? ? 1 0 解: ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 cos 60 ? 2 ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? 2 ? a ? b ? (2e1 ? e2 ) ? (2e1 ? 3e2 ) ? ?6e1 ?? ?? ? ?? ?2 7 ? e1 ? e2 ? 2e2 ? ? . 2 ?2 ?? ?? ? 2 ?? 2 ?? ?? ? ?? ?2 又a ? (2e1 ? e2 ) ? 4e1 ? 4e1 ? e2 ? e2 ? 7 ?2 ?? ?? ? 2 ?? 2 ?? ?? ? ?? ?2 b ? (2e1 ? 3e2 ) ? 4e1 ? 12e1 ? e2 ? 9e2 ? 7 ? ? ? ? a ?b 1 ? a ? b ? 7 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 a?b ? 0 ? ? ? ? ,?? ? 2? 3

?? ? ? ? ? 变式:已知a.b都是非零向量,且a ? 3b与7a ? 5b ? ? ? ? ? ? 垂直, a ? 4b与7a ? 2b垂直, 求a与b的夹角。 ? ? ? ? 解:由已知,得(a ? 3b) ? (7 a ? 5b) ? 0 ? ? ? ? (a ? 4b) ? (7 a ? 2b) ? 0, ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 即7 a +16a ? b ? 15b ? 0, 7 a ? 30a ? b ? 8b ? 0 ? ? ?2 ?2 ?2 两式相减,得2a ? b =b ,代入上式,得a =b ?2 1 ? ? b a ?b 1 2 ? cos ? ? ? ? ? ? 2 ? , ?? ? 600. 2 a?b b

知识回顾:
夹角的范围 数量积 性质
0 ?? ??

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
? ? ? 或 | a |? a ? a

a· a=|a|2 (简写 a2 = |a|2)

运算律

) (1) a · b= ? b ·a (交换律 ? ? ? ? ? (2) (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b )

c+b· c (分配律) (3) (a+b) · c = a·

课后作业:
P108 1——8 (习题).
预习向量的数量积的坐标表示

谢谢大家! 再见!


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