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正弦定理(三)


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1.正弦定理

正弦 (1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的_____ c a b sinC 的比相等,即在△ABC中,sinA=sinB=______.
(2)变形:设△ABC的外接圆的半径为R,则有 a b c 2R sinA=sinB=sinC=_____.

sinB ①a:b:c=sinA:_____:sin C.

sinB a sinA a sinA b ②b=sinB, c=sinC,c =______. sinC
a+b+c a b c ③ = = = . sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC

2RsinC ④a=2RsinA,b=2RsinB,c=________.
a b c ⑤sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R ⑥A<B?a<b?2RsinA<2RsinB?sinA<sinB .

2.解三角形

对边 叫做三角 一般地,把三角形的三个角和它们的______ 其他元素 的过程叫 形的元素.已知三角形的几个元素求__________
做解三角形.

1.在Rt△ABC中,若C=90° ,你能借助所学知识导出 a sinA的具体值吗?

提示:如图所示,设Rt△ABC的外接圆半径为R,则有 AB 2R a b c =2R,结合正弦定理可知 sinA = sinB = sinC = sinC = sin90° 2R,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边.

2.对定理的证明,课本给出了锐角三角形的情况.对 于钝角三角形,应如何证明?

提示:当△ABC为钝角三角形时,如图,设∠BAC为 钝角,AB边上的高为CD.∵∠BAC=180° -∠DAC,

∴sin∠BAC=sin(180° -∠DAC)=sin∠DAC. ∴CD=bsin∠DAC=bsin∠BAC,且CD=asinB. a b ∴bsin∠BAC=asinB,即 = . sin∠BAC sinB b 同理:sinB= c . sin∠BCA

a b c 综上所述:sinA=sinB=sinC .

3.已知三角形的哪几个元素,可以用正弦定理解相应 三角形?

提示:(1)已知三角形的任意两角和一边,求其它两边 和另一角. (2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求另一 边及另两角.

典例导悟
类型一 [例1] A,b,c. [分析] 已知两角和一边,可由内角和求第三个角 已知两角及一边解三角形 在△ABC中,已知a=8,B=60° ,C=75° ,求

A,再由正弦定理求b,c.

[解]

A=180° -(B+C)=180° -(60° +75° )=45° .

b a 由正弦定理sinB=sinA得, asinB 8×sin60° b= sinA = sin45° =4 6, a c 由 = 得, sinA sinC 2+ 6 8× 4 asinC 8×sin75° c= sinA = sin45° = =4( 3+1). 2 2

[点评] 的步骤是:

已知两角和一边(如B,C,a),求其他角与边

(1)A=180° -(B+C); asinB (2)用正弦定理,b= sinA ; asinC (3)用正弦定理,c= sinA .

变式训练1

(1)一个三角形的两内角分别为45° 与60° ,

如果45° 角所对的边长是6,那么60° 角所对的边的边长为 ( ) A.3 6 C.3 3 B.3 2 D.2 6

1 (2)在△ABC中,若tanA= 3 ,C=150° ,BC=1,则AB =________.

解析:(1)令60° 角所对的边为a, a 6 则sin60° =sin45° ,∴a=3 6. 1 10 (2)∵tanA=3,∴sinA= 10 . 由正弦定理知 BC 10 AB=sinA· sinC= 10sin150° = 2 .

答案:(1)A

10 (2) 2

类型二 [例2]

已知两边及一边的对角解三角形 下列三角形是否有解?有解的作出解答.

(1)a=7,b=8,A=105° ; (2)b=10,c=5 6,C=60° ; (3)a=2 3,b=6,A=30° . [分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解

无解的图形来考虑.

[解] 解.

(1)a=7,b=8,a<b,A=105° >90° ,本题无

(2)b=10,c=5 6,b<c,C=60° <90° ,本题有一解. bsinC 10· sin60° 2 ∵sinB= = = , c 2 5 6 ∴B=45° ,A=180° -(B+C)=75° . 6+ 2 10× 4 bsinA 10×sin75° ∴a= sinB = sin45° = =5( 3+1). 2 2

(3)a=2 3,b=6,a<b,A=30° <90° 又∵bsinA=6sin30° =3,a>bsinA ∴本题有两解. 由正弦定理得: bsinA 6sin30° 3 sinB= a = = 2 ,B=60° 或120° , 2 3 asinC 2 3sin90° 当B=60° 时,C=90° ,c= sinA = sin30° =4 3; 当B=120° 时,C=30° ,

asinC 2 3sin30° c= sinA = sin30° =2 3. ∴B=60° ,C=90° ,c=4 3 或B=120° ,C=30° ,c= 2 3.

[点评]

本例属于已知两边及其中一边的对角求解三

角形的类型.此类问题解的情况如下:
A为钝角 a>b a=b 一解 无解 A为直角 一解 无解 A为锐角 一解 一解 a>bsinA a<b 无解 无解 a=bsinA a<bsinA 两解 一解 无解

变式训练2 4 2,则B=(

在△ABC中,A=60° ,a=4 3,b= ) B.135° D.以上答案都不对

A.45° 或135° C.45°

a b 解析:由sinA=sinB, b· sinA 4 2×sin60° 2 得sinB= a = =2. 4 3 ∵a>b,∴A>B,而A=60° , ∴B为锐角,∴B=45° .

答案:C

类型三 [例3]

判断三角形的形状 在△ABC中,若sin2A=sin2B+sin2C,sinA=

2sinB· cosC,试判断△ABC的形状. [分析] 正弦定理 2 sin A=sin B+sin C ――→ a =b2+c2
2 2 2

B+C=90° ――→ cosC=sinB

[解]

a b c 记sinA=sinB=sinC=k,

a b c 则sinA= k,sinB=k,sinC=k. a2 b2 c2 ∵sin A=sin B+sin C,∴( ) =( ) +( ) , k k k
2 2 2

即a2=b2+c2,A=90° . ∴C=90° -B,cosC=sinB. 2 ∴1=sinA=2sin B,sinB= . 2
2

∴B=45° 或B=135° (A+B=225° >180° ,舍去). ∴△ABC是以A为直角的等腰直角三角形.

[点评]

依据条件中的边角关系判断三角形的形状

时,主要有以下两种途径: (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因 式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形 状;

(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而 判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结 论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因 式,应移项提取公因式,以免漏解.

变式训练3 已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根 之积等于两根之和,且a,b为△ABC的两边,A,B分别为 a,b的对角,试判断△ABC的形状.

解:设方程的两根为x1,x2,由韦达定理得x1+x2= bcosA,x1x2=acosB. 由题意得bcosA=acosB, 由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB, 即sinAcosB-cosAsinB=0. ∴sin(A-B)=0.在△ABC中,A,B为其内角,-π<A- B<π,所以A=B. 即△ABC为等腰三角形.

易错点:利用正弦定理解三角形易丢解或多解 用正弦定理解出一个角的正弦值,可得出对应的两个 角,此时可能有一个是不符合题意的,也有可能出现漏解 的情况. [错题展示] 30° ,求a. 在△ABC中,已知b=3,c=3 3,B=

[错解]

b c 3 由sinB=sinC,得sinC= 2 ,

a b 所以C=60° ,所以A=90° .由sinA=sinB,得a=6. [错解分析] 产生错解的主要原因是没有考虑到C的范 围,导致丢解.

[正解]

b c 3 由sinB=sinC,得sinC= 2 .

因为b<c,所以C>B=30° ,则C=60° 或120° . 当C=60° 时,A=90° ;当C=120° 时,A=30° . a b 再利用正弦定理sinA=sinB,解得a=6或a=3.

1.对正弦定理的理解 (1)三角形中各边的长和它所对角的正弦的比值为三角 a b c 形外接圆的直径2R.即sinA=sinB=sinC=2R.

(2)结合(1)的结论由正弦定理可得如下变形: ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. a b c ②sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R 由变形①②可以实现三角形中边与角之间的相互转 化.这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功 能.

2.解斜三角形的类型 (1)已知两角与一边,用正弦定理,有解时,只有一 解. (2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,可能有 两解、一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情 况如下:

A为锐角

A为钝角或直角

图 形

关系 式 解的 个数

①a= bsinA ②a≥b 一解

bsinA< a<b

a<bsinA

a>b

a≤b

两解

无解

一解

无解

3.利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理,结合三角形的内角和定理及三角函数 中的一些公式,可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等 变形,要充分挖掘题目中的隐含条件,通过正弦定理转化 为边的关系或角的关系,看是否满足勾股定理、两边相等 或两角相等、三边相等或三角相等,从而确定三角形的形 状.

已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可 考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a=2RsinA,b= 2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC的外接圆半径),边角互化, 再利用三角函数进行恒等变换,或利用因式分解进行恒等 变换,然后利用角或边的解的情况,给予判断.

1.有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的 比是定值; ④在△ABC中,sinA:sinB:sinC=a:b:c. 其中正确的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:由正弦定理的概念知③④正确.
答案:B

2.(2012· 广东卷)在△ABC中,若A=60° ,B=45° ,BC =3 2,则AC=( A.4 3 C. 3 ) B.2 3 3 D. 2

AC BC 解析:由正弦定理可知,sinB=sinA, 2 3 2× 2 BCsinB 所以AC= sinA = =2 3.故选B. 3 2

答案:B

3.在△ABC中,sinA=sinC,则△ABC是( A.直角三角形 C.锐角三角形 B.等腰三角形 D.钝角三角形

)

解析:由sinA=sinC知,在△ABC中有A=C. 答案:B

4.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b,c,已知A:B:C=1:2:3,则a:b:c=________.

解析:因为在△ABC中,A+B+C=π,且A:B:C= π π π 1:2:3,所以A= 6 ,B= 3 ,C= 2 ,由正弦定理的变形,得 1 32 a:b:c=sinA:sinB:sinC=2: 2 :2=1: 3:2.

答案:1: 3:2

5.在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,则C= ________.
解析:由正弦定理得a2+b2=c2,∴C=90° .

答案:90°

6.在△ABC中,A=60° ,B=45° ,c=1,求此三角形 的最小边.
解:C=180° -60° -45° =75° , 由大角对大边知角B所对的边b最小, b c 由正弦定理,得sinB=sinC, csinB sin45° ∴b= = = 3-1. sinC sin75° 即此三角形的最小边b为 3-1.


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