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专题10 立体几何-2015年高考数学(理)试题分项版解析(word解析版)


1.【2015 高考安徽,理 5】已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列 命题正确的是( )

(A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 【答案】D 【解析】由 A ,若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? , ? 可以相交、平行,故 A 不正确;由 B , 若 m ,n 平行于同一平面, 则 m ,n 可以平行、 重合、 相交、 异面, 故 B 不正确; 由C , 若 ? , ? 不平行,但 ? 平面内会存在平行于 ? 的直线,如 ? 平面中平行于 ? , ? 交线 的直线;由 D 项,其逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面,则 m , n 平行”是真命 题,故 D 项正确.所以选 D. 【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用画图(尤其是 画长方体) 、现实实物判断法(如墙角、桌面等) 、排除筛选法等;另外,若原命题不太 容易判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题真假,原命题与逆否命题等 价. 2.【2015 高考北京,理 4】设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .“ m ∥ ? ”是 “ ? ∥ ? ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B

【解析】因为 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .若“ m ∥ ? ”,则平面 ? 、? 可 能相交也可能平行, 不能推出 ? //? , 反过来若 ? //? ,m ? 是“ ? ∥ ? ”的必要而不充分条件.

? ,则有 m ∥ ? ,则“ m ∥ ? ”

1

考点定位:本题考点为空间直线与平面的位置关系,重点考察线面、面面平行问题和充要条 件的有关知识. 【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件,本题属于基础题,本题以空 间线、面位置关系为载体,考查充要条件.考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面 的位置关系的理解及空间想象能力,重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质. 3.【2015 高考新课标 1,理 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如 下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内 墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底 部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体 积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )

(A)14 斛 【答案】B

(B)22 斛

(C)36 斛

(D)66 斛

【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式 【名师点睛】 本题以《九章算术》中的问题为材料,试题背景新颖,解答本题的关键应想 到米堆是

1 1 圆锥,底面周长是两个底面半径与 圆的和,根据题中的条件列出关于底面半 4 4

径的方程,解出底面半径,是基础题. 4.【2015 高考陕西,理 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A . 3? D. 3? ? 4 B . 4? )

C . 2? ? 4

2

【答案】D 【解析】由三视图知:该几何体是半个圆柱,其中底面圆的半径为 1 ,母线长为 2 ,所以该 几何体的表面积是

1 ? 2? ?1? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 3? ? 4 ,故选 D. 2

【考点定位】1、三视图;2、空间几何体的表面积. 【名师点晴】本题主要考查 的是三视图和空间几何体的表面积,属于容易题.解题时要看 清楚是求表 面积还是求体积,否则很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构 特征,再计算出几何体各个面的面积即可. 5.【2015 高考新课标 1,理 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几 何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? , 则 r=( )

(A)1 【答案】B

(B)2

(C)4

(D)8

【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半 径都为 r, 圆柱的高为 2r, 其表面积为 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 【考点定位】简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 【名师点睛】 本题考查简单组合体的三视图的识别, 是常规提, 对简单组合体三三视图问题, 先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状,再根据“长对正, 宽相等,高平齐”的法则组合体中的各个量. 6.【2015 高考重庆,理 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 2

3

1 ?? 3 1 ? 2? C、 3
A、 【答案】A

B、

2 ?? 3 2 D、 ? 2? 3

【 解 析 】 这 是 一 个 三 棱 锥 与 半 个 圆 柱 的 组 合 体 ,

1 1 1 1 V ? ? ?12 ? 2 ? ? ( ??1? 2) ? 1 ? ? ? ,选 A. 2 3 2 3
【考点定位】组合体的体积. 【名师点晴】本题涉及到三视图的认知,要求学生能由三视图画出几何体的直观图,从而分 析出它是哪些基本几何体的组合, 应用相应的体积公式求出几何体的体积, 关键是画出直观 图,本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力. 7.【2015 高考北京,理 5】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

A. 2 ? 5 【答案】C

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5

4

?

5 ,三棱锥表面积 S 表 ? 2 5 ? 2 . 2

考点定位:本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积,考查空间线线、线 面的位置关系及有关线段长度及三角形面积数据的计算. 【名师点睛】本题考查三视图及多面体的表面积,本题属于基础题,正确利用三视图还原为 原几何体,特别是有关数据的还原,另外要利用线面垂直的性质,判断三角形的形状,特别 是侧面 PAB 的形状为等腰三角形,正确求出三个侧面的面积和底面的面积. 8.【2015 高考安徽,理 7】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( (A) 1 ? 3 (C) 1 ? 2 2 (B) 2 ? 3 (D) 2 2 )

5

【答案】B

?ABD, ?BCD 是等腰直角三角形, ?ABC , ?ACD 【解析】 由题意, 该四面体的直观图如下,
是 等 边 三 角 形 , 则

1 1 3 ,所以四 S?BCD ? S?ABD ? ? 2 ? 2 ? 1, S?ABC ? S?ACD ? ? 2 ? 2 sin 60 ? 2 2 2
面体的表面积 S ? S?BCD ? S?ABD ? S?ABC ? S?ACD ? 2 ?1 ? 2 ?

3 ? 2 ? 3 ,故选 B. 2

【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图;2.空间几何体表面积的求法. 【名师点睛】三视图是高考中的热门考点,解题的关键是熟悉三视图的排放规律:长对正, 高平齐,宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图, 这对于解答这类问题非常有帮助,本 题还应注意常见几何体的体积和表面积公式. 9.【2015 高考新课标 2,理 9】已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的 动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π 【答案】C B.64π C.144π D.256π )

【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.

6

C

O A B

【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算,要明确球的截面性质, 正确理解四面体体积最大时的情形,属于中档题. 10. 【 2015 高 考 山 东 , 理 7 】 在 梯 形 ABCD 中 , ?ABC ?

?
2



AD / / BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .将梯
形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A) )

2? 3

(B)

4? 3

(C)

5? 3

(D) 2?

【答案】C 【解析】 直角梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面 半径为 1,母线长为 2 的圆柱挖去一个底面半径同样是 1、高为 1 的圆锥后得到的组合体, 所以该组合体的体积为: V ? V圆柱 ? V圆锥 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? 1 ?
2 2

1 3

5 ? 学科网 3

故选 C. 【考点定位】1、空间几何体的结构特征;2、空间几何体的体积. 【名师点睛】 本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算, 重点考查了圆 柱、圆锥的结构特征和体积的计算,体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查, 此题属中档题. 11.【2015 高考浙江,理 8】如图,已知 ?ABC , D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将 ?ACD 折 成 ?A?CD ,所成二面角 A? ? CD ? B 的平面角为 ? ,则( ) A. ?A?DB ? ? B. ?A?DB ? ? C. ?A?CB ? ? D. ?A?CB ? ?

7

【答案】B. 【解析】 试题分析: 设 ?ADC ? ? , 设 AB ? 2 , 则由题意 AD ? BD ? 1 , 在空间图形中, 设 A?B ? t , 在 ?A?CB 中, cos ?A?DB ?

A?D 2 ? DB 2 ? AB 2 12 ? 12 ? t 2 2 ? t 2 ? ? , 2 A?D ? DB 2 ? 1? 1 2

在空间图形中,过 A? 作 AN ? DC ,过 B 作 BM ? DC ,垂足分别为 N , M , 过 N 作 NP/ /MB ,连结 A?P ,∴ NP ? DC , 则 ?A?NP 就是二面角 A? ? CD ? B 的平面角,∴ ?A?NP ? ? , 在 Rt ?A?ND 中, DN ? A?D cos ?A?DC ? cos ? , A?N ? A?D sin ?A?DC ? sin ? , 同理, BM ? PN ? sin ? , DM ? cos ? ,故 BP ? MN ? 2 cos ? , 显然 BP ? 面 A?NP ,故 BP ? A?P , 在 Rt ?A?BP 中, A?P ? A?B ? BP ? t ? (2cos? ) ? t ? 4cos
2 2 2 2 2 2 2

?,




?A?NP
c ?? ?A? ? A? ? ? ? s o N? 2 A? ?
2 2



N ?? s

? t ? i P 2N ? ? ?
2

N2 ? c s N

2

n

8

【考点定位】立体几何中的动态问题 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题,属于较难题,由于 ?ABC 的形状不确 定, ?A ' CB 与

? 的大小关系是不确 定的,再根据二面角的定义即可知 ?A?DB ? ? ,当且仅当 AC ? BC
时,等号成立 以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题,12 年,13 年选择题压轴题均 考查了立体几 何背景的创新题,解决此类问题需在平时注重空间想象能力的培养,加强此类问题的训练. 【2015 高考湖南,理 10】某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切割,加工成一个 体积尽可能大的长方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内, 则原工件材料 的利用率为(材料利用率=

新工件的体积 ) ( 原工件的体积



A.

8 9?

B.

16 9?

C.

4( 2 ? 1)3

?

D.

12( 2 ? 1)3

?

9

【答案】A. 【解析】 试题分析: 分析题意可知, 问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值, 设长方体体的长, 宽,高分别为 x , y ,h ,长方体上底面截圆锥的截面半径为 a ,则 x ? y ? (2a) ? 4a ,
2 2 2 2

如下图所示,圆锥的轴截面如图所示,则可知

a 2?h ? ? h ? 2 ? 2a ,而长方体的体积 1 2

x2 ? y2 V ? xyh ? h ? 2a 2 h ? 2a 2 ( 2 ? 2 a ) 2
2 a ? a ? 2 ? 2a 3 16 ) ? ,当且仅当 x ? y , a ? 2 ? 2a ? a ? 时,等号成立,此时 3 3 27 16 8 27 ? 利用率为 ,故选 A. 1 ? ?12 ? 2 9? 3

? 2? (

【考点定位】1.圆锥的内接长方体;2.基本不等式求最值. 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题,与实际应用相结合,立意新颖,属于较 难题,需要考 生从实际应用问题中提取出相应的几何元素, 再利用基本不等式求解, 解决此类问题的两大 核心思路:一

10

是化立体问题为平面问题,结合平面几何的相关知识求解;二是建立目标函数的数学思想, 选择合理的变 量,或利用导数或利用基本不等式,求其最值. 12.【2015 高考浙江,理 2】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是 ( ) A. 8cm
3

B. 12cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

【答案】C.

【考点定位】1.三视图;2.空间几何体的体积计算. 【名师点睛】本题主要考查了根据三视图判断空间几何体的形状,再计算其体积,属于容易 题,在解题过程中,根据三视图可以得到该几何体是一个正方体与四棱锥的组合,将组合体 的三视图,正方体与锥体的体积计算结合在一起,培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力 和计算能力,会利用所学公式进行计算,体现了知识点的交汇. 13.【2015 高考福建,理 7】若 l , m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ” 是“ l / /? 的 ( ) B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不

A.充分而不必要条件 必要条件 【答案】B

11

【解析】若 l ? m ,因为 m 垂直于平面 ? ,则 l / /? 或 l ? ? ;若 l / /? ,又 m 垂直于平 面 ? ,则 l ? m ,所以“ l ? m ”是“ l / /? 的必要不充分条件,故选 B.学科网 【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系. 【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系,要理解 线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的 内部联系,长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体,所以我们可以 将这些问题还原到长方体中研究. 14.【2015 高考新课标 2,理 6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如 右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( A. )

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】D 【解析】 由三视图得, 在正方体 ABCD ? A 截去四面体 A ? A1B1D1 , 如图所示, , 1B 1C1D 1 中,

1 1 3 1 3 1 5 ? a ? a ,故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 , 3 2 6 6 6 1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选 D. 5
设正方体棱长为 a ,则 VA? A1B1D1 ? 【考点定位】三视图.

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B
12

【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算,要求有一定的空间想象 能力,关键是能从三视图确定截面,进而求体积比,属于中档题. 【2015 高考上海,理 6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2? ,则其母线与轴的夹 角的大小为 【答案】 .

? 1 【解析】由题意得: ? rl : ( h ? 2r ) ? 2? ? l ? 2h ? 母线与轴的夹角为 2 3
【考点定位】圆锥轴截面 【名师点睛】 掌握对应几何体的侧面积, 轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 球体的表面积

? 3

S ? 2?rl ,

S ? 2?r (r ? l ) , 圆锥的侧面积

S ? ?rl , 圆锥的表面积

S ? ?r (r ? l ) ,

S ? 4?R 2 ,圆锥轴截面为等腰三角形.


【2015 高考上海, 理 4】 若正三棱柱的所有棱长均为 a , 且其体积为 16 3 , 则a ? 【答案】 4 【解析】 a ?
3 2 a ? 16 3 ? a 3 ? 64 ? a ? 4 4

【考点定位】正三棱柱的体积 【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首先 要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握平几面积计算方法.柱的

1 3 2 a ,正六边 形的面积为 体积为 V ? Sh , 区别锥的体积 V ? Sh ;熟记正三角形面积为 3 4
3 2 a . 4 15.【2015 高考四川,理 14】如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面 6?

互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所 成的角为 ? ,则 cos ? 的最大值为 .

13

【答案】

2 5

8 y ?1 16 1 ? ? ,当 t ? 1 时取等号.所以 2 4 y ? 5 t ? 81 ? 2 5 t
1 1 ? ? y 2(1 ? y ) 1 2 2 2 2 cos ? ? ? ? ? ? ,当 y ? 0 时,取得最大值. 2 1 1 5 5 5 5 ? 4 y ? 5 2 1? ? ? y ?1 4 4
z Q M P

A E B F x

D

y

C

【考点定位】1、空间两直线所成的角;2、不等式. 【名师点睛】空间的角与距离的问题,只要便于建立坐标系均可建立坐标系,然后利用公式 求解.解本题要注意, 空间两直线所成的角是不超过 90 度的.几何问题还可结合图形分析何时 取得最大值.当点 M 在 P 处时,EM 与 AF 所成角为直角,此时余弦值为 0(最小) ,当 M 点 向左移动时,EM 与 AF 所成角逐渐变小,点 M 到达 Q 点时,角最小,从而余弦值最大. 16.【2015 高考天津,理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体
14

积为

m3 .
1 1 1 2 正视图 1 1 1

1

侧视图

1 1 俯视图

1 1

【答案】 ? 【解析】由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为 1 ,高为 2 的圆柱,两端是底面 半径为 1 ,高为 1 的圆锥,所以该几何体的体积 V ? 1 ? ? ? 2 ? 2 ?
2

8 3

1 2 8 ?1 ? ? ?1 ? ? . 3 3

【考点定位】三视图与旋转体体积公式. 【名师点睛】主要考查三视图与旋转体体积公式及空间想象能力、运算能力.识图是数学的 基本功,空间想象能力是数学与实际生活必备的能力,本题将这些能力结合在一起,体现了 数学的实用价值,同时也考查了学生对旋转体体积公式的掌握与应用、计算能力. 17. 【 2015 高 考 浙 江 , 理 13 】 如 图 , 三 棱 锥 A ? BCD 中 ,

A B ?

A? C

B ? D 3 ,? C D

M,B N 分别是 AD, BC 的中点,则异面直线 ? A 2D? C ,点


AN , CM 所成的角的余弦值是

【答案】

7 . 8

15

【考点定位】异面直线的夹角. 【名师点睛】本题主要考查了异面直线夹角的求解,属于中档题,分析条件中出现的中点, 可以考虑利用 三角形的中位线性质利用平移产生异面直线的夹角, 再利用余弦定理的变式即可求解, 在复 习时应了解两 条异面直线夹角的范围,常见的求异面直线夹角的方法等知识点. 18.【2015 江苏高考,9】现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、 高为 8 的圆柱各一个。 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的 圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 【答案】 7

1 1 2 2 2 2 【解析】由体积相等得: ? 4 ? ? ? 5 +? ? 2 ? 8= ? r ? ? ? 4 ? ? ? r ? 8 ? r ? 7 3 3
【考点定位】圆柱及圆锥体积 【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或 是求出一些体积比等.

16

(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积 的几何体. 19.【2015 高考新课标 2,理 19】 (本题满分 12 分)

E , F 分别在 A1B1 , 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB =16 , BC =10 , AA 1 ? 8 ,点

C1D1 上, A1E ? D1F ? 4 .过点 E , F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方
形. D1 F C1

A1

E D

B1 C

A

B

(Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ; (Ⅱ )求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. 【答案】 (Ⅰ )详见解析; (Ⅱ )

4 5 . 15

【考点定位】1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.
17

D1 E D

F

C1

A1

B1 G C

A

M

H

B

【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面 ? 与长方体的面的交线;由交线的位 置可确定公共点的位置, 坐标法是求解空间角问题时常用的方法, 但因其计算量大的特点很 容易出错,故坐标系的选择是很重要的,便于用坐标表示相关点,先求出面 ? 的法向量, 利用 sin ? ? cos ? n, AF ? 求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. 20.【2015 江苏高考,16】 (本题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 已知 AC ? BC , 设 AB1 的中点为 D , BC ? CC1 , (1) DE // 平面AA B1C ? BC1 ? E .求证: 1C1C ; (2) BC1 ? AB1 . A B D A1 B1 【答案】 (1)详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析(1)由三棱锥性质知侧面 BB1C1C 为平行四边形,因此点 E 为 B1C 的中点,从而由
18

C

E C1

三角形中位线性

又因为 ?C ? ?C , CC1 ? 平面 ?CC1?1 , ?C ? 平面 ?CC1?1 , ?C 所以 ?C ? 平面 ?CC1?1 . 又因为 ?C1 ? 平面 ?CC1?1 ,所以 ?C1 ? ?C . 因为 ?C ? CC1 ,所以矩形 ?CC1?1 是正方形,因此 ?C1 ? ?1C . 因为 ? C , ?1C ? 平面 ?1?C , ?C

CC1 ? C ,

?1C ? C ,所以 ?C1 ? 平面 ?1?C .

又因为 ??1 ? 平面 ?1?C ,所以 ?C1 ? ??1 . 【考点定位】线面平行判定定理,线面垂直判定定理 【名师点晴】 不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件. 证明直线与平面平行的关键是 设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线 , 常利用几何体的特征,合理利用中位线定 理、 线面平行的性质, 或者构造平行四边形、 寻找比例式证明两直线平行. 证明线面垂直时, 不要忽视面内两条线为相交线这一条件.证明直线与平面垂直的 关键在于熟练把握空间垂 直关系的判定与性质, 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用, 这是证明空间垂直 关系的基础.
19

21. 【 2015 高考安徽,理 19 】如图所示,在多面体 A ,四边形 AA1 B1 B , 1B 1D 1 DCBA

ADD1 A1 , ABCD 均为正方形, E 为 B1D1 的中点,过 A1 , D, E 的平面交 CD1 于 F.
(Ⅰ)证明: EF / / B1C ; (Ⅱ)求二面角 E ? A1D ? B1 余弦值.

【答案】 (Ⅰ) EF / / B1C ; (Ⅱ) 【解析】

6 . 3

试题分析: (Ⅰ)证明:依据正方形的性质可知 A , 1B 1 / / AB / / DC ,且 A 1B 1 ? AB ? DC , 从而 A 1B 1CD 为平行四边形,则 B 1C / / 面 1C / / A 1 D ,根据线面平行的判定定理知 B

A1DE ,再由线面平行的性质定理知 EF / / B1C .(Ⅱ)因为四边形 AA1 B1 B , ADD1 A1 ,
ABCD 均为正方形,所以 AA1 ? AB, AA1 ? AD, AD ? AB ,且 AA1 ? AB ? AD ,可
以建以 A 为原点,分别以 AB, AD, AA 1 为 x 轴, y 轴, z 轴单位正向量的平面直角坐 标系,写出相关的点的坐标,设出面 A )由 1DE 的 法 向 量 n1 ? ( r 1 , s1 , t1.

?0.5r ? 0.5s1 ? 0 , (?1,1,1) 为其一组 n1 ? A1E, n1 ? A1D 得 r1 , s1 , t1 应满足的方程组 ? 1 ? s1 ? t1 ? 0
解,所以可取 n1 ? (?1,1,1) .同理 A 1B 1CD 的法向量 n2 ? (0,1,1) .所以结合图形知二面角

E ? A1D ? B 的余弦值为

| n1 ? n2 | 2 6 . ? ? 3 | n1 | ? | n2 | 3? 2

试题解析: (Ⅰ)证明:由正方形的性质可知 A 1B 1 / / AB / / DC ,且 A 1B 1 ? AB ? DC ,所
20

以四边形 A 1B 1CD 为平行四边形,从而 B 1D ? 面 A 1 DE , B 1C ? 面 1C / / A 1 D ,又 A

A1DE ,于是 B1C / / 面 A1DE ,又

n1 ? (?1,1,1) .设面 A1B1CD 的法向量 n2 ? (r2 , s2 , t2 ) ,而该面上向量 A1B1 ? (1,0,0), A1D ? (0,1, ?1) ,由此同理可得 n2 ? (0,1,1) .所以结合图形知二面角
E ? A1D ? B 的余弦值为

| n1 ? n2 | 2 6 . ? ? 3 | n1 | ? | n2 | 3? 2

【考点定位】1.线面平行的判定定理与性质定理;2.二面角的求解. 【名师点睛】 解答空间几何体中的平行、 垂直关系时, 一般要根据已知条件把空间中的线线、 线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够 的条件进行推理;求二面角,则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立 恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.
21

22.【2015 江苏高考,22】 (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且四边形 ABCD 为直角梯 形, ?ABC ? ?BAD ?

?
2

, PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 P

Q A B C D

【答案】 (1) 【解析】

3 2 5 (2) 3 5

试题分析: (1)求二面角,关键求出两个平面的法向量,本题中平面 PCD 法向量已知,故 关键求平面 PAB 的法向量, 利用向量垂直关系可列出平面 PAB 的法向量两个独立条件, 再 根据向量数量积求二面角余弦值 (2) 先建立直线 CQ 与 DP 所成角的函数关系式: 设 BQ ? ? BP , 则 cos ? CQ, DP ??
1 ? 2? 10? 2 ? 2 (0 ? ? ? 1) ,再利用导数求其最值,确定点 Q 坐标,最后利用向

量模求线段 BQ 的长学科网 试题解析:以 ??, ?D, ?? 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ? ? xyz , 则各点的坐标为 ? ?1,0,0 ? , C ?1,1,0 ? , D ? 0,2,0? , ? ? 0,0,2? . (1)因为 ?D ? 平面 ??? ,所以 ?D 是平面 ??? 的一个法向量, ?D ? ? 0, 2,0 ? . 因为 ?C ? ?1,1, ?2 ? , ?D ? ? 0, 2, ?2 ? . 设平面 ?CD 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,则 m ??C ? 0 , m ??D ? 0 ,即 ? 令 y ? 1 ,解得 z ? 1 , x ? 1 . 所以 m ? ?1,1,1? 是平面 ?CD 的一个法向量.
22

?

?

?x ? y ? 2z ? 0 . ?2 y ? 2 z ? 0

从而 cos ?D, m ?

?D ? m ?D m

?

3 ,所以平面 ??? 与平面 ?CD 所成二面角的余弦值为 3

3 . 3
(2)因为 ?? ? ? ?1,0, 2? ,设 ?Q ? ? ?? ? ? ?? ,0, 2? ? ( 0 ? ? ? 1 ) ,

【考点定位】空间向量、二面角、异面直线所成角 【名师点晴】1.求两异面直线 a,b 的夹角 θ,须求出它们的方向向量 a,b 的夹角,则 cos θ=|cos〈a,b〉|.2.求直线 l 与平面 α 所成的角 θ 可先求出平面 α 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 的夹角.则 sin θ=|cos〈n,a〉|.3.求二面角 α -l -β 的大小 θ,可先求 出两个平面的法向量 n1,n2 所成的角,则 θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉 . 23.【2015 高考福建,理 17】如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB ^ 平 面 BEC,BE ^ EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (Ⅰ)求证: GF / / 平面 ADE ; (Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.

23

A D B F C
2 . 3

G E

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

【解析】解法一: (Ⅰ)如图,取 AE 的中点 H ,连接 HG , HD ,又 G 是 BE 的中点,

1 所以GH AB,且GH= AB ,学科网 2 1 又 F 是 CD 中点, 所以DF= CD ,由四边形 ABCD 是矩形得, AB CD,AB=CD ,所 2
以 GH DF,且GH=DF .从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GF / / DH ,,又

DH 趟 平面ADE,GF 平面ADE ,所以 GF 平面ADE .

A D H B G E C F

A D H B G E C F Q

(Ⅱ)如图,在平面 BEC 内,过点 B 作 BQ EC ,因为 BE ^ CE,所以BQ ^ BE . 又因为 AB ^ 平面 BEC,所以 AB ^ BE,AB ^ BQ 以 B 为原点,分别以 BE, BQ, BA 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为 AB ^ 平面 BEC,所以 BA=(0,0,2)为平面
24

BEC 的法向量, 设 n = (x, y, z) 为平面 AEF 的法向量.又 AE = (2,0,-2), AF=(2,2,-1) 由眄

ì n AE = 0, ì 2 x - 2 z = 0, 镲 取 z = 2 得 n=(2,-1,2) . 得 镲 ? n AF = 0, ? 2 x + 2 y - z = 0,

从而 cos狁 n, BA =

n BA 4 2 = = , | n | ×| BA | 3? 2 3
2 . 3

所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为

解法二: (Ⅰ)如图, 取 AB 中点 M , 连接 MG ,MF , 又 G 是 BE 的中点, 可知 GM / / AE , 又

(Ⅱ)同解法一. 【考点定位】1、直线和平面平行的判断;2、面面平行的判断和性质;3、二面角. 【名师点睛】 本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法, 直线和平面平行首先是利用其 判定定理,或者利用面面平行的性质来证,注意线线平行、线面平行、面面平行的转化;利 用坐标法求二面角,主要是空间直角坐标系的建立要恰当,便于用坐标表示相关点,求出半 平面法向量夹角后,要观察二面角是锐角还是钝角,正确写出二面角的余弦值.
25

AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 90 , 24. 【2015 高考浙江, 理 17】 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 -中,

A1 A ? 4 , A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为 B1C1 的中点.
(1)证明: A1 D ? 平面 A1B C ; (2)求二面角 A1 -BD- B1 的平面角的余弦值.

【答案】 (1)详见解析; (2) ?

1 . 8

试题分析: (1)根据条件首先证得 AE ? 平面 A1 BC ,再证明 A1D / / AE ,即可得证; (2) 作 A1F ? BD ,且 A1F

BD ? F ,可证明 ?A1FB1 为二面角 A1 ? BD ? B1 的平面角,再由
1 ,从而求解. 8
B ? A C , ∵A


余弦定理即可求得 cos ?A1 FB1 ? ?

试题解析: (1) 设 E 为 BC 的中点, 由题意得 A1E ? 平面 ABC , ∴A E ? A E 1

∴ AE ? BC ,故 AE ? 平面 A1 BC ,由 D , E 分别 B1C1 , BC 的中点,得 DE / / B1B 且

DE ? B1B ,从而 DE / / A1 A ,∴四边形 A1 AED 为平行四边形,故 A1D / / AE ,又∵ AE ?
平面 A1BC1 ,∴ A1D ? 平面 A1BC1 ; (2)作 A1F ? BD ,且 A1F

BD ? F ,连结 B1F ,

由 AE ? EB ? 2 , ?A 1B ? A 1 A ? 4 ,由 A 1D ? B 1D , 1EA ? ?A 1EB ? 90 ,得 A

A1B ? B1B ,得 ?A1DB ? ?B1DB ,由 A1F ? BD ,得 B1F ? BD ,因此 ?A1FB1 为二面角 A1 ? BD ? B1 的平面角,由 A1D ? 2 , A1B ? 4 , ?DA1B ? 90 ,得 BD ? 3 2 ,
A1 F ? B1 F ? 4 1 ,由余弦定理得, cos ?A1 FB1 ? ? . 3 8
26

【考点定位】1.线面垂直的判定与性质;2.二面角的求解 【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及二面角的求解,属于中档题,在解 题时,应观察 各个直线与平面之间的位置关系,结合线面垂直的判定即可求解,在求二面角时,可以利用 图形中的位置 关系,求得二面角的平面角,从而求解,在求解过程当中,通常会结合一些初中阶段学习的 平面几何知识, 例如三角形的中位线,平行四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等,在复习时应 予以关注. 25.【2015 高考山东,理 17】如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE, G, H 分别为

AC , BC 的中点.

(Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC, CF ? DE
27

, ?BAC ? 45

,求平面 FGH 与平

面 ACFD 所成的角(锐角)的大小. 【答案】 (I)详见解析; (II) 60 【解析】

O ,连接 OH ,先证明 OH / / BD , 试题分析: (I)思路一:连接 DG, CD ,设 CD GF ?
从而由直线与平面平行的判定定理得 BD / / 平面 HDF ;思路二:先证明平面 FGH / / 平 面 ABED ,再由平面与平面平行的定义得到 BD / / 平面 HDF . (II)思路一:连接 DG, CD ,设 CD

GF ? O ,连接 OH ,证明 GB, GC , GD 两两垂

直, 以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz ,利用空量向量的夹角公 式求解;思路二:作 HM ? AC 于点 M ,作 MN ? GF 于点 N ,连接 NH ,证明

?MNH 即为所求的角,然后在三角形中求解.
试题解析: (I)证法一:连接 DG, CD ,设 CD 在三棱台 DEF ? ABC 中,

GF ? O ,连接 OH ,

AB ? 2 DE, G 为 AC 的中点
可得 DF / /GC, DF ? GC 学科网 所以四边形 DFCG 为平行四边形 则 O 为 CD 的中点 又 H 为 BC 的中点 所以 OH / / BD 又 OH ? 平面 FGH , BD ? ? 平面 FGH , 所以 BD / / 平面 FGH .

28

证法二: 在三棱台 DEF ? ABC 中, 由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点

因为 BD ? 平面 ABED 所以 BD / / 平面 FGH (II)解法一: 设 AB ? 2 ,则 CF ? 1 在三棱台 DEF ? ABC 中,

G 为 AC 的中点
由 DF ?

[来源:学|科|网]

1 AC ? GC , 2

可得四边形 DGCF 为平行四边形, 因此 DG / / CF 又 FC ? 平面 ABC 所以 DG ? 平面 ABC 在 ?ABC 中,由 AB ? BC, ?BAC ? 45 , G 是 AC 中点, 所以 AB ? BC, GB ? GC 因此 GB, GC , GD 两两垂直, 以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz

29

所以 G ? 0, 0, 0 ? , B 可得 H ?

?

2,0, 0 , C 0, 2, 0 , D ? 0, 0,1?

? ?

?

? 2 2 ? ? 2 , 2 ,0? ? , F 0, 2,1 ? ?

?

? ?

故 GH ? ? ?

? 2 2 ? , ,0? ? , GF ? 0, 2,1 2 2 ? ?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 FGH 的一个法向量,则学科网 由?

? ?n ? GH ? 0, ? ?n ? GF ? 0,

可得 ?

? ?x ? y ? 0 ? ? 2y ? z ? 0

可得平面 FGH 的一个法向量 n ? 1, ?1, 2

?

? ?
2, 0, 0

因为 GB 是平面 ACFD 的一个法向量, GB ? 所以 cos ? GB, n ??

?

GB ? n 2 1 ? ? | GB | ? | n | 2 2 2

所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为 60 解法二: 作 HM ? AC 于点 M ,作 MN ? GF 于点 N ,连接 NH 由 FC ? 平面 ABC ,得 HM ? FC 又 FC

AC ? C

所以 HM ? 平面 ACFD 因此 GF ? NH 所以 ?MNH 即为所求的角

30

所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60

.

【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系;2、二面角的求法;3、空间向量在解决立体 几何问题中的应用. 【名师点睛】 本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质, 全面考查立几何中 的证明与求解, 意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力; 利用空间向量解决立体几何 问题是一种成熟的方法,要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性. 26.【2015 高考天津,理 17】 (本小题满分 13 分)如图,在四棱柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中,

AB = 1 , 侧棱 A 1 A ? 底面ABCD , AB ? AC ,

AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN // 平面 ABCD ;
31

(II)求二面角 D1 - AC - B1 的正弦值; (III) 设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为

1 ,求线段 3

A1E 的长
【答案】(I)见解析; (II)

3 10 ; (III) 10

7 ?2.

【解析】如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得

A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, ?2,0) ,

D1 C1 N

A1 B1

M D C A B
? 1 ? ? 2 ?

,又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得 M ? 1, ,1? , N (1, ?2,1) .学科网

D1 C1 N D C

A1 B1 M A B
? ? 5 2 ? ?

(I)证明:依题意,可得 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量, MN ? ? 0, ? ,0 ? , 由此可得, MN ? n ? 0 ,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以 MN // 平面 ABCD

32

(II) AD1 ? (1, ?2,2), AC ? (2,0,0) ,设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 ACD1 的法向量,则

? ? x ? 2 y ? 2z ? 0 ?n1 ? AD1 ? 0 ,即 ? ,不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) , ? 2 x ? 0 n ? AC ? 0 ? ? ? 1
设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 的一个法向量,则 ?

? ?n2 ? AB1 ? 0 ? ?n2 ? AC ? 0

,又 AB1 ? (0,1,2) ,得

? y ? 2z ? 0 ,不妨设 z ? 1 ,可得 n2 ? (0, ?2,1) ? ?2 x ? 0

【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成的角,空间向 量的应用. 【名师点睛】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成 的角,空间向量的应用.将立体几何向量化,体现向量工具的应用,即把几何的证明与计算 问题转化为纯代数的计算问题, 是向量的最大优势, 把空间一些难以想象的问题转化成计算 问题,有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题. 27. 【 2015 高 考 重 庆 , 理 19 】 如 题 ( 19 ) 图 , 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PC ? 平 面

ABC , PC ? 3 ,? A C B ?

?
2

. D , E 分 别 为 线 段

AB, BC











CD ? DE ? 2, CE ? 2EB ? 2.
(1)证明: DE ? 平面 PCD

33

(2)求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。
P

C D A 题(19)图

E B

【答案】 (1)证明见解析; (2) 【解析】

3 . 6

试题分析: (1) 要证线面垂直, 就是要证线线垂直, 题中由 PC ? 平面 ABC , 可知 PC ? DE , 再分析已知由 DC ? CE ? 2, CE ? 2 得 CD ? DE ,这样与 DE 垂直的两条直线都已找 到,从而可得线面垂直; (2)求二面角的大小,可心根据定义作出二面角的平面角,求出这 个平面角的大小,本题中,由于 ?ACB ?

?
2

, PC ? 平面 ABC ,因此 CA, CB, CP 两两垂

直,可以他们为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,写出图中各点的坐标,求出平面 APD 和平 面 CPD 的法向量 n1 , n2 ,向量 n1 , n2 的夹角与二面角相等或互补,由此可得结论.学科网 试题解析:(1)证明:由 PC ? 平面 ABC,DE ? 平面ABC,故 PC ? DE 由 CE=2,CD=DE= 2得 ? CDE为等腰直角三角形,故 CD ? DE 由 PC CD=C,DE 垂直于平面 PCD 内两条相交直线,故 DE ? 平面 PCD
[来源:Zxxk.Com]

(2)解:由(1)知, ? CDE 为等腰直角三角形, ? DCE=

? ,如(19)图,过点D作 4,

DF 垂直 CE 于F,易知 DF=FC=EF=1,又已知 EB=1, 故 FB=2. 由 ? ACB=

DF FB 2 3 3 ? = = ,故 AC= DF= . 得 DF // AC, AC BC 3 2 2 2,

34

以C为坐标原点,分别以 CACB ,  , CP 的方程为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐 标系,则C(0,0,0,),P(0,0,3),A(

3 ,0,0), 2

E(0,2,0),D(1,1,0), ED=(1,-1,0),

1 DP=(-1,-1,3)DA = ( ,-1,0) 2
设平面 PAD 的法向量 n =(x1,y1,z1 ), 1

从而法向量 n1 , n2 的夹角的余弦值为 cos? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 3 , = |n1 | ?|n2 | 6

故所求二面角 A-PD-C 的余弦值为

3 . 6

【考点定位】考查线面垂直,二面角.考查空间想象能力和推理能力. 【名师点晴】立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系(一般考虑使用综合几何
35

方法进行证明),然后是与空间角有关的问题,综合几何方法和空间向量方法都可以,但使 用综合几何方法要作出二面角的平面角, 作图中要伴随着相关的证明, 对空间想象能力与逻 辑推理能力有较高的要求,而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量,按 照空间角的计算公式进行计算, 也就是把几何问题完全代数化了, 这种方法对运算能力有较 高的要求.两种方法各有利弊,在解题中可根据情况灵活选用. 28.【2015 高考四川,理 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所 示,在正方体中,设 BC 的中点为 M , GH 的中点为 N (1)请将字母 F , G, H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)证明:直线 MN / / 平面 BDH (3)求二面角 A ? EG ? M 的余弦值.

【答案】 (1)点 F、G、H 的位置如图所示.

[来源:学+科+网]

H E F D M A
(2)详见解析.(3)

G

C B
2 2 3

【解析】 (1)点 F、G、H 的位置如图所示.

36

所以 OM / / CD ,且 OM ?

1 CD , 2

NH / / CD ,且 NH ?

1 CD , 2

所以 OM / / NH , OM ? NH , 所以 MNHO 是平行四边形, 从而 MN / / OH , 又 MN ? 平面 BDH , OH ? 平面 BDH , 所以 MN / / 平面 BDH . (3)连结 AC,过 M 作 MP ? AC 于 P.

37

H E

N K F

G

D O A P M B

C

在正方形 ABCD ? EFGH 中, AC / / EG , 所以 MP ? EG . 过 P 作 PK ? EG 于 K,连结 KM, 所以 EG ? 平面 PKM , 从而 KM ? EG .学科网 所以 ?PKM 是二面角 A ? EG ? M 的平面角. 设 AD ? 2 ,则 CM ? 1, PK ? 2 , 在 Rt CMP 中, PM ? CM sin 45 ? 在 Rt KMP 中, KM ? 所以 cos ?PKM ?

2 . 2 3 2 . 2

PK 2 ? PM 2 ?

PK 2 2 ? . KM 3

即二面角 A ? EG ? M 的余弦值为

2 2 . 3

(另外,也可利用空间坐标系求解) 【考点定位】本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面 夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 【名师点睛】立体几何解答题的考查内容,不外乎线面、面面位置关系及空间夹角与距离的 计算. (1)注意 ABCD 是底面,将平面展开图还原可得点 F、G、H 的位置. (2)根据直 线与平面平行的判定定理,应考虑证明 MN 平行于平面 BDH 内的一条直线.连结 O、M,易 得 MNHO 是平行四边形,从而 MN / / OH ,进而证得 MN / / 平面 BDH .(3)要作出二面 角 A ? EG ? M 的平面角,首先要过 M 作平面 AEGC 的垂线,然后再过垂足作棱 EG 的垂 线,再将垂足与点 M 连结,即可得二面角 A ? EG ? M 的平面角. 29.【2015 高考湖北,理 19】 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的

38

四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图, 在阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,过棱 PC 的中点 E ,作 EF ? PB 交 PB 于点 F , 连接 DE , DF , BD, BE. (Ⅰ)证明: PB ? 平面DEF .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直 角(只需写 出结论) ;若不是,说明理由; (Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为
π DC ,求 的值. 3 BC

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

2 . 2

故 ?BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角, 设 PD ? DC ? 1 , BC ? ? ,有 BD ? 1 ? ? 2 , 在 Rt△PDB 中, 由 DF ? PB , 得 ?DPF ? ?FDB ? 则 tan

π , 3

π BD ? tan ?DPF ? ? 1 ? ? 2 ? 3 , 解得 ? ? 2 . 3 PD

39

所以

DC 1 2 ? ? . BC ? 2
π DC 2 时, . ? 3 BC 2

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 (解法 2)
[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅰ)如图 2,以 D 为原点,射线 DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标 系.
P1 ), ( ,1 ,0), B ? (0,1 ,0) C 设 PD ? DC ? 1 , BC ? ? ,则 D(0,0,0), (0,0,

, PB ? (? ,1, ?1) ,点 E 是

PC 的中点,
所以 E (0,

1 1 1 1 , ) , DE ? (0, , ) , 2 2 2 2

于是 PB ? DE ? 0 ,即 PB ? DE . 又已知 EF ? PB ,而 DE
EF ? E ,所以 PB ? 平面DEF .

因 PC ? (0, 1, ?1) , DE ? PC ? 0 , 则 DE ? PC , 所以 DE ? 平面PBC . 由 DE ? 平面 PBC , PB ? 平面 DEF ,可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体 BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 ?DEB,?DEF, ?EFB,?DFB .

(Ⅱ)由 PD ? 平面ABCD ,所以 DP ? (0, 0, 1) 是平面 ABCD 的一个法向量; 由(Ⅰ)知, PB ? 平面DEF ,所以 BP ? (??, ?1, 1) 是平面 DEF 的一个法向量. 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 则 cos
π ,学科网 3

π BP ? DP ? ? 3 | BP | ? | DP |

1

? ?2
2

?

1 , 2

解得 ? ? 2 . 所以

DC 1 2 ? ? . BC ? 2
π DC 2 时, . ? 3 BC 2

故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

40

【考点定位】四棱锥的性质,线、面垂直的性质与判定,二面角. 【名师点睛】立体几何是高考的重点和热点内容,而求空间角是重中之重,利用空间向量求 空间角的方法固定,思路简洁,但在利用平面的法向量求二面角大小时,两个向量夹角与二 面角相等还是互补是这种解法的难点, 也是学生的易错易误点. 解题时正确判断法向量的方 向,同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补,一个指向内另一个指向外则相等. 30. 【2015 高考陕西, 理 18】 (本小题满分 12 分) 如图 1 , 在直角梯形 ?? CD 中,?D// ?C ,

???D ?

?
2

?D ? 2 , ?? ? ?C ? 1 , ? 是 ? C 与 ?? 的交点. , 将 ???? ? 是 ?D 的中点,

沿 ?? 折起到 ??1?? 的位置,如图 2 .

(I)证明: CD ? 平面 ?1?C ; (II)若平面 ?1?? ? 平面 ? CD? ,求平面 ?1?C 与平面 ?1CD 夹角的余弦值.

【答案】 (I)证明见解析; (II)

6 . 3

41

?? ? ?C (II)由已知,平面 A 1BE ? 平面 ? CD? ,又由(I)知, ?? ? OA 1,
所以 ?AOC 为二面角 A1 -BE -C 的平面角,所以 ?A1OC ? 1 如图,以 ? 为原点,建立空间直角坐标系, 因为 A 1B=A 1E=BC=ED=1 , BC //ED 所以 B(

?
2

.

2 2 2 2 ,0,0), E(,0,0), A1 (0,0, ),C(0, ,0), 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 0), A1C(0, ,) , CD = BE = (- 2,0,0) . 2 2 2 2

得 BC(-

设平面 A 平面 A 平面 A 1BC 的法向量 n 1BC 与 1CD 的法向量 n2 = ( x2 , y2 , z2 ) , 1 = ( x1 , y1 , z1 ) , 平面 A 1CD 夹角为 ? ,

42

则?

? ? n1 ? BC ? 0 ? ?n1 ? A1C ? 0

,得 ?

?? x1 ? y1 ? 0 ,取 n1 = (1,1,1) , ? y1 ? z1 ? 0

? ? x2 ? 0 ? n2 ? CD ? 0 ,得 ? ,取 n2 ? (0,1,1) , ? ? y2 ? z 2 ? 0 ? ? n2 ? A1C ? 0
从而 cos ? ?| cos? n1 , n2 ? |?

2 6 ,学科网 ? 3 3? 2
6 . 3

即平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值为

考点:1、线面垂直;2、二面角;3、空间直角坐标系;4、空间向量在立体几何中的应用. 【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何 中的应用,属于中档题.解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角,否则很容易出 现错误.证明线面垂直的关键是证明线线垂直,证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等 腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线. 31.【2015 高考新课标 1,理 18】如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120° ,E,F 是平 面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (Ⅱ)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)

3 3

43

又∵AE⊥EC,∴EG= 3 ,EG⊥AC, 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2 ,故 DF=

2 . 2

在 Rt△FDG 中,可得 FG=

6 . 2 2 3 2 可得 EF= , 2 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF= ∴ EG ? FG ? EF ,∴EG⊥FG,
2 2 2

∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, ∵EG ? 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC. ……6 分

(Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB, GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向, | GB| 为单位 长度,建立空间直角坐标系 G-xyz,由(Ⅰ)可得 A( 0,- 3 ,0) ,E(1,0, 1,0, 分
[来源:学&科&网]

2 ),F(-

2 2 ) ,C(0, 3 ,0) ,∴ AE =(1 , 3 , 2 ) , CF =(-1,- 3 , ).…10 2 2

故 cos ? AE, CF ??

AE ? CF 3 . ?? 3 | AE || CF |

44

所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为

3 . 3

……12 分

【考点定位】空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力 【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路,思路 1:几何法,先由线线垂直证明 线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直;思路 2:利用向量法,通过计算两个平面的法向量, 证明其法向量垂直,从而证明面面垂直;对异面直线所成角问题,也有两种思路,思路 1: 几何法, 步骤为一找二作三证四解, 一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角, 若没有, 则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角, 再证明该角是异面直线所成角, 利用解三角 形解出该角. 32. 【2015 高考北京, 理 17】 如图, 在四棱锥 A ? EFCB 中, 平面 AEF ? △AEF 为等边三角形, 平面 EFCB , EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.

A

F

C

O E B

【答案】(1)证明见解析, (2) ?

4 5 , (3) a ? 3 5

予以取舍.
45

试题解析:(Ⅰ )由于平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, O 为 EF 的中点, 则 AO ? EF , 根据面面垂直性质定理, 所以 AO ? 平面 EFCB, 又 BE ? 平面 EFCB , 则 AO ? BE . (Ⅱ )取 CB 的中点 D,连接 OD,以 O 为原点,分别以 OE、OD、OA 为 x、y、z 轴建立空 间直角坐标系, A(0,0 3a), E(a,0,0),B(2,2 3 ?

3a,0),AE ? (a,0,? 3a),

EB ? (2 ? a,2 3 ? 3a,0),由于平面 AEF 与 y 轴垂直,则设平面 AEF 的法向量
为 n1 ? (0,1,0),设平面 AEB 的法向量 n2 ? (x ,y ,1),

n2 ? AE ,ax - 3a ? 0,x ?

x ? (2 3 ? 3a) y ? 0, 3 , n2 ? EB ,(2 ? a)

y ? ?1 ,则 n2 ? ( 3,?1,1),二面角 F ? AE ? B 的余弦值
cos?n1 ,n2 ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

?1 5

? ?

5 ,由二面角 F ? AE ? B 为钝二面角,所以二 5

面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ?

5 . 5

O ? B E , (Ⅲ) 有 (1 ) 知 AO ? 平面 EFCB, 则A 若 BE ? 平面 AOC , 只需 BE ? OC ,

EB ? (2 ? a,2 3 ? 3a,0),又 OC ? (?2,2 3 ? 3a,0),
2 BE ? OC ? ?2 (2 ? a) ? (2 3 ? 3a) ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ?

4 ,由于 a ? 2 , 3

则a ?

4 . 3

考点定位:本题考点为线线垂直的证明和求二面角,要求学生掌握空间线线、线面的平 行与垂直的判定与性质,利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题. 【名师点睛】本题考查线线、线面垂直及求二面角的相关知识及运算,本题属于中档题,熟 练利用有关垂直的判定定理和性质定理进行面面垂直、 线面垂直、 线线垂直之间的转化与证 明,另外利用空间向量解题时,要建立适当的直角坐标系,准确写出空间点的坐标,利用法 向量求二面角,利用数量积为零,解决线线、线面垂直问题. 33.【2015 高考广东,理 18】如图 2,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面 垂直, PD = PC = 4 , AB = 6 , BC = 3 .点 E 是 CD 边的中点,点 F 、 G 分别在线段 AB 、

BC 上,且 AF = 2FB , CG = 2GB .
46

(1)证明: PE ? FG ; (2)求二面角 P - AD - C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. P

D

E

C G

A

图2

F

B

【答案】 (1)见解析; (2)

7 9 5 ; (3) . 3 25

【解析】 (1)证明:∵ PD ? PC 且点 E 为 CD 的中点, ∴ PE ? DC ,又平面 PDC ? 平面 ABCD ,且平面 PDC 面 PDC , ∴ PE ? 平面 ABCD ,又 FG ? 平面 ABCD , ∴ PE ? FG ; P 平面 ABCD ? CD , PE ? 平

D

E

C G

A (2)∵ ABCD 是矩形,

F

B

47

(3)如下图所示,连接 AC , ∵ AF ? 2FB , CG ? 2GB 即 ∴ AC / / FG , ∴ ?PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角, 在 ?PAC 中, PA ? PD2 ? AD2 ? 5 , AC ?

AF CG ? ? 2, FB GB

AD2 ? CD2 ? 3 5 ,
P

D

E

C G

A
2 2

F
2

B

PA ? AC ? PC ? 由余弦定理可得 cos ?PAC ? 2 PA ? AC
∴ 直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为

52 ? 3 5

?

?

2

? 42

2?5?3 5

?

9 5 , 25

9 5 . 25

【考点定位】直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角. 【名师点睛】本题主要考查平面与平面垂直,直线与平面垂直,直线与直线垂直,二面角, 异面直线所成角等基础知识和空间想象能力、 转化与化归思想、 运算求解能力, 属于中档题, 本题整体难度不大, 无论是利用空间向量方法还是传统的几何法都容易入手解答, 但解答过 程需注意逻辑性和书写的规范性. 【2015 高考湖南,理 19】如图,已知四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 上、下底面分别是边长为 3

48

和 6 的正方形, AA 1 ? 6 ,且

AA1 ? 底面 ABCD ,点 P , Q 分别在棱 DD1 ,BC 上.
(1)若 P 是 DD1 的中点,证明: AB1 ? PQ ; (2)若 PQ / / 平面 ABB1 A1 ,二面角 P ? QD ? A 的余弦值为

3 ,求四面体 ADPQ 的体积. 7

【答案】 (1)详见解析; (2) 24 . 【解析】 试题分析: (1)建立空间直角坐标系,求得相关点的坐标可知问题等价于证明 AB1 ? PQ=0 ; (2)根据条件 二面角 P-QD-A的余弦值为 三棱锥

3 ,利用空间向量可将四面体 ADPQ 视为以 ?ADQ 为底面的 7

P ? ADQ ,其高 h ? 4 ,从而求解学科网
试题解析:解法一 由题设知, AA1 , AB , AD 两两垂直,以 A 为坐标原点, AB , AD ,

AA1







49

∴ cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 ? | n1 | ? | n2 |

3 (6 ? m)2 ? 62 ? 32

?

3 (6 ? m)2 ? 45

, 而 二 面 角

P ? QD ? A 的余弦值为
此时 Q(6,4,0) ,

3 3 3 ,因此 , ? ,解得 m ? 4 ,或者 m ? 8 (舍去) 2 7 (6 ? m) ? 45 7

设 DP ? ? DD1 (0 ? ? ? 1) ,而 DD1 ? (0, ?3,6) ,由此得点 P(0,6 ? 3? ,6? ) ,

PQ ? (6,3? ? 2, ?6? ) , ∵ PQ // 平 面 ABB1 A1 , 且 平 面 ABB1 A1 的 一 个 法 向 量 是

n3 ? (0,1,0) ,
∴ PQ ?n3 ? 0 ,即 3? ? 2 ? 0 ,亦即 ? ?

2 ,从而 P(0,4,4) ,于是,将四面体 ADPQ 视 3

为 以 ?A D Q为 底 面 的 三 棱 锥 P ? ADQ , 则 其 高 h ? 4 , 故 四 面 体 ADPQ 的 体 积

1 V? S 3

ADQ

1 1 ? h ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 2

50

解法二 (1)如图 c,取 A1 A 的中点 R ,连结 PR , BR ,∵ A1 A , D1D 是梯形 A1 AD1D 的 两腰, P 是 D1D 的中点,∴ PR // AD ,于是由 AD // BC 知, PR // BC ,∴ P , R , B ,

C 四点共面,
由题设知, BC ? AB , BC ? A1 A ,∴ BC ? 平面 ABB1 A1 ,因此 BC ? AB1 ①, ∵ tan ?ABR ?

AR 3 AB1 ? ? ? tan ?A1 AB1 ,∴ tan ?ABR ? tan ?A1 AB1 ,因此 AB 6 A1 A

?ABR ? ?BAB1 ? ?A1 AB1 ? ?BAB1 ? 90 ,于是 AB1 ? BR ,再由①即知 AB1 ? 平面
PRBC ,又 PQ ? 平面 PRBC ,故 AB1 ? PQ ;

学科网 (2)如图 d,过点 P 作 PM / / A1 A 交 AD 于点 M ,则 PM // 平面 ABB1 A1 , ∵ A1 A ? 平面 ABCD ,∴ OM ? 平面 ABCD ,过点 M 作 MN ? QD 于点 N ,连结 PN , 则 PN ? QD ,?PNM 为二面角 P ? QD ? A 的平面角, ∴ cos ?PNM ?

3 MN 3 ? , , 即 PN 7 7

51

从而

PM 40 ? ③ MN 3

连结 MQ ,由 PQ // 平面 ABB1 A1 ,∴ MQ // AB ,又 ABCD 是正方形,所以 ABQM 为矩 形,故 MQ ? AB ? 6 ,设 MD ? t ,则 MN ?

MQ ? MD MQ2 ? MD2

?

6t 36 ? t 2

④,过点 D1 作

D1E / / A1 A 交 AD 于点 E ,则 AA1D1E 为矩形,∴ D1E ? A1 A ? 6 , AE ? A1D1 ? 3 ,因此
ED ? AD ? AE ? 3 , 于 是

PM D1 E 6 ? ? ? 2 , ∴ PM ? 2MD ? 2t , 再 由 ③ ④ 得 MD ED 3

36 ? t 2 ? 3
1 V? S 3
ADQ

40 , 解 得 t ? 2 , 因 此 PM ? 4 , 故 四 面 体 A D P Q 的 体 积 3
1 1 ? h ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 2

【考点定位】1.空间向量的运用;2.线面垂直的性质;3.空间几何体体积计算. 【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的性质以及空间几何体体积计算,属于中档题,由于 空间向量工具的引入, 使得立体几何问题除了常规的几何法之外, 还可以考虑利用向量工具 来解决,因此有关立体几何的问题,可以建立空间直角坐标系,借助于向量知识来解决,在 立体几何的线面关系中,中点是经常使用的一个特殊点,无论是试题本身的已知条件,还是 在具体的解题中,通过找“中点” ,连“中点” ,即可出现平行线而线线平行是平行关系的根 本, 在垂直关系的证明中线线垂直是核心, 也可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明 线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直. 【2015 高考上海, 理 19】 (本题满分 12 分) 如图, 在长方体 ??CD ? ?1?1C1D1 中, ??1 ? 1 ,

?? ? ?D ? 2 , ? 、 F 分别是 ?? 、 ? C 的中点.证明 ?1 、 C1 、 F 、 ? 四点共面,并求直
线 CD1 与平面 ?1C1F? 所成的角的大小.

【答案】 arcsin

15 15

52



CD1 ? n CD1 n

??

15 . 15

因此直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成的角的大小为 arcsin 【考点定位】空间向量求线面角

15 . 15

【名师点睛】(1)设两条异面直线 a,b 的方向向量为 a,b,其夹角为 θ,则 cos φ=|cos θ| = |a· b| (其中 φ 为异面直线 a,b 所成的角).(2)设直线 l 的方向向量为 e,平面 α 的法向量为 |a||b| |n· e| .(3) n1, |n||e|

n, 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ, 两向量 e 与 n 的夹角为 θ, 则有 sin φ=|cos θ|=

n2 分别是二面角 α l β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大小 θ=〈n1,n2〉(或 π -〈n1,n2〉).

53


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