3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学苏教版选修2-2课件:第一章 导数及其应用 1.2.2+3


阶 段 一

1.2.2

函数的和、差、积、商的导数 1.2.3 简单复合函数的导数

阶 段 三

阶 段 二

学 业 分 层 测 评

1.理解导数的四则运算法则,能运用运算法则求函数的导数.(重点) 2.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.(难点) 3.积函数、商函数求导公式的正确运用.(易错点)

[基础· 初探] 教材整理1 导数的四则运算法则 阅读教材P21,完成下列问题.

1.导数的四则运算法则 设两个函数f(x),g(x)可导,则
和的导数 差的导数 积的导数

f′(x)+g′(x) [f(x)+g(x)]′=_______________
f′(x)-g′(x) [f(x)-g(x)]′=________________
[Cf(x)]′=C· f′(x)(C为常数)

f′(x)g(x)+f(x)g′(x) [f(x)· g(x)]′=______________________

商的导数

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f ? x? ? 2 ? ? g ? x? (g(x)≠0) ?g?x??′= ? ?

判断正误: (1)若f′(x)=2x,则f(x)=x2.( ) ) )

(2)已知函数y=2sin x-cos x,则y′=2cos x+sin x.( (3)已知函数f(x)=(x+1)(x+2),则f′(x)=2x+1.(

【解析】 (1)由f′(x)=2x,则f(x)=x2+C. (2)由y=2sin x-cos x, 则y′=(2sin x)′-(cos x)′=2cos x+sin x. (3)由f(x)=(x+1)(x+2)=x2+3x+2, 所以f′(x)=2x+3.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×

教材整理2 复合函数的导数 阅读教材P23,完成下列问题.
复合函数 的概念 由 基本初等函数 复合而成的函数,称为复合 函数 ,

复合函数的 若y=f(u),u=ax+b,则y′x= y′u·u′x 求导法则 即y′x= y′u·a

1.判断正误: (1)函数f(x)=xex的导数是f′(x)=ex(x+1).( (2)函数f(x)=sin(-x)的导数为f′(x)=cos x.(
【答案】 (1)√ (2)×

) )

2.已知函数f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,则a=____________.
【解析】 f′(x)=2(2x+a)(2x+a)′=4(2x+a), ∴f′(2)=4(4+a)=20,∴a=1.

【答案】 1

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________

[小组合作型]

利用导数的运算法则求导数

(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+ln x(e为自 然对数的底数),则f′(e)=________. (2)求下列函数的导数: ①f(x)=(x+2)(x-3);②f(x)=lg x-3x; 1 1 sin x ③f(x)= + ;④f(x)= . 1+sin x 1- x 1+ x

1 1 1 【自主解答】 (1)f′(x)=2f′(e)+x ,则f′(e)=2f′(e)+e .∴f′(e)=-e .
【答案】 1 -e

(2)①∵f(x)=x2-x-6, ∴f′(x)=(x2-x-6)′=2x-1. 1 ②f′(x)=(lg x)′-(3 )′=xln 10-3xln 3.
x

1+ x+1- x 2 ③∵f(x)= = , 1-x 1-x
? 2 ? -2?1-x?′ 2 ? ? ∴f′(x)=?1-x?′= = 2 2. ? 1 - x ? ? 1 - x ? ? ?

sin x 1 ④∵f(x)= = 1- , 1+sin x 1+sin x
? 1 ? ∴f′(x)=1′-?1+sin ? ? ? ′ x? ?

-?1+sin x?′ =- ?1+sin x?2 cos x = . ?1+sin x?2

1.解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分. 2.对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公 式,当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简(恒等变形),然后求 导.这样可以减少运算量,优化解题过程.

[再练一题] 1.求下列函数的导数. (1)y=x 2+x2;


(2)y=3xex-2x+e; ln x (3)y= 2 ; x +1 x x (4)y=x -sin 2cos2.
2

【自主解答】

(1)y′=2x-2x-3.

(2)y′=(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. x2+1-2x2· ln x (3)y′= . x?x2+1?2 x x 2 1 (4)∵y=x -sin2cos2=x -2sin x,
2

1 ∴y′=2x-2cos x.

求简单复合函数的导数

求下列函数的导数. (1)y=e
2x+1

1 ;(2)y= ; ?2x-1?3

(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.
【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导.

【自主解答】

(1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,

∴y′x=y′u· ux′=(eu)′(2x+1)′=2eu=2e2x+1. 1 -3 (2)函数y= 可看作函数 y = u 和u=2x-1的复合函数, ?2x-1?3 ∴y′x=y′u· ux′=(u-3)′(2x-1)′=-6u-4 6 =-6(2x-1) =- . ?2x-1?4
-4

(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数, -5 5 ∴y′x=y′u· u′x=(5log2u)′· (1-x)′=uln 2= . ?x-1?ln 2

(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin x的复合函数,函数y=sin 3x可看作 函数y=sin v和v=3x的复合函数. ∴y′x=(u3)′· (sin x)′+(sin v)′· (3x)′ =3u2· cos x+3cos v =3sin2x cos x+3cos 3x.

1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数; (2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成. 2.复合函数求导的步骤

[再练一题] 2.求下列函数的导数. x (1)y= ; 1- 1-x (2)y=log2(2x2-1).

【解】

x (1)y= 1- 1-x

x?1+ 1-x? = ?1- 1-x??1+ 1-x? x?1+ 1-x? = =1+ 1-x. 1-?1-x? 设y=1+ u,u=1-x, 则y′=yu′· ux′=(1+ u)′· (1-x)′ 1 = · (-1)=- . 2 u 2 1-x 1

(2)设y=log2u,u=2x2-1, 1 则y′=y′u· ux′=uln 2· 4x 4x = 2 . ?2x -1?ln 2

[探究共研型]

导数法则的综合应用
探究 试说明复合函数y=(3x+2)2的导函数是如何得出的?

【提示】 函数y=(3x+2)2可看出函数y=u2和u=3x+2的复合函数, ∴yx′=yu′· ux′=(u2)′· (3x+2)′ =6u=6(3x+2).

已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 1 的切线为l,若直线l与圆C:x +y =4相切,求实数a的值.
2 2

【精彩点拨】 求出导数f′(1),写出切线方程,由直线l与圆C相切,建立方 程求解.

2 【自主解答】 因为f(1)=a,f′(x)=2ax+ (x<2), x-2 所以f′(1)=2a-2, 所以切线l的方程为2(a-1)x-y+2-a=0. 因为直线l与圆相切,所以圆心到直线l的距离等于半径,即d= 1 11 =2,解得a= 8 . |2-a| 4?a-1?2+1

关于复合函数导数的应用及其解决方法 (1)应用:复合函数的导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的 方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用. (2)方法:先求出复合函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程; 若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总 之,在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.

[再练一题] 1 3.若将上例中条件改为“直线l与圆C:x +y =4相交”,求a的取值范围. 【解】 由例题知,直线l的方程为2(a-1)x-y+2-a=0.
2 2

1 ∵直线l与圆C:x +y =4相交,
2 2

∴圆心到直线l的距离小于半径. |2-a| 1 即d= < 2. 2 4?a-1? +1 11 解得a> 8 .

[构建· 体系]

1.函数y=(2 017-8x)3的导数y′=________. 【导学号:01580009】 【解析】 y′=3(2 017-8x)2×(2 017-8x)′ =3(2 017-8x)2×(-8)=-24(2 017-8x)2.

【答案】 -24(2 017-8x)2

2.函数y=x2cos 2x的导数为________.

【解析】 y′=(x2)′cos 2x+x2(cos 2x)′ =2xcos 2x+x2(-sin 2x)· (2x)′ =2xcos 2x-2x2sin 2x.
3.已知f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=________.

1 3 【解析】 f′(x)= · (3x-1)′= , 3x-1 3x-1 3 ∴f′(1)=2.
3 【答案】 2

4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________.

【解析】 令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0),又切 线与直线x+2y+1=0垂直,所以f′(0)=2.因为f(x)=eax,所以f′(x)=(eax)′= (eax)· (ax)′=aeax,所以f′(0)=ae0=a,故a=2.
【答案】 2

5.求下列函数的导数. (1)y=cos(x+3);(2)y=(2x-1)3;(3)y=e
【解】 由复合函数的求导法则可得 yx′=yu′· ux′=(cos u)′· (x+3)′ =-sin u· 1=-sin u=-sin(x+3). (2)函数y=(2x-1)3可以看做函数y=u3和u=2x-1的复合函数, 由复合函数的求导法则可得 yx′=yu′· ux′=(u3)′· (2x-1)′ =3u2· 2=6u2=6(2x-1)2. (3)y′=e-2x+1· (-2x+1)′=-2e-2x+1.
-2x+1

.

(1)函数y=cos(x+3)可以看做函数y=cos u和u=x+3的复合函数,

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(四)

点击图标进入…



推荐相关:

...苏教版选修2-2)配套习题:第一章 导数及其应用1.3 习...

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题:第一章 导数及其应用1.3 习题课 含解析_数学_高中教育_教育专区。习题课 导数的应用 明目标、知重点 1.理解用导数研究函数...


...(苏教版选修2-2)配套习题:第一章 导数及其应用 含解...

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题:第一章 导数及其应用 含解析_数学_高中教育_教育专区。1 1.变化率 函数的平均变化率为 变化率与导数 Δy f?x1?-f?x0...


高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应...

高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应用 1含解析_数学_高中教育_教育专区。学业分层测评(一) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1...


...(苏教版选修2-2)配套习题:第一章 导数及其应用1.3.3...

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题:第一章 导数及其应用1.3.3 含解析_数学_高中教育_教育专区。1.3.3 最大值与最小值 1.理解函数最值的概念,了解其与...


高中数学苏教版选修2-2第一章《导数及其应用》word导学...

高中数学苏教版选修2-2第一章导数及其应用》word导学案(含解析) - 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、...


高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应...

高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应用 9含解析_数学_高中教育_教育专区。学业分层测评(九) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 2...


高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应...

高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应用 6含解析_数学_高中教育_教育专区。学业分层测评(六) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1...


高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应...

高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应用 10含解析_数学_高中教育_教育专区。学业分层测评(十) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1...


高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应...

高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应用 3含解析_数学_高中教育_教育专区。学业分层测评() (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1...


高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应...

高中数学苏教版选修2-2学业分层测评:第一章 导数及其应用 7含解析_数学_高中...函数 f(x)= 1 x+1 +x(x∈1,3])的最小值是___. 1 x2+2x 【解析...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com